HYPERI50I.0IDE DE RÉVOLUTION A UNE NAPPE

ivi6me Lc(;oq .

plan.

A. GÉNÉRALITÉS

§ 269. — Définitions.

L'hyperboloïde de révolution est engendré par une droite tournant autour d'un axe non situé avec elle dans un môme

Soit (o, zz') un axe vertical et (cd, c' d') la génératrice dans une de ses positions. Dans le mouvement, chaque

point de cette génératrice décrit une circonférence dont le centre est sur l'axe et dont le plan est perpendiculaire à cet axe (tig. 361).

Cherchons la plus courte distance de l'axe et de la génératrice donnée. Cette plus courte distance est la droite ot — o't' (voir §13-4). Cette droite ot — o't' étant horizontale, son pied t' l, en tournant, engendrera un cercle horizontal (e' f , ef) ayant pour rayon la plus courte distance et projeté horizontalement en vraie grandeur. Ce cercle, le plus petit de tous ceux décrits par la rotation d'un point quelconque de la génératrice, a reçu le nom de cercle de gorge ou de collier de l'hyperboloïde.

D'ailleurs, dans son mouvement, la génératrice (c' d' , cd) reste, en projection horizontale, constamment tangente au collier.

La trace horizontale c c ' de la génératrice donnée décrit, dans le mouvement, un cercle ayant pour rayon oc et situé sur le plan horizontal. C'est la trace horizontale de l'hyperboloïde.

La connaissance de cette trace et du cercle de gorge en projection horizontale et verticale suffit pour déterminer l'hyperboloïde.

On peut encore définir l'hyperboloïde par les projections de son cercle de gorge et de sa génératrice de front m» — m' n' . D'ailleurs, dans chacun de ces deux cas, on détermine facilement les éléments de l'autre.

§ 270. — Prendre un point sur la surface (fig. 362). (a) Connaissant la projection horizontale m du point. — Menons le cercle qui a om pour rayon. C'est la projection horizontale de deux parallèles de l'hyperboloïde : l'un, qui rencontre la génératrice de front au point kk'; l'autre, qui rencontre cette même génératrice en ki k\.

Les projections verticales de ces deux parallèles sont les droites k ' g ' , k'igU menées, par les points k' et ki, parallèlement à xy. La ligne de rappel du point m rencontre ces projections verticales aux points m ' et m'u qui sont les projections verticales cherchées.

Remarque. — On obtient deux points k' et k'i également distants du cercle de gorge.

A toute projection horizontale d'un point m correspondent deux points m' et m'\ également distants du cercle de gorge. En d'autres termes, toute corde verticale est coupée en son milieu par le plan du cercle de gorge. Donc, enfin, le plan du cercle de gorge est un plan de symétrie pour l'hyperboloïde.

GEOM. DESCR .

Fis. 362

(b) Connaissant la projection verticale. — Soit m' le point donné verticalement (même fig. 362).

Nous considérerons encore le parallèle qui passe par ce point. Pour avoir la projection horizontale de ce parallèle, il suffira de prendre la projection horizontale k du point où il rencontre la génératrice de front et de mener le cercle ayant pour rayon ok.

La ligne de rappel du point m' coupe ce cercle aux deux points m et n qui répondent à la question.

§ 271. — Cône directeur de la surface.

Si par un point fixe S S', nous menons des parallèles à toutes les génératrices, elles engendreront un cône de révolution d'angle à la base a, qui sera ce que l'on nomme un cône directeur de la surface. Si, plus tard, nous avons à chercher sur la surface une génératrice de direction indiquée [soit parallèle à un plan, soit parallèle à un autre cône), 1° nous commencerons par chercher sa direction précise sur le cône directeur ; et 2° nous la mettrons en place sur la surface.

Soit par exemple S [3 — S'P',cette direction sur le cône directeur. Pour la mettre en place sur la surface, nous menons, en plan, une droite tangente au collier et parallèle à S p ; nous en déduirons facilement la projection verticale. (Ces explications ne nécessitent pas de figure.)

§ 272. — Double génération de la surface (fig. 363). La surface peut être engendrée par une génératrice dite du deuxième système, i b — i 'b\ ayant même plus courte distance o i — o'i' avec l'axe, faisant avec cet axe le même angle (90° — a), mais orientée en sens inverse.

En effet, sur la figure 363, on voit que tout parallèle, m, qui s'appuie en mm' sur la génératrice ai, peut aussi être

considéré comme s'appuyant en nn' sur la génératrice ib. Donc les parallèles de l'hyperboloïde, engendré par en, se confondent tous avec ceux de l'hyperboloïde engendré par bi ; donc les deux surfaces n'en font qu'une.

La droite ai — a'i', dans ses différentes positions, constituera les génératrices dites du premier système, et la droite bi — b'i', celles dites du deuxième système.

Pour reconnaître à quel système appartient une génératrice, on suppose que l'on se place verticalement, appuyé contre l'axe et regardant la génératrice. Si sa trace horizontale se trouve à droite de l'observateur, la génératrice sera du deuxième système; au contraire, si la trace est à gauche, elle sera du premier système. Ainsi (fig. 363) cd, dont la trace horizontale est en d (marquée par une flèche simple), est du premier système ; tandis que fg, dont la trace est g (marquée d'une flèche double), est du deuxième système.

Fig. 363

$ 273. — Théorème.

1° Deux génératrices de système différent sont toujours dans un même plan (c'est-à-dire se rencontrent à distance finie ou inûnie) ; 2° deux génératrices d'un même système ne sont jamais dans un même plan.

1" Partie. — En effet (fig. 364), soit ai — a'i' une génératrice du premier système, et cd une du deuxième système. En plan, elles se coupent au point m. Considérons-le comme la projection d'un point M de la droite ai, et d'un autre point Mi de la droite cd. M et Mi ne font qu'un, car 1° ils sont tous deux au-dessous du collier ; 2° si on calcule leurs cotes de hauteur Z et Zi au-dessous du plan du collier, on aura pour M :

Z = mi. tang. a et pour Mi : Zi = m c. tang. a.

Or, mi = me comme tangentes au cercle de gorge ; donc Z — Z\. Donc, etc

Fig. 3Gi

2° Partie. — Soit / g, une génératrice du premier système ; en plan, elle paraît rencontrer ai (aussi du premier système) au point n. Mais N, de l'espace, considéré sur ai, est au-dessus du cercle de gorge, tandis que Ni, de l'espace, pris sur gf, est au-dessous ; donc f g et ai ne se rencontrent pas.

Remarque. — A une génératrice a i du premier système, répond toujours une génératrice kj du deuxième système qui lui est parallèle.

§ 274. — Corollaires. — Plan tangent (même fig. 364). 1° Par un point m m' de la surface, il passe toujours deux génératrices de systèmes différents.

2° A elles deux, elles définissent le plan tangent à la surface. 3° La trace ad, de ce plan tangent (fig. 364), est la ligne qui joint les traces a et d des deux génératrices.

4° Tout plan, m ad, passant par une génératrice d'un système, contient une génératrice de l'autre système.

5° On obtient cette autre génératrice en prenant le point d où la trace du plan rencontre le cercle ad g, trace horizontale delà surface, et menant, du côté voulu, la génératrice de l'autre système de, tangente au cercle de gorge. 6° Le plan est tangent, en m, au point de croisement des deux génératrices de systèmes différents.

Fig. 36.Ï

Méridien jirincijial

§ 275. — Contour apparent vertical. — Hyperbole méridienne.

On a en M' M, un point de la méridienne principale, situé sur an parallèle quelconque m'M ' . Cherchons l'équation du lieu des points tels que M' , o X, o Y sont les axes coordonnées.

On a en plan : om = 0 M = x et

o m- — r- -J- im2 : d'où l'on tire

(1) x2 r2 -f- im2.

Mais, en élévation, y — o 't ' X tg. a, et o' t ' = i m,

d'où

Substituant dans (1) il vient

f tg.*a

C'est l'équation de la méridienne. Divisant les deux membres par r2 et isolant x- et y- dans le 1er membre, cela donne :

2° Que 2° Que

r2 r2 tg On reconnaît l'hyperbole connue :

1° Que le demi-axe transverse (a) est o 'A', rayon du collier; le demi-axe imaginaire (b) est o'B', obtenu en complétant le rectangle sur o'n' comme diagonale ; les asymptotes sont o'a' et o' c', projections de la génératrice dans ses deux positions de front.

Ce qui prouve :

§ 276. — Cône asymptote .

En réalité, les asymptotes méridiennes sont contenues dans les plans méridiens. Celle qui sera de front aura pour projections o |J- — o ' \i. ' , ou oS — o' Z'. En la faisant tourner, elle engendrera un cône de révolution, nommé le cône asymptote. Ce cône est directeur, comme au § 271 ; de plus, en sa qualité de cône asymptote, il possède des propriétés qui seront étudiées plus loin, §279.

Nota. — 1° Une génératrice quelconque 12 — 1*2' doit être, en élévation, tangente à l'hyperbole méridienne, en 3 — 3'. On voit, sur l'épure, un moyen de tracer cette génératrice qui est du 2° système, en se servant des points 1 — t' et 2 — 2', où, d'après le théorème du § 273, elle doit rencontrer les deux génératrices du 1er système, ai et J /.

2° A l'aide de ce tracé, en cherchant le lieu des points tels que 3', on peut démontrer que ce lieu est une hyperbole.

On s'appuie pour cela sur le théorème connu : Si une droite M 2 1 se déplace de telle sorte que le produit des segments o ' 1 ' et o '2', suivant lesquels elle recoupe deux droites flxeso'a' eto'c', soit constant, cette droite a pour enveloppe une hyperbole dont les lignes o' a' eto'c' sont les asymptotes. Le point de contact est le point milieu 3' de la droite 1 '2'. (Démonstration facile à faire.)