B. PROBLÈMES SUR LES PLANS TANGENTS

§ 277. - Soit nn

Fi g. 366

Problème 1. — Par un point pris sur la surface, mener un plan tangent à l'hyperboloïde [ûg. 366). un point situé sur la génératrice de front, du premier système. Cette génératrice est une droite du plan

tangent cherché ; pour achever de définir ce plan, il suffit de mener la génératrice du second système qui passe par le point nn'. La projection horizontale de cette droite est la tangente ne, menée au cercle de gorge ; d'ailleurs, comme cette génératrice est du second système, sa trace horizontale doit être à droite de l'observateur qui, placé au pied de l'axe sur le cercle de gorge, la regarde. C'est donc le point y.

On obtient facilement la projection verticale de cette droite en rappelant sa trace y sur la ligne de terre en y' et son point e de contact avec le cercle de gorge en e '.

Comme il y a toujours un peu d'indécision sur ce point de contact, on peut rappeler un point situé sur un parallèle quelconque. On prendra, par exemple, le point h situé sur le parallèle symétrique du plan horizontal par rapport au cercle de gorge.

Comme vérification, la projection verticale h' doit passer par n ' .

Le plan tangent cherché est donc défini par les deux génératrices qu'il contient. Si on veut obtenir ses traces, on joint les points a et y par une droite qui est la trace horizontale du plan ; elle rencontre la ligne de terre au point f. La droite e c, qui joint les points de contact des deux génératrices et du cercle de gorge, est l'horizontale du plan tangent menée à la hauteur du plan du cercle de gorge.

Si donc on prolonge ec jusqu'à la ligne de terre en g et qu'on mène la ligne de rappel de g jusqu'à g',\e point {g' g) sera la trace verticale de cette horizontale, et la droite fg' sera la trace verticale du plan tangent.

§ 278. — Variations du plan tangent lorsque le point varie de — oo à -f o© (même figure 366).

(a) Variation. — Supposons que le point donné se déplace sur la génératrice de front du premier système et examinons les positions correspondantes du plan tangent.

Tous ces plans contiennent cette génératrice de front ; leurs traces horizontales divergent donc toutes du point a, trace horizontale de cette droite.

De plus, cette génératrice de front est évidemment une ligne de front pour chacun d'eux.

(a) Plan asymptotique. — Supposons d'abord que le point a soit à — ©o, c'est-à-dire à gauche sur la génératrice de front et infiniment loin.

Le plan tangent ayant son point de contact à l'infini est ce que l'on nomme un plan asymptotique et les deux génératrices qu'il contient sont parallèles. En menant donc au cercle de gorge la tangente de front qir, cette droite est la géné-

ratrice du second système qui se trouve sur le plan cherché, et sa trace horizontale est le point q\ . La droite a qi est la trace du plan tangent.

Comme les points a et qi sont évidemment symétriques par rapport à or, elle est perpendiculaire à x y.

En résumé, lorsque le point est à — o©, le plan tangent, qui est un plan asymptotique, est perpendiculaire au plan vertical ; sa trace, sur ce plan, n'est autre que la projection verticale de la génératrice de front, et, par suite, l'angle qu'il forme avec le plan horizontal est égal à l'angle a des génératrices avec ce même plan horizontal.

(b) Plan central. — Lorsque le point considéré se rapproche du point c c' où la génératrice de front touche le cercle de gorge, point que nous nommerons le point central de la génératrice, le plan tangent est oblique au plan vertical, et sa trace horizontale se déplace dans l'angle a' ac.

Ainsi, par exemple, lorsque le point est en (nn'), la trace horizontale du plan tangent est la droite a-; f.

Lorsque le point arrive en ce' sur le collier, la génératrice du second système, située sur le plan tangent, est l'autre génératrice de front cm; le plan tangent a pour trace horizontale am ; il est parallèle au plan vertical.

Ainsi, le point variant de oo au point central c, le plan tangent, d'abord perpendiculaire au plan vertical, lui devient parallèle ; il tourne donc d'un angle de 90°. Le plan tangent au point central c c' se nomme le plan central.

(c) Autre plan asymptotique. — Si maintenant nous faisons varier le point deçà -f- 00 > 'a trace horizontale du plan se déplace dans l'angle caqi ; ainsi, pour la position particulière (m m') du point, la trace du plan tangent est la droite a p.

Enfin, lorsque le point arrive à -f- 00, le plan tangent est encore un plan asymptotique, celui qui contient les deux génératrices de front c a et r qi ; il se confond avec le plan correspondant à la position à — ©o du point.

Donc le plan tangent, dans la seconde phase de son mouvement, a encore tourné d'un angle de 90° et est revenu à sa position primitive. Il est de nouveau perpendiculaire au plan vertical et fait, avec le plan horizontal, l'angle a.

(b) Loi algébrique. — Il est facile d'établir la loi de variation de l'angle du plan tangent avec le plan central (1) en fonction delà distance x du point donné au point central ce' (même figure 330).

Soit mm' le point donné. La génératrice du deuxième système qui passe par ce pointa pour projection horizontale ap. La droite eu qui joint les points de contact c et /"des deux génératrices menées par m m' avec le cercle de gorge est parallèle à la droite ap, trace du plan tangent au point considéré ; c'est la ligne de front de ce plan à la hauteur du plan du cercle de gorge. La projection verticale de cette droite est donc la trace verticale du plan du cercle de gorge ; le plan tangent peut être considéré comme défini par cette droite et par la génératrice de front ac — a ' c ' .

Menons, par le point m' m, un plan m ' u' u perpendiculaire à cette génératrice de front et, par suite, perpendiculaire à la fois au plan tangent et au plan vertical ; il coupe le plan tangent suivant une droite projetée verticalement en m ' u' et horizontalement en mu. L'angle du plan tangent avec le plan vertical n'est autre que l'angle de l'espace umv.

Appelons cet angle 0 et soit r le rayon du cercle de gorge.

Nous avons, dans le triangle de l'espace projeté en (uv m — u' m') et rectangle en v :

tansr. 0 =

Appelons x la distancé c' m' du point donné au point central ; elle se projette verticalement en vraie grandeur en dm'

et l'on a dans le triangle rectangle c' m ' u

Evaluons uv ; les deux triangles uvç, mco qui ont leurs côtés perpendiculaires sont semblables; ce qui fournit la relation :

(1) , uv cv

mais

me oc

m c — k' c ' — x Cos. a, cv — d u' = -pr — oc — r

Cos. a

La relation (1) devient donc

= Cos. a d'où : uv — —

.xCos.a r

(lj Ce plan central est parallèle au plan vertical, nous l'avons d<5montr6.

Donc, enfin :

Tang. 6

X tg. a

r tg.

r ts. a

Fig. 367

Or r tg. a est constant; c'est le demi-axe imaginaire de l'hyperbole méridienne. Donc l'angle que fait le plan tangent avec le plan central a sa tangente trigonométrique proportionnelle à la distance du point de contact au point central. Et

le coefficient de proportionnalité est .

1 v r tg. a

La quantité r tg. a se nomme le paramètre de distribution. Il est égal au demi-axe imaginaire de l'hyperbole. Nota. — Nous verrons, quand nous étudierons les surfaces réglées, que cette loi de variation du plan tangent est générale pour toutes les surfaces gauches (voir plus loin le théorème de Chasles).

§ 279. — Cône asymptotique (fig. 367).

La démonstration précédente a montré que le plan asymptotique qui contient les deux génératrices de front de système différent fait l'angle a avec le plan horizontal. Il est clair qu'en changeant le plan vertical de projection et considérant les génératrices de système différent parallèles à ce nouveau plan vertical, la démonstration aurait pu se répéter identiquement.

Donc tous les plans asymptotiques font avec le plan horizontal l'angle a des génératrices avec le plan horizontal. De plus, ils passent tous par le centre 0.

Nous savons alors que la surface enveloppe de tous ces plans est un cône de révolution faisant aussi l'angle a avec le plan horizontal et ayant un axe vertical. Ici, à cause de la symétrie, cet axe sera celui de l'hyperboloïde ; par suite, la trace horizontale de ce cône sera le cercle décrit avec or pour rayon.

Si nous considérons la génératrice de front de ce cône, sa trace horizontale est le point rr'; cette génératrice fait avec le plan horizontal l'angle a; par suite, sa projection verticale se confond avec la projection verticale de la génératrice de front de l'hyperboloïde. Elle rencontre l'axe au centre du cercle de gorge.

Donc, enfin, le cône asymptote est un cône de révolution ayant pour sommet le centre de l'hyperboloïde, pour axe, l'axe de l'hyperboloïde, et faisant avec le plan horizontal le même angle que les génératrices de l'hyperboloïde. Sa trace sur le plan horizontal est un cercle ayant pour diamètre la longueur d'une corde inscrite dans le cercle de trace horizontale de l'hyperboloïde et tangente au cercle de gorge.

C'est un cône directeur, c'est-à-dire un cône dont toutes les génératrices sont parallèles à celles de la surface. En tant que cône directeur, son sommet pourrait être quelconque ; comme cône asymptote, il doit être au centre du cercle de gorge.

Il se confond avec le cône des asymptotes méridiennes étudié au § 276.

§ 280. — Problème 2. — Mener à l'hyperboloïde un plan tangent parallèle à un plan donné P a Q/ (fig. 368). On pourrait, en se servant de l'hyperbole méridienne, résoudre ce problème comme pour une surface de révolution quelconque (§ 248).

(a) Autre solution. — Ce plan contiendra deux génératrices de système différent :

1° On les cherche, en direction, sur un cône directeur (lequel peut être le cône asymptote), en coupant ce cône par un plan Pi parallèle au plan P et passant par son sommet S. On obtient soit deux génératrices, soit une seule, soit pas de génératrice ;

2° On les met ensuite en place sur la surface, ce qui donne quatre droites que l'on combine deux à deux, c'est-à-dire une cd du premier système avec fg du deuxième, etc.

(6) Epure. — ai — a'V est la génératrice de front de l'hyperboloïde. P«Q' est le plan donné (fig. 368):

Fie. 368

1° On construit en S S ' un cône directeur (on pourrait lui substituer le cône asymptote) ;

2° On mène par S S ' une ligne de front S d — S 'd' parallèle aux frontales du plan P ; ce qui permet d'avoir en Ph

parallèle à P, la trace du plan auxiliaire mené par le sommet S S' du cône.

Ce plan Pi coupe le cône directeur suivant deux génératrices, S X et S [x ;

3° On les transporte paralièlement à elles-mêmes sur l'hyperboloïde ; elles y sont tangentes, en plan, au cercle de gorge. Ainsi on a, parallèles à S ;x, les deux droites fg (2e système) et mik (lor système), et parallèles à SA , on a : md (1er système) et mil (2° système);

4° On combine ces droites par systèmes différents, savoir fg et cd, qui donnent à leur rencontre un premier point de contact m, rappelé en m', et mik qui, combiné avec nii /, donne le deuxième contact mi.

(c) Discussion. — Pour que le problème soit possible, il faut que le plan auxiliaire Pi A fjt, parallèle au plan P, coupe le cône directeur suivant deux génératrices SX et S n : 1° Il faut donc que l'angle p (ûg. Q ') que fait le plan P avec le sol soit plus grand que l'angle a des génératrices avec ce même sol ;

2° Si p = a, alors Pi prend la position P2 tangent au cône. Les deux droites SX et S f-t, se réduisent à une seule et il n'y a qu'une seule solution. Le plan tangent demandé sera asymptotique et tangent au cône asymptote ;

3° Si p < a. Pas de solution.

§ 281. — Problème 3. — Mener à unhyperboloïde un plan tangent passant par une droite donnée.

On pourrait traiter la question en utilisant l'byperbole méridienne, comme on l'a fait plus haut (§ 249) pour une surface de révolution quelconque. Mais il est préférable de résoudre le problème en utilisant les propriétés résultant de ce que la surface est réglée.

C'est ce que nous ferons plus loin (§ 285), quand nous aurons appris à trouver l'intersection d'une droite et d'un hyperboloïde.

Nota. — Les problèmes d'ombres seront traités après les sections planes.