SURFACES DE RÉVOLUTION. — INTERSECTIONS. A. SECTIONS PLANES

Vingt-septième Leçon. § 256. — Méthode générale.

(a) Points courants. — Pour trouver l'intersection d'une surface de révolution S et d'un plan P, on coupera par des plans auxiliaires Z, convenablement choisis, c'est-à-dire donnant dans la surface S des courbes faciles à déterminer. Ces

plans auxiliaires Zi Z* Z3 seront donc : ou bien des plans perpendiculaires à l'axe, ou bien des plans passant par l'axe.

Les premiers donneront des parallèles dans la surface, c'est-à-dire des cercles ; les seconds donneront des méridiens. Il suffira, par une rotation, d'amener ces méridiens à être de front, c'est-à-dire confondus avec le méridien principal, pour n'avoir pas besoin, chaque fois, de dessiner à nouveau la courbe auxiliaire de section. Les plans auxiliaires Zi Z2....

couperont le plan donné P, suivant des droites dont les recoupements mi, ni — m-z, m soit avec les parallèles, soit avec

les méridiens, donneront des points courants de l'intersection.

(b) Remarque. — Dans la première méthode (dite du parallèle), les plans auxiliaires, Z, donneront dans le plan P des droites, Z P, parallèles entre elles, et si l'axe de la surface est vertical, ce seront des horizontales du plan P. Dans la seconde méthode (dite du méridien), ces droites passeront toutes par un point Cxe u>, qui sera le point où l'axe perce le plan P. Quand on fera la rotation pour amener le méridien de section à être confondu avec le méridien principal, on fera tourner aussi les droites ZP. Ce point w sera le point fixe de chacune d'elles.

(c) Tangente. — 1° Méthode du plan tangent. — Comme toujours, la tangente sera l'intersection du plan sécant P et du plan tangent, T, à la surface, au point courant. Il suffira de trouver un point de cette intersection et çe sera, le plus souvent, le point où se rencontrent deux horizontales de même cote.

2° Méthode des normales. — La tangente étant à la fois dans chacun des plans tangents est perpendiculaire, séparément, à chacune des normales ; elle est donc perpendiculaire au plan des normales.

Cette méthode donne la direction de la tangente. En effet, il suffira de chercher une frontale et une horizontale du plan des normales et, par le point courant, de mener en élévation une perpendiculaire à la frontale et, en plan, une perpendiculaire à l'horizontale pour avoir les projections de la tangente demandée.

§ 257. — Section plane d'un tore (fig. 347).

Le plan est donné en PR Q' par ses traces. Le tore a son axe wZ' vertical. 11 est engendré par la rotation du cercle méridien IE — I ;E '.

(a) Points sur un parallèle donné H'. — Le plan H' coupe le plan sécant P suivant une horizontale Q 22', laquelle recoupe le parallèle a' a aux deux points A A, en élévation A 'A'. Il y a un autre parallèle b' b dans le plan H', auquel répondent les deux points B B ' — B B'.

(b) Tangente. — On mène en a' (rotation du point A') la tangente méridienne principale; on en déduit, en a' a, la trace du plan tangent en a' a. On le fait tourner d'une rotation inverse et cette trace devient, pour le plan tangent en A, la droite ai G. Elle recoupe la trace horizontale du plan sécant en 8 ; la tangente est donc 9 A, projetée verticalement en 0 'A'.

On cherchera par cette méthode les points C C — DD situés sur les équateurs ; ils sont importants comme points de contour apparent horizontal ; la courbe y est tangente à l'équateur et au collier.

Nota. — Nous appliquerons la méthode des normales, dans le cas de l'intersection de deux surfaces de révolution.

(c) Points sur un méridien donné. — Soit w L le méridien donné. On cherche en ww' le point du plan sécant situé sur

l'axe ;

Fig. 347

on rabat, parallèlement au plan vertical, en w Li — w ' L'i, l'intersection du plan du méridien wL avec le plan sécant.

On prend en m\ mi l'intersection de cette droite rabattue avec la méridienne principale et on ramène m'i mi en MM' par une rotation inverse.

Remarque. — H y a trois autres points d'intersection sur lesquels nous n'avons pas mis de lettres.

(d) Points sur le contour apparent vertical. — Même construction mais ne nécessitant pas de rotation. On obtient ainsi des points tels que g' g.

(e) Points les plus hauts et les plus bas. — Par raison de symétrie, ils sont dans le méridien a>Y qui est perpendiculaire au plan sécant. On opère comme pour un méridien quelconque.

On fait tourner K en Ki ; cela donne les points S S'- et y T ' > ^es tangentes y sont horizontales.

Remarquer les points tels que F, F qui sont sur le parallèle inférieur n° 4 du tore et qui peuvent être donnés par la méthode des parallèles ou par celle des méridiens.

Il sera bon de chercher, surtout en plan, les points tels que n et n pour lesquels la tangente nu passe par Taxe. (Suivre la construction sur l'épure (fig- 347.)

§ 258. — Formes diverses de la section plane d'un tore.

Le tore est une surface très employée dans les arts. Sa section par un plan affecte des formes différentes suivant la position du plan sécant. Il faut les connaître.

Nous supposerons le plan sécant perpendiculaire au plan vertical.

1er Cas. — La trace verticale du plan sécant ne rencontre le contour apparent du tore qu'en deux points M'N' {fig. 348.)

En projection horizontale, ces deux points sont sur l'axe do a et on obtient une courbe fermée M N, de forme ovale.

2e Cas. — Le plan P 'Q ' ne rencontre pas, en projection verticale, les cercles de contour apparent du tore.

La droite da est toujours un axe de symétrie de la projection horizontale ; comme elle ne rencontre pas cette projection, l'intersection se compose forcément de deux courbes : l'une devant, l'autre derrière le méridien principal.

On obtient en P — Pi, Q — Qi, les points situés sur les parallèles le plus haut et le plus bas, et en ij — iiji les points situés sur le contour apparent horizontal, équateur et collier.

3° Cas. — La trace verticale T'R' du plan rencontre en deux points un des cercles de contour apparent, et sa portion utile rencontre la trace verticale de l'équateur.

La courbe précédemment obtenue (2e cas) se déforme un peu. Aux deux points T et g situés sur le méridien principal,

les tangentes sont perpendiculaires à la ligne de terre ; de plus, la courbe est tangente, en h et ht, au contour apparent horizontal.

4" Cas (fig. 349).

Fi g. 348

La trace verticale M 'N' rencontre en deux points un des cercles de contour apparent et sa portion

utile rencontre les deux Fig. 3i9 équateurs.

La courbe a la forme indiquée par la figure.

Elle est tangente engg^, tti aux cercles de contour apparent et, aux points i et h, aux verticales de ces points. C'est le cas de l'épure de la figure 347.

5e Las. — La trace verticale P' Q' satisfait aux mêmes conditions que dans l'énoncé précédent, mais, au lieu d'être sécante à l'un des cercles de contour apparent, elle lui est tangente en /'.

La projection / de ce point est un point double de la projection horizontale ; les deux points i et h du 4° cas se sont confondus en /.

§ 259. — Section du tore par un plan bitangent (fig. 350.)

6° Cas. — La trace verticale M'N' du plan est tangente aux deux cercles de contour apparent vertical du tore. La section se compose dans l'espace de deux cercles (1).

Remarques. — Ces deux cercles se projettent horizontalement suivant deux ellipses égales, symétriques par rapport au plan du méridien principal, qu'elles rencontrent en p et q. Le grand axe g h d'une de ces ellipses, égal au diamètre d'un des cercles, est égal au diamètre r s du parallèle supérieur ou inférieur ; si donc on appelle p le rayon de ce parallèle et R le rayon du cercle, on a R = p.

Le petit axe est égal à M T. Or, si on joint le centre i' d'un cercle de contour apparent au point p ' de contact de ce cercle et de la trace du plan sécant, les triangles rectangles o'i'p', o't'W sont égaux comme ayant leurs angles égaux, et les côtés o't', i' p' égaux comme rayons d'un même cercle.

Donc M ' V — o' p ' . Le petit axe est égal ko' p' .

§ 260. — Section plane d'une surface de révolution du second degré

(fig. 351).

Supposons que ce soit une ellipsoïde, et prenons le plan sécant, PaQ', perpendiculaire au plan vertical. La section est tout entière projetée verticalement suivant la droite limitée a'b' .

(1) Nous donnerons la démonstration de cette propriété dans le Complément.

Fig. 351

La théorie indique que la courbe est une ellipse dans l'espace. Un de ses axes est a ' b ' , projeté en plan, suivant a b, sur le méridien principal. L'autre axe, c d, s'obtient en cherchant comme à l'ordinaire les deux points c et d de la surface qui ont pour projection verticale le milieu i' de la droite a' b'. Cela nécessite la construction du parallèle f'f — f qui contient le point ï. Les points sur l'équateur g et g s'obtiennent en rappelant le point g ' où se coupe, en élévation, l'ellipse a ' b ' et l'équateur E\ En ces points g, g, l'ellipse est, en projection horizontale, tangente à l'équateur. Ils servent de séparation entre la partie vue g b g et la partie cachée gag de l'ellipse.

§ 201. — Intersection d'une droite et d'une surface de révolution (même flg. 351).

(a) Solution générale. — 1° Par la droite on mène un plan auxiliaire (on choisit ordinairement un de ses plans projetants). 2° On cherche la courbe auxiliaire d'intersection. 3° On prend les intersections de la droite donnée et de cette courbe.

(b) Surface du second degré. — Lorsque la surface de révolution est quelconque, la solution graphique est assez pénible ; mais lorsqu'elle est du second degré, elle peut être considérablement simplifiée, ainsi que nous allons le montrer (lig. 351).

Soit P Q — P ' 0 ' la droite. Prenons comme plan auxiliaire le plan P a Q ' qui la projette verticalement. Il donne comme section l'ellipse abcd que nous venons de déterminer et qui est recoupée en m m' et nn', parla droite, aux points cherchés (1).

On pourrait éviter de tracer cette ellipse.

(c) Cône auxiliaire. — A cet effet, prendre en S S ' l'extrémité du grand axe de l'ellipse méridienne ; considérons ce point comme sommet d'un cône qui aurait l'ellipse ab— a'b' pour directrice, et cherchons la base de ce cône sur un plan horizontal, sur le plan de l'équateur, par exemple.

Je dis que cette base est un cercle a'i b'\ — aîbi. En effet, ce cône ayant son sommet en S S' sur la surface, peut être considéré comme recoupant cette surface suivant une courbe infiniment petite condensée au point SSf. Mais ce cône a déjà, avec la surface, une courbe plane commune a' b' ; donc il en possède une seconde qui est plane également, et son plan est le plan tangent en S', lequel est horizontal. Cela prouve donc que toutes les sections horizontales de ce cône sont des cercles. C. Q. F. D.

Dès lors, le problème est ramené à trouver l'intersection d'une droite P Q — P ' Q ' avec un cône dont le sommet est S S ' et dont la base est le cercle «i bi — a'i b'i, situé dans le plan de l'équateur.

{d) Epure. — Par SS' on mène S6 — S'O', parallèle à PQ — P'Q'.On prend en 0 et en t les intersections de ces droites avec le plan de l'équateur. La ligne 8 t est la trace d'un plan auxiliaire passant par le sommet et par la droite donnée. Smi et S ni sont les génératrices d'intersection du cône et de ce plan, et les points cherchés sont les points mm' et nn' où la droite donnée recoupe ces génératrices.

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