INTERSECTION AVEC UN CONE OU AVEC UN CYLINDRE

§ 262. — Intersection avec un cône.

(a) Métuode générale. — On coupe par des plans perpendiculaires à l'axe de la surface de révolution. On obtient ainsi un cercle a dans la surface de révolution et une courbe b quelconque dans le cône (ellipse, parabole, hyperbole ou cercle «i le cône est du second degré) (flg. 352).

On prend les recoupements des courbes auxiliaires ainsi trouvés en m et n, ce qui donne les points courants.

(1) On sait trouver l'intersection d'une droite et d'une ellipse dont on connaît les axci, sans tracer l'ellipse, eu considérant l'ellipse comme projection d'un cercle.

— iU —

Pour éviter de tracer chaque fois dans le cône une courbe qui peut être compliquée, on projette coniquement les

courbes trouvées sur un des plans auxiliaires ayant servi ou sur un plan h perpendiculaire à l'axe, mais en pre- Fig. 352 nant le sommet du cône pour centre des projections co-

niques.

La courbe b du cône donnera toujours la même projection conique Bi; mais à chaque cercle, a, de la surface de révolution répondra une projection conique différente A ; or, comme ce sera toujours un cercle, on la tracera facilement connaissant son centre et un point.

On remontera ensuite des points de recoupement Mi et Ni aux points m et n de l'espace, par des projetantes inverses.

Cette méthode prend le nom de méthode perspective, parce que, en réalité, elle revient à donner sur le plan H la perspective du cône, laquelle se réduit à sa base Bi, et la perspective de la surface, laquelle sera l'enveloppe de tous les cercles perspectifs tels que Ai.

Nous avons déjà donné une application de cette méthode quand nous avons cherché l'intersection d'un cône de révolution et d'un octaèdre régulier.

(b) Pénétration ou arrachement. — On commence par circonscrire à la surface de révolution un cône ayant le point S pour sommet. Cela fait : des positions relatives occupées par le cône circonscrit et par le cône donné dépendra le cas de pénétration ou le cas d'arrachement.

Soit Mi (flg. 353) la base du cône circonscrit et Ni celle du cône donné. Remarquons d'abord que la courbe Mi sera l'enveloppe des cercles, tels que Ai, de la figure précédente, lesquels sont les projections coniques des parallèles de la surface de révolution.

1er Cas (1). — La surface de révolution est tout entière dans l'intérieur du cône ; il n'y a pas d'intersection. 2° Cas. — Les deux surfaces sont extérieures l'une à l'autre ; même conclusion.

3e Cas. — Il y a arrachement réciproque. Les deux points at et pi sont les perspectives des points limites; aux points « et p de l'espace les tangentes à la courbe d'intersection sont les génératrices du cône donné.

Fig. 353

7e." CAS 2e CAS 3? CAS 4-^ CAS S? CAS

4e Cas. — Il y a pénétration de la surface de révolution dans le cône donné. On trouvera une courbe d'entrée répondant au segment ai yi de la base du cône et une courbe de sortie répondant à l'autre segment |3t Si. On aura quatre points limites, a, p, y et S, avec des tangentes qui sont les génératrices du cône.

5° Cas. — Il y a pénétration du cône dans la surface de révolution.

6° Cas. — Si le sommet du cône, dans l'espace, se trouve dans l'intérieur de la surface de révolution, alors on ne peut plus construire de cône circonscrit. Dans ce cas il y a évidemment pénétration du cône dans la surface comme au cinquième cas, seulement la courbe d'entrée appartient à une nappe du cône, tandis que la courbe de sortie fait partie de l'autre nappe.

(1) Sur les cinq croquis ci-contre, N'i est toujours la base du cône donné et Mj est la base du cône circonscrit à la surface de révolution.

Nota. — Dans le cas d'un cylindre, on projette cylindriquement par des parallèles aux génératrices. La méthode prend alors le nom de méthode des projections obliques. Nous en donnons de nombreuses applications dans les tracés d'ombres (1).

Fi g. 35 i

§ 263. — Epure — Intersection d'un tore et d'un cône (fig. 354).

(a) Données. — Le cône a pour sommet le point S S1 ; sa base est une ellipse aMiNiô dans le plan horizontal. Le

tore a pour axe la droite to — ZZ'. Il est engendré par le cercle méridien E'F' — EF.

{b) Point courant. — Soit ce — c'e' un parallèle quelconque du tore, w u' son centre.

On projette coniquement ce parallèle sur le plan horizontal en prenant le point S S ' pour centre de projection conique ; S S ' sera le point de vue si l'on considère la projection conique comme une perspective ; ce sera le flambeau si on le considère comme une ombre portée ; pour abréger le discours, considérons-la comme une ombre portée.

o/i toi est l'ombre portée du centre, et l'on obtient en toi di l'ombre portée d'un rayon to d du parallèle.

De tot comme centre, avec toi di pour rayon, décrivons un cercle. Cela nous donne en Qt Mi Ni Pi l'ombre portée du parallèle.

Elle recoupe en quatre points Qi Mi Ni et Pi l'ellipse de base du cône. Ces points sont les projections coniques des quatre points de l'intersection situés sur le parallèle donné.

Considérons un seul d'entre eux, M{ par exemple.

De Mi , par un rayon lumineux inverse, on remonte en mm' sur le parallèle.

m m' est un point courant de l'intersection. (c) Tangente. — Elle est l'intersection du plan tangent au tore au point mm' et du plan tangent au cône au même point :

1° Plan tangent au, tore. — On ramène m' m en c' c sur le méridien principal. On mène la tangente méridienne c'6' — cO. On prend sa trace horizontale O'O. On ramène 9 en 0| sur le méridien wm du point m, et la trace horizontale du plan tangent au tore est 6i t, perpendiculaire sur to m.

2° Plan tangent au cône. — Sa trace horizontale est la tangente Mit au point Mi de l'ellipse de base.

3° Tangente. — Les deux traces des plans tangents se coupent en un point tt' . La tangente est la droite tm — t'm' . Nous laissons au lecteur le soin d'achever l'épure. Il pourra l'exécuter sur une feuille quart grand-aigle en doublant les dimensions de la figure 354.

(1) Voir Traité de perspective linéaire, précédé du Tracé des ombres usuelles (rayon à 4S°).

GliOM. DESCR.

Remarque. — Si l'on coupait le cône par un plan, tel que ot'p', on obtiendrait comme section une ellipse. En supposant cette ellipse pleine et formant comme un disque, sans épaisseur, la courbe d'intersection que l'on trouvera serait l'ombre portée par ce disque sur le tore en prenant comme flambeau le point S S '.

C. INTERSECTION DES SURFACES DE RÉVOLUTION DONT LES AXES SE RENCONTRENT

Vingt-huitième Leçon.

Fig. 355

§ 264. — Généralités.

(a) Méthode. — On coupe les deux surfaces par des sphères auxiliaires dont le centre est pris au point de croisement des axes. Une quelconque de ces sphères, Z, recoupe chacune des deux surfaces suivant un ou plusieurs parallèles, c'està-dire suivant une circonférence. Ces circonférences appartenant à une même sphère se rencontrent respectivement en deux points qui sont des points courants de l'intersection.

(b) Tangente. — Méthode des normales. — On pourrait l'obtenir en prenant, comme à l'ordinaire, l'intersection des plans tangents; mais il est plus simple d'employer la méthode des normales, comme suit :

La tangente étant, à la fois, dans chacun des plans tangents est, séparément, perpendiculaire à chacune des normales et, par conséquent, est perpendiculaire au plan des normales. On construira donc ce plan; on en cherchera une frontale

et une horizontale et les perpendiculaires menées, parle point courant, à ces deux droites donneront les projections de la tangente.

(c) Marcue de l'épure (fig. 355). — On fait en sorte que le plan des axes soit de front et, même, on amène autant que possible un des axes à être vertical; cependant cette dernière condition n'est pas indispensable.

Cela fait : soit Z ' 0 ' et Z ' U' les deux axes ; Z ' leur point de rencontre; soit encore P' Q' et R' S' les méridiens principaux de chacune des surfaces.

Coupons par une sphère auxiliaire de rayon quelconque, r, et de centre Z;. Son méridien principal est le cercle a' b' a'b' , lequel recoupe les méridiennes P' et S' aux points a' a' et b' c'. Par conséquent, cette sphère recoupe les deux surfaces suivant des cercles dont les plans sont respectivement perpendiculaires aux axes et sont, par conséquent, projetés verticalement suivant des droites limitées. L'un est projeté suivant la droite a ' a' et l'autre suivant la droite b 'm' c' .

Ces droites se rencontrent en un point m' qui est en réalité la projection de deux points m et n de l'intersection.

Pour les avoir; en plan, on considère la projection horizontale m an, du parallèle de la première surface ; c'est pourquoi il est important que l'axe de cette surface soit pris ou rendu vertical.

(d) Tangente en projection verticale. — Cherchons les normales à chaenne des deux surfaces au point courant ni' m. A cet effet, prenons en a ' le point du parallèle situé sur la méridienne P 'Q ' de la première surface et menons la normale a'k' à cette méridienne. Le point k' où elle rencontre l'axe est le sommet du cône des normales et la normale au point m ni' est la droite o m — k'm' .

De même la normale au point de la méridienne de la seconde surface situé sur le parallèle du point m' est la droite !)'<.<>' , laquelle rencontre l'axe en to'w, sommet du cône des normales. La normale à la seconde surface est donc la droite m w — m ' o) ' .

Il faut trouver une frontale et une horizontale du plan de ces deux normales.

Comme frontale on choisit la droite K' w' qui passe parles sommets des cônes normaux; dès lors la tangente, en élévation, est la droite m' t' perpendiculaire sur cette frontale.

(e) Tangente en projection horizontale. — Comme horizontale on choisit la droite k' h' — k h qui est dans le plan horizontal passant par le sommet de l'un des cônes des normales, le premier par exemple. La tangente est m t perpendiculaire sur K h.

(/^Remarques. — 1° En élévation la connaissance des deux points k' et w' suffit. Il est donc inutile de tracer les normales elles-mêmes m' k' et m ' &>' .

2° En plan, il suffit de tracer la seconde normale m' h

[le

(Virtt

m h. Mais si le plan k' h' de l'horizontale n'avait pas été pris passant par le point le' , il aurait fallu tracer aussi la première normale km.

(g) Points suit les contours apparents verticaux. — Ce sont les points tels que a' où les méridiennes principales se rencontrent. — En ce point les plans tangents sont tous deux perpendiculaires au mur ; la tangente, qui est leur intersection, est donc une droite de bout, projetée tout entière au pointa'. Nous avons vu (§ 153) que dans ce cas la courbe présentait un rebrous" sèment et que la tangente y était la trace du plan osculateur.

Or, construisons les deux normales au point a'. L'une est a' p' et l'autre a' y'. Joignons Je dis

que, ainsi que cela se passait pour le point m', la tangente au point a' est encore la droite a' S perpendiculaire sur ?'y'.

On pourrait démontrer ce fait en remarquant que la construction étant exacte pour tout point, m', aussi voisin que l'on voudra du point si cette construction donne pour le point a' une droite a'o déterminée de position, cette droite sera forcément la tangente ; mais on peut faire une démonstration directe et démontrer que a' S est bien la trace du plan osculateur à la courbe au point a'.

En effet, soit m' le point infiniment voisin de a'. Le plan osculateur est le plan qui passant par le point a' passe aussi par une tangente infiniment voisine, m' t' par exemple.

C'est encore la limite d'un plan qui passant par la tangente au point a', laquelle est de bout, est parallèle à la tangente infiniment voisine m' t'. Un pareil plan, avant sa position limite, est donc un plan de bout et sa trace serait la droite menée par a' et parallèle à m' t' , c'est-à-dire perpendiculaire sur hJ t»' . Si donc la droite k' w' a une position limite, ce qui est le cas ici {k' w' a pour limite p ' y'), la perpendiculaire a' 3 sur cette position limite sera la trace du plan osculateur. C. Q. F. D.

§ 265. Epure. — Intersection d'un tore et d'un ellipsoïde aplati (fig. 357, page suivante).

(a) Données. — Le tore a son axe z — :" z ' vertical. Son cercle méridien a son centre eni'. Nous n'avons pas représenté complètement le tore, mais, en entier, sa moitié de droite, et une partie seulement de la moitié de gauche.

L'ellipsoïde a son ax« de front, mais incliné ; il rencontre en z' l'axe du tore.

(b) Projection horizontale de l'ellipsoïde (voir § 255). — On mène en M' et N' les deux tangentes verti-

cales à l'ellipse méridienne ; la corde de contact M'N ' est la projection de la courbe de contact d'un cylindre vertical cir-

Fi". 357

conscrit. Sa projection sur le sol sera l'ellipse M N — W W, contour apparent horizontal de la surface. On sait 255) que

l'on a WW = 4 4, grand axe de l'ellipse méridienne.

(c) Sphères auxiliaires. — 1° Sphère n° I ou sphère limite tangentielle. — Elle est tangente en a' au tore et sécante à l'ellipsoïde suivant le parallèle 1 1. Elle donne le point a'a qui est un point limite.

D'après le théorème sur les points limites (voir § 185), la courbe y est tangente à la section faite par la surface auxiliaire dans la surface coupée. La courbe y a donc pour tangente le cercle 1 1.

2° Sphère n° II. — Elle passe par le parallèle supérieur b' dans le tore. Elle le recoupe d'ailleurs suivant un autre parallèle c'c' .

Elle donne deux points, savoir : V % — b b (en élévation, la tangente y est horizontale) et c'a (tangente à chercher).

.3° Sphère n" III. — Elle passe par le petit équateur du tore E ' e ' ou collier ; elle le recoupe d'ailleurs suivant un autre parallèle d' . Elle donne, en élévation, les deux points e'î et rf'3 (tangentes à chercher) et en plan quatre points symétriques deux à deux par rapport au méridien de front, savoir : e-i eî (la courbe y est tangente au collier) et di dz (tangentes à chercher).

4° Sphère n° IV. — Passant par l'équateur de l'ellipsoïde et donnant les points fi — fi fi et g'i — gi gi (tangentes à chercher).

5° Sphère n" V. — Passant par le grand équateur du tore.

G0 et 7° Sphères n° VI et n" VII ou sphères limites angulaires. — Répondant aux points p' et y' où se rencontrent les méridiennes principales.

En élévation, les tangentes se chercheront par la méthode des normales (voir § précédent, g). En plan, aux points J3 et y, elles sont perpendiculaires à la ligne de terre.

(d) Points sur le contour apparent horizontal de l'ellipsoïde. — On joindra les points en élévation par une courbe continue ; on prendra en s' et t' les points où cette courbe rencontre la droite M' N' et les points seront rappelés en s s eltt, sur le contour apparent de l'ellipsoïde.

(e) Vérification des points doubles. — Le lieu des milieux des cordes verticales interceptées dans l'ellipsoïde est le plan de bout M' N'. (Page 96 — Note II.)

Le lieu des milieux des verticales interceptées dans le tore c'est le plan de ses équateurs. Par conséquent, en raisonnant comme nous avons fait (page 96), on prouvera que les points doubles apparents, S et S, de la courbe en projection horizontale, sont sur la droite 8' — 55 d'intersection de ces deux plans.

Nota. — Sur la figure 357, l'ellipsoïde subsiste seul et on a figuré l'entaille faite parle tore dans son intérieur.

Fi g. 353

La figure précédente 356 donne l'entaille faite par l'ellip- ! \ soïde dans le tore, et la figure 358 fait voir le solide commun.

\ § ^65. — Autre épure. — Intersection d'un cône de rêvons *\ lution et d'une sphère. — Solide commun (flg. 359).

y' \ ■,' \ (a) Données. — La sphère de centre o o ' est tangente au

conséquent, la sphère et le cône ayant un plan tangent commun en y 'y, la courbe d'intersection présentera un point double réel en y -'y.

{(>) Remarque. — Lorsque l'une des deux surfaces est une sphère (c'est le cas actuel), comme une sphère est de révolution autour d'un quelconque de ses diamètres, on peut toujours prendre, comme l'on voudra, un diamètre de la sphère rencontrant l'axe de Vautre surface. On rentrera donc toujours dans le cas de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent. Il y a même une infinité de diamètres de la sphère qui pourront être pris comme axe de révolution ; il suffira qu'ils rencontrent l'axe de l'autre surface.

(c) Emploi de sphères auxiliaires tangentes. — On peut profiter de cette indétermination pour que la sphère auxiliaire soit toujours tangente à la surface non sphérique (ici, au cône), c'est-à-dire soit toujours dans le cas d'une surface limite. Dès lors, la courbe d'intersection sera toujours tangente au cercle suivant lequel la sphère auxiliaire recoupe la sphère donnée.

(d) Point courant (fig. 3o9). — Il est donné par la sphère auxiliaire dont le centre est en l', et qui est tangente au cône, tout le long du parallèle b' b'. Elle recoupe la sphère donnée suivant le parallèle a'a' . Les deux parallèles se recoupent en m' qui est un point courant. La tangente, en élévation, est la droite a' a1, projection du parallèle de la sphère.

En plan, le point se déterminera en mm, en considérant le parallèle m m'i de la sphère ; la tangente y sera tracée en employant la méthode des normales.

(e) Point sur l'équateur. — Il est obtenu en n' par la méthode ordinaire, en employant une sphère, non limite, de centre Il est rappelé horizontalement en nn.

(f) Point le plus a gauche. — 11 faut pour l'obtenir que la sphère auxiliaire, toujours tangente au cône, soit choisie de telle sorte que son contour apparent et le contour apparent de la sphère donnée aient pour corde commune une verticale.

Il suffit pour cela que son centre £ soit au croisement de l'axe du cône et de l'équateur. Son rayon est e8'. Elle recoupe les surfaces suivant les parallèles 0 '0" et 4' 4 dont l'intersection, //, est le point cherché.

Généraliser cette construction et chercher le point pour lequel la tangente est, en élévation, parallèle à une droite donnée.

(g) Remarques. — 1° Les deux surfaces sont du second degré ; elles ont un plan de symétrie commun, qui est le plan des axes, lequel est parallèle au mur ; donc (§ 189 — b) l'intersection doit se projeter verticalement suivant une courbe du second degré (1).

2° On voit en A A', à une échelle moitié, les projections ombrées^du solide commun.

On fera bien de s'exercer, en plaçant un papier calque sur l'épure à dessiner les solides dans tous les cas qui peuvent se présenter, savoir : les deux solides existant ensemble; le cône existant seul ; la sphère existant seule.

D. intersection des surfaces de révolution dont les axes ne se rencontrent pas § 26G. — Méthode générale.

Soient S et S' les deux surfaces. On les coupe par des plans auxiliaires Z, perpendiculaires à l'axe de l'une des deux surfaces, S par exemple. Chacun de ces plans auxiliaires, Z, donne dans la surface S un cercle SZ et dans la surface S' une courbe quelconque, S'Z, plus ou moins compliquée, dont on prend les points d'intersection m, )i, p... avec le cercle; m, n, p. . . sont des points courants.

Comme exécution, les plans auxiliaires Z seront pris perpendiculaires à l'axe de celle des deux surfaces dont les sections planes sont les plus difficiles à déterminer ; l'épure est toujours assez pénible à exécuter. Par exemple, si l'une des surfaces est un tore et si l'autre est un ellipsoïde, les plans Z seront pris perpendiculaires à l'axe du tore ; alors ils donneront chaque fois deux cercles dans le tore et une ellipse dans l'ellipsoïde.

§ 267. — Une des deux surfaces est du second degré.

Dans ce cas, les sections faites par les plans auxiliaires dans celle des deux surfaces qui est du second degré, sont

toujours des courbes du second degré, homothétiques ; elles ont leurs axes parallèles entre eux et les longueurs de ces axes sont proportionnelles.

Dès lors, on peut ne tracer qu'une seule section par un premier plan auxiliaire, mais avec le plus grand soin, et pour toute autre section, trouver les points de rencontre sans avoir à redessiner d'ellipse, ni d'hyperbole, en opérant comme suit:

Soit (fig. 360), en projection horizontale, oj le pied de l'axe (supposé vertical) de la surface, S, qui n'est pas du second degré, et soit A A' BB' une ellipse déterminée par un premier plan auxiliaire, Z, dans celle des deux surfaces, S', qui est du second degré.

Nous supposons qu'un second plan auxiliaire, Z', a donné dans la surface S un cercle projeté horizontalement en w C M N

Fip

et, dans la surface S', une ellipse de centre Oi et dont Bi est l'extrémité d'un des axes. On a Oi Bi parallèle à OB, et

(1) Dans le cas actuel, cette projection verticale est ur.e parabole.

Ton sait que si l'on traçait l'ellipse 0, Bi elle serait homolhétique de l'ellipse A A ' B 'B ' . Mais on veut, sans la tracer, trouver cependant les points M et N où elle recouperait le cercle oj c. A cet effet :

1° On joint Oi 0 et Bi B. Le point de rencontre I donne le centre de similitude des deux ellipses. 2° On joint w I et Bi u>. On mène Bio" parallèle à Bi w et on obtient en w" l'homologue du centre w du cercle donné dans la surface S.

3° On obtient de même en C" l'homologue d'un point quelconque, C, du premier cercle. Dès lors on peut tracer en oj" c"m"n" l'homologue du premier cercle ; il recoupe en m" et n" l'ellipse A A ' B B".

4° Menant du centre de similitude I les rayons vecteurs I m" et I n", on obtient par recoupement avec le premier cercle les points cherchés M et N.

§ 268. — Les deux surfaces sont du second degré (1).

On a vu (§ 189 — a) que lorsque deux surfaces du second degré sont circonscrites toutes deux à une même surface du second degré, elles se recoupent suivant deux courbes planes.

Soient S et S' les surfaces de révolution. Considérons deux sphères, 0 et 0', inscrites respectivement dans chacune des surfaces et imaginons les deux cônes qui, ayant pour sommets les centres de similitude directe (V) ou inverse (W) sont circonscrits à ces deux sphères.

Prenons l'un de ces cônes, V, par exemple. Il coupe chacune des surfaces de révolution suivant deux courbes planes. Désignons par A et B les courbes planes qu'il détermine sur la surface S et par C et D les courbes qu'il détermine sur la seconde surface S'.

Les points courants de l'intersection seront aux points de rencontre de la courbe A et de la courbe G, ou de B et deC, ou de A et de D, ou de B et de D.

Baisonnons pour les courbes A et C. Ces courbes étant planes, les points d'intersection sont sur la droite d'intersection de leurs deux plans. On est donc ramené en dernière analyse :

1° A chercher les quatre droites d'intersection des deux plans des courbes A et B, combinés, deux à deux, avec ceux des courbes C et D ;

2° A prendre les points où chacune de ces droites d'intersection rencontre le cône auxiliaire. Problème déjà résolu (§ 181 bis), intersection d'une droite et d'un cône de révolution.

Théoriquement cette méthode est élégante, mais elle donne des constructions compliquées et nous pensons que celle qui a été exposée au § 267 est plus simple comme exécution graphique.

EXERCICES

1. — On donne deux droites de front qui se coupent et un cercle dans leur plan. Ce cercle tourne successivement autour de chacune des deux droites. On demande de trouver l'intersection des deux surfaces.

2. — On donne, dans le plan horizontal, un cercle 0 et une droite AB tangente à ce cercle. Le cercle tourne autour de AB et engendre une surface de révolution.

On donne une droite par sa projection horizontale p q et on sait qu'elle est inclinée à 45° sur le plan horizontal. Mener à la surface de révolution une normale parallèle à p q de l'espace.

3. — On donne, dans le plan horizontal, deux droites rectangulaires qui sont les axes de deux cylindres de révolution de rayons r et R.

Trouver leur intersection ; tangente en un point (équation de la projection de l'intersection sur le plan des axes).

4. — Dans un plan parallèle au plan vertical, on donne une droite et un cercle que l'on fait tourner autour de la droite.

On demande de mener au tore ainsi engendré un plan tangent parallèle à un plan donné.

5. — On donne les traces d'un plan et, dans ce plan, une courbe qui se projette horizontalement suivant un cercle ; •cette courbe, en tournant autour d'un axe vertical situé dans le plan vertical, engendre une surface de révolution.

Trouver un point de sa courbe de contact avec le cône circonscrit qui a pour sommet un point de la ligne de terre.

(1) Nous empruntons celte méthode à M. Geoffroy, répétiteur a l'Ecole centrale.

G. — On donne une surface de révolution ayant son axe vertical et, pour génératrice, une courbe du plan vertical ; on donne une sphère ayant son centre sur le plan vertical.

Mener des plans tangents communs aux deux surfaces.

7. — Soient deux droites b' a' et c'a' dans le plan vertical, et un point d\ dans le plan horizontal. Les droites sont les axes de deux cylindres de révolution et le point di un point de leur intersection.

Construire la projection verticale de l'intersection des deux cylindres et la tangente en un point de cette intersection.

8. — On donne une circonférence dans le plan vertical. En tournant autour d'un axe vertical, elle engendre un tore. On donne une autre circonférence dans le plan horizontal, servant de base à un cylindre dont les génératrices sont

parallèles à la droite qui joint le centre des deux circonférences. Trouver l'intersection des deux surfaces.

9. — On donne une circonférence dans le plan vertical et une autre dans le plan horizontal. Elles servent respectivement de base à deux cylindres droits. On donne encore un axe vertical.

On demande de trouver la courbe méridienne de la surface de révolution engendrée par la rotation autour de l'axe donné de la courbe d'intersection des deux surfaces et la tangente en un point de cette courbe méridienne.

10. — On donne les traces d'un plan et, dans ce plan, un cercle. On fait tourner ce cercle autour d'un axe vertical. Il engendre une surface de révolution dont on demande l'intersection avec un cylindre vertical ayant pour base le rabattement sur le plan horizontal du cercle donné.

H. — On donne, sur le plan horizontal, une circonférence qui est la projection, en vraie grandeur, d'une demi-sphère ayant sa base dans le plan horizontal et tangente au plan horizontal. On donne aussi un point M dont la cote est égale au diamètre de la sphère.

On demande l'intersection de la demi-sphère avec le cône ayant pour sommet le point M et pour directrice la base de la demi-sphère.

12. — On donne les traces d'un plan et, dans ce plan, un cercle tangent à la trace horizontale. On considère le cône qui a pour sommet un point du plan vertical et, pour directrice, le cercle donné.

Trouver l'intersection de ce cône avec la sphère dont le centre est au sommet du cône et qui est tangente au plan horizontal.

13. — Une ellipse située clans le plan horizontal tourne autour de son grand axe et engendre une surface de révolution. On donne une droite quelconque, définie par sa projection horizontale et inclinée à 45° sur le plan horizontal :

1° Mener par cette droite un plan tangent à l'ellipsoïde ;

2° De la trace de la droite, comme sommet, circonscrire un cône à l'ellipsoïde.