C. SECTIONS PLANES DE L'hYPERBOLOÏDE

Ler;on. § 282. — Théorèmes à admettre.

Nous admettrons les théorèmes suivants, comme démontrés par la géométrie analytique.

Théorème 1. — La section faite par un plan dans un hyperboloïde est toujours une courbe du second degré (ellipse, cercle, hyperbole, parabole, ensemble de deux droites concourantes ou ensemble de deux droites parallèles).

Théorème 2. — Les sections faites par un même plan dans l'hyperboloïde et dans son cône asymptote ont le même centre ; leurs axes sont confondus en direction et les longueurs de ces axes sont proportionnelles; autrement dit, les deux sections sont homothétiques par rapport à leur centre commun.

Théorème 3. (Ombres.) — La ligne de contact d'un cône ou d'un cylindre circonscrit est une courbe plane. Nous verrons que si l'on éclaire la surface et son cône asymptote par le même flambeau (situé à distance finie ou inlinie), les

courbes de contact sont de même espèce sur les deux surfaces. Par exemple, si le cône a deux génératrices d'ombre propre (ce qui est un cas particulier de l'hyperbole), l'hyperboloïde aura pour séparatrice une hyperbole ;

Si le cône a pour ombre propre deux génératrices confondues en une seule, l'hyperboloïde aura pour séparatrice une parabole ;

Enfin, si le cône n'a pas d'ombre propre, l'hyperboloïde aura pour séparatrice une ellipse.

Fig. 309

§ 283. — Epure de la section hyperbolique (fig. 369).

(a) Données. — L'axe est S — z" z' ; le cercle de gorge est ab — a 'b1; la génératrice de front est cd — S'd'. Par conséquent, l'hyperboloïde a pour trace horizontale le cercle khg; le cône asymptote a pour sommet SS' et pour base le cercle fjk...

Enfin le plan sécant est défini en hPQ' par ses traces.

(b) Point courant situé sur un parallèle donné. — On coupe par un plan auxiliaire horizontal W, par exemple ; il donne dans le plan sécant une horizontale 3' — 3 mn, et dans la surface un parallèle dont 4' 4 situé sur la génératrice de front est un point, ce qui suffit à le tracer. L'horizontale 3' n et le cercle 4 — m n se coupent en deux points m et n qui sont des points courants.

On cherchera de cette façon les points y et 8 situés sur le collier et les points h g et 7, 10, situés sur la base inférieure et sur la base supérieure de l'hyperboloïde.

avec un plan (ici, le plan sécant). Dans les deux cas, la tangente sera l'intersection du plan sécant et du plan tangent à la surface.

(d) Asymptotes. — Par le sommet SS' du cône asymptote, on mène un plan Pi parallèle au plan P. On a tracé, pour cela, une frontale S6 — S'O' du plan P|, parallèle à la trace verticale du plan P. Le plan P ainsi transporté en Pi recoupe le cône suivant deux génératrices S/i etSX2 qui sont les directions asymptotiques. Si l'on prenait, en effet, une des génératrices de l'hyperboloïde qui sont parallèles à S/i ou à SX2, par exemple la génératrice S"X", parallèle àS/2, elle serait parallèle au plan P et le rencontrerait en un point situé à l'infini.

L'asymptote est la limite de la tangente en ce point ; elle est donc l'intersection du plan sécant P' et du plan asymptotique de la génératrice S" À", lequel est précisément le plan tangent au cône asymptote, mené tout le long de la droite SX 2 (§ 278). Sa trace horizontale est la droite /")-2 tangente, en I2, à la base du cône. Elle recoupe en p la trace du plan sécant P. Son intersection avec ce plan est la droite [31, parallèle à S À2 ; c'est une première asymptote.

L'autre asymptote, obtenue de la même manière, est la droite al parallèle à l'autre direction asymptotique SXi.

(e) Centre et axe transverse. — Le centre est en I au croisement des asymptotes; les points g et h, où la trace du plan sécant coupe la trace de l'hyperboloïde, sont des points de la section, ce qui nous fixe sur l'angle des

asymptotes dans lequel est situé l'hyperbole. L'axe transverse est dirigé suivant la bissectrice n im de l'angle en I.

Pour obtenir les sommets m et n, on coupe par un plan horizontal, W, situé à la hauteur du point I'. C'est ce qui a été fait tout à l'heure (§ b).

(f) Section dans le cône asymptote. — Le même plan sécant donne dans le cône asymptote une hyperbole h, v,j — 8, ?/, g. Ces sommets u et v sont obtenus en cherchant directement les points situés dans le méridien 11 p. A cet effet, on a

Fig. 370

cherché en w' le point où l'axe perce le plan sécant ; on a ramené de front, de sp en s pi projeté verticalement en w' p'i, la section faite par ce plan méridien up, dans le plan sécant.

La droite w'p'i a recoupé en v'v\ et uhui la méridienne du cône. Ces points sont ensuite ramenés en uu' et v v' par une rotation inverse.

(g) Remarques. — 1° Si Ton se reporte (§215) à la méthode indiquée pour obtenir les asymptotes dans la section hyperbolique d'un cône, on voit que ce sont les mêmes plans tangents P et li x qui doivent servir et qui ont déjà été utilisés pour l'hyperboloïde. Cela prouve donc que les asymptotes sont les mêmes pour la section faite dans le cône et pour celle faite dans l'hyperboloïde.

2° Si le plan sécant passe par le sommet du cône, et s'il recoupe le cône, ce sera suivant deux génératrices qui seront les asymptotes de la section faite dans l'hyperboloïde.

(h) Nota. — 1° Nous avons supposé sur la figure 369, ainsi que l'indique le croquis perspectif B, que la partie solide est comprise entre l'hyperboloïde, son cône asymptote et le plan sécant.

2° On devra exécuter une épure analogue pour les cas des sections elliptiques et paraboliques. Si le plan auxiliaire P i ne coupe pas le cône, la section par le plan P est une ellipse ; s'il est tangent au cône, la section par ce plan P est une parabole. Elle se réduit même à deux droites parallèles, si le plan P est lui-même tangent au cône, c'est-à-dire confondu avec P i .

§ 281. — Sections faites par des plans parallèles à l'axe.

Nous supposerons, pour simplifier, que les plans sont de front. Le croquis ci-joint (fig. 370) indique les différents cas qui peuvent se présenter.

1er Cas. — Le plan sécant est le plan méridien de front. La section est l'hyperbole méridienne ni'p'.

Les asymptotes sont les projections S' a' et S'a' des génératrices de front.

2e Cas. — Le plan de front M coupe le collier en deux points, c et c, projetés verticalement en c'c'. Ce sont les sommets de l'axe transverse.

En menant, comme au paragraphe précédent, par le sommet du cône un plan parallèle au plan sécant, on obtient le plan méridien principal ; par conséquent, pour tous les plans sécants de front M, N, ou P, les directions asymptotiques seront toujours les génératrices de front SX et Sjjl du cône asymptote. Comme autre conséquence, en élévation, les asymptotes des sections de front appartenant toutes aux deux plans asymptotiques À« et \>.Z\, qui sont des plans de bout, seront confondues avec les asymptotes méridiennes S'a' et S'a'.

3e Cas. — Le plan sécant N est tangent, en h, au collier; il donne, comme section, deux droites génératrices h2 — h 2 projetées verticalement en S 'a ' — S'a'.

4e Cas. — Le plan sécant P ne coupe pas le collier. On obtient l'hyperbole 3 Y'3 ' . . . située dans l'autre angle des asymptotes. Le sommet f est la projection verticale du point / situé le plus près de l'axe. On l'obtient en utilisant le parallèle fn, rappelé verticalement en f'n

% 285. — Problème : 1° Trouver l'intersection d'une droite et d'un hyperboloïde ; 2° Par cette droite, mener un plan tangent à la surface.

1er Cas. — La droite rencontre l'axe.

(a) Solution. — On fait tourner la droite autour de l'axe. Comme elle le rencontre, elle engendre un cône auxiliaire, qui, ayant même axe que l'hyperboïde, recoupera cette surface suivant deux parallèles. Les points où ces parallèles recoupent la droite sont les points cherchés.

Cette solution est intéressante, en ce qu'elle donne l'emploi d'un cône de révolution comme surface auxiliaire menée par la droite donnée.

GÉOM. DESCR. 21

l'S Méridien j\rin.ctjial .

S?PUr.M 3tPlinN

Plan. P

Fig. 371

(b) Epure (fig. 371). — L'axe est Z'ZO; la génératrice de front est la droite ab — a'b'. La droite est donnée en Sd — S 'd ' ; elle rencontre l'axe au point S S'.

Le cône engendré par la droite a pour base le cercle décrit par la trace d de cette droite.

Si l'on avait un seul point h! h de l'un des parallèles suivant lequel le cône auxiliaire doit recouper l'hyperboloïde, cela suffirait pour tracer ce parallèle en entier. Ce point h'h sera le point où une génératrice quelconque (a b — a'b' par exemple) de l'hyperboloïde recoupe le cône.

Pour l'obtenir, nous sommes donc ramenés à résoudre le problème déjà traité (§ 181 bis) : « Trouver l'intersection d'une droite ab — a'b' avec un cône. »

A cet effet, on a mené par le sommet S S ' une droite S t — S' V parallèle kab — a'b' . Cos deux droites définissent un plan dont la trace e /"coupe ren e et en /"la base du cône. Ce plan, passant d'ailleurs parle sommet, coupe le cône suivant deux génératrices eS et S f, lesquelles rencontrent en h h ' et en g g' la génératrice ab — a' b' de l'hyperboloïde.

Les parallèles auxiliaires sont donc les cercles hn et g m passant par ces points ; ils sont projetés verticalement suivant les droites horizontales h 'n ' et g 'm ' .

Leurs points de rencontre mm' et nn' avec la droite donnée DD' sont les points cherchés.

Nota. — Le plan tangent à mener par la droite sera construit comme nous l'indiquons plus loin.

2" Cas. — La droite est quelconque.

(a) Solution. — 1° Par la droite, on fait passer un plan auxiliaire. On choisit de préférence le plan qui la projette horizontalement, parce qu'il donne, comme intersection auxiliaire, une hyperbole dont on a très facilement les asymptotes (Voir § précédent); 2° On détermine la courbe auxiliaire d'intersection ; 3° On prend les points d'intersection de cette courbe et de la droite donnée.

{b) Epure. — La droite est donnée en DD ' (fig. 372). On considère le plan vertical DV qui la projette horizontalement. Il donne comme section une hyperbole dont le centre est I [' sur le plan du collier, dont a a et a a' sont les sommets, et dont les asymptotes sont I Z — I "L ' et I V — I 'V.

Connaissant les asymptotes et un point d'une hyperbole, cela suffit pour la tracer.

On la dessinera, sinon en entier, du moins aux environs de la droite D',ce qui permettra de trouver les points d'intersection F' et G', rappelés horizontalement en F et en G sur la droite (1).

(1) On peut trouver les points d'intersection sans tracer la courbe, en utilisant la propriété suivante de l'hyperbole (fig. 373): Si l'on coupe une hyperbole

par des droites m n et A B parallèles entre elles, le produit AB X AC des segments interceptés par les asymptotes est constant. On a : A B X A C = m F x m E. D'où la solution suivante :

D étant la droite donnée, et A un point connu de la courbe : i° on mène ACB parallèle à D ; 2° sur BC comme \ diamètre on trace une circonférence ; 3° du point connu,

\ A, on lui mène une tangente dont on mesure la longueur

i y A ; 4° sur EF comme diamètre on trace une autre cir-

! conférence ; 5° on lui mène une tangente quelconque dh,

l que l'on prend égale à la tangente g A; 6° enfin, du milieu

' I de EF, avec lh comme rayon, on trace une circonférence

/ qui recoupe en m et en », la droite donnée, aux points

/' d'intersection demandés.

Si la droite occupe la portion E F de la figure 374, on opèiv commî suit: 1° par le point connu A on mène une parallèle BC à la droite donnée; 2° sur BC comme diamètre on décrit une demi-circonférence ; 3° on mène la

Fie. 374

Fier. 373

(c) Plans tangents menés par la droite. — Les points d'intersection F F ' et G G ' une fois déterminés, menons par chacun d'eux les génératrices de chaque système qui y passe.

Cela nous donne : 1° pour G, la droite G 7 (1er système) et G p (2e système) ; 2° pour F, nous avons F 8 (2e système) et F a (1er système).

Combinons ces droites deux à deux par système différent, savoir : F 3 (2e système) avec Gy (l0r système).

Ces deux droites sont dans un même plan comme étant de système différent. Elles se rencontrent donc en un point N, et le plan G N F contient évidemment la droite donnée D, de plus il est tangent en N au point où se rencontrent les deux génératrices qu'il contient; c'est donc un des plans tangents demandés.

De même F » (1er système), combinée avec G p (2e système), déterminent un autre plan tangent en M, point de rencontre de ces deux droites.

On devra chercher les projections verticales des points de contact Met N.

Nota. — Il faut donc bien remarquer que pour que l'on puisse mener par une droite un plan tangent à un hyperboloïde, il est nécessaire que cette droite rencontre la surface.

D. OMBRES DE l' U Y P E R B 0 L 0 ï D E

nième Leçon. § 280. — Hyperboloïde éclairé par un flambeau. — Généralités (fig. 375).

(a) Données. — Le flambeau est en FF '; pour simplifier, nous le supposons dans le plan méridien de front. On demande de trouver la séparatrice de la surface et son ombre portée sur le plan horizontal.

{!)) Méthodes a employer. — lre Méthode. — On pourrait utiliser l'hyperbole méridienne ; considérer l'byperboloïde comme une surface de révolution ordinaire, et chercher comme nous l'avons indiqué plus haut (§ 250) les points situés sur un parallèle ou sur un méridien donnés.

2° Méthode, spéciale aux surfaces réglées :

1° Mener le plan d'ombre de chaque génératrice d'un système (du premier, par exemple), et chercher sa trace sur le plan horizontal, ce qui revient à déterminer les ombres portées, successivement, par toutes les génératrices.

2° Chacun de ces plans contient une génératrice de l'autre système, et on sait qu'il est tangent. Déterminer cette génératrice de l'autre système.

3° Prendre le point où les deux génératrices se coupent ; c'est le point de contact du plan tangent ci-dessus ; c'est donc un point de la séparatrice.

(c) Nature de la courbe. — On démontre en géométrie analytique que la séparatrice est une courbe plane. C'est donc soit une ellipse (ou un cercle), soit une hyperbole (ou un ensemble de deux droites concourantes), soit une parabole (ou un ensemble de deux droites parallèles).

A priori, pour que ce soit une hyperbole ou une parabole, il faut que l'un des plans d'ombre ci-dessus considérés puisse être tangent à l'infini, c'est-à-dire occupe la position de plan asymptotique ; mais alors, nous savons qu'il est tangent au cône asymptote, et comme il passe par le flambeau, il est le plan d'ombre de ce cône. Il faut donc que le cône asymptote ait, lui aussi, une séparatrice ; ainsi donc :

\° Si le cône asymptote éclairé par le même flambeau a deux génératrices d'ombre propre, l'byperboloïde aura pour séparatrice une hyperbole ;

2° Si sur le cône asymptote l'ombre propre se réduit à une seule génératrice, la séparatrice de l'hyperboloïde sera une parabole ;

3° Si le cône n'a pas d'ombre, la séparatrice de l'hyperboloïde sera une ellipse.

perpendiculaire A G à ce diamètre el on en mesure la longueur h, interceptée par le cercle; 4° sur EF comme diamètre, on trace une demi-circouféreuec ; 5° on ta recoupe par une parallèle I'Q, menée à la distance //, de EF; G" enfin, on projette en m el en n, les points d'intersection P et Q. Nota. — Graphiquement, il est plus rapide de tracer par points l'hyperbole aux environs des points G' et F' de la figure 312.

§ 287. — Epure (fîg. 375).

(a) Ombre du cône asymptote. — FF' est le flambeau. On a en S S' le sommet du cône asymptote et on cherche en S'iSi l'ombre portée par ce sommet sur le sol. De Si, on mène les tangentes Si X et Si ;j. à la base du cône. Elles constituent l'ombre portée du cône, et la séparatrice d'ombre propre de ce cône est formée par les deux génératrices S X — S n, projetées verticalement en S'X';*'.

(b) Asymptotes de la séparatrice de l'hyperboloïde. — Si l'on considère les génératrices de l'hyperboloïde telles que c d ou c1 di, qui sont parallèles à S du cône, par exemple, elles sont dans un même plan avec cette droite S p-, et ce plan est précisément le plan tangent au cône, c'est-à-dire un plan d'ombre passant par le flambeau.

Ce plan d'ombre des génératrices c d et C\ di étant asymptotique, comme tangent au cône, a son point de contact à

Fig, 375

Axe.

l'infini, ce qui entraîne que l'une des asymptotes de la séparatrice est parallèle à cd, et par conséquent à S^ du cône. De même l'autre asymptote de la séparatrice dans l'espace doit être parallèle à l'autre droite S X du cône.

Par conséquent : Le plan a 'm 'f de la séparatrice de l'hyperboloïde est parallèle au plan S'X' des génératrices d'ombre propre du cône.

Dès lors, la connaissance d'un seul point a a' de la séparatrice entraîne la position de son plan.

Nous avons choisi comme point aa' celui qui est sur le collier. On l'obtient immédiatement en menant de la projection F du flambeau des tangentes fa — fb au collier, qui est le contour apparent horizontal de la surface (théorème des

contours apparents). Le plan de la courbe étant défini en a' m! f, on obtient les asymptotes I Z et IV, comme il a été dit à propos des sections planes (§ 283 — d).

11 faudrait considérer la tangente méridienne cp'O' au point <p' situé à l'extrémité de gauche de ce parallèle. On peut l'obtenir sans tracer l'hyperbole en remarquant qu'elle se confond avec la projection verticale de la génératrice v> 1 qui passe par le point

Dès lors le cône circonscrit le long de ce parallèle a pour sommet le point 0' où cette tangente coupe l'axe; on cherche en 0 'i 0i l'ombre portée de ce sommet sur le sol et, menant par ce point 6i les tangentes au cercle de base on a en f et /' les points cherchés.

On a les points u' ,u u, sur le parallèle situé au niveau du flambeau en menant directement du point F des tangentes à ce parallèle.

Nota. — Ces points u et u seront à considérer tout à l'heure pour trouver les asymptotes wi ui et on w2 de l'ombre portée.

(d) Point situé sur une génératrice quelconque hg. — On cherche en ht g son ombre portée (1). Le plan d'ombre de la génératrice a donc pour trace h\, g l; il est tangent à la surface et il la recoupe suivant une autre génératrice, Ij, du deuxième système, dont l'ombre portée Iji doit être confondue avec l'ombre portée # hi. Les deux génératrices Ij et g h se recoupent en un point mm' , qui est le point cherché. Son ombre portée est nu.

(e) Ombre portée. — Cette ombre est à la fois l'enveloppe des cercles d'ombres portées parles parallèles et l'enveloppe des droites d'ombres portées par les génératrices.

C'est une hyperbole ; aux points ai b\, elle est tangente à l'ombre du collier, et en f,f tangente au cercle de base. Au point mi elle est tangente à l'ombre ghi de la génératrice. Cette dernière propriété va être utilisée pour la recherche des asymptotes.

(f) Asymptotes. — En effet, si l'on pouvait trouver un point de la séparatrice donnant une ombre portée à l'infini, la génératrice passant par ce point aurait comme ombre portée l'asymptote.

Or, ce point est précisément le point u'u obtenu tout à l'heure et situé au niveau du flambeau, car le rayon lumineux F u qui lui correspond étant horizontal, coupe le sol à l'infini.

Menons donc les génératrices des points w; ce sont les droites uw et uw. Leurs ombres portées seront les asymptotes. Leurs pieds w et w servent de départ à ces asymptotes, lesquelles sont wui et wu% parallèles, d'ailleurs, à F m et à F u.

(g) Centre. — Axe transverse. — Le centre est en wi au croisement des asymptotes. L'axe transverse s'obtient en cherchant le parallèle 3 3' dont le centre w' aurait pour ombre portée wi et en traçant en ai 3i pi... l'ombre portée par ce parallèle.

Nota. — C'est pour ne pas surcharger l'épure que nous n'avons pas mis de hachures sur les parties dans l'ombre. § 288. — Ombres au soleil.

L'ombre se simplifie. Si nous imaginons que sur la figure précédente (fig. 375), le flambeau s'éloigne à l'infini en montant vers la gauche, alors les tangentes au collier F a ai etFbbt deviennent des lignes de front et, en élévation, le point a' se confond avec S'. Par conséquent :

1° Le plan a'm'f de la séparatrice de l'hyperboloïde se confondra avec le plan S'A' delà séparatrice du cône.

Mais nous avons vu, aux sections planes, que les sections faites par un même plan dans l'hyperboloïde et dans le cône avaient les mêmes asymptotes. Donc :

2° Les génératrices d'ombre propre du cône seront les asymptotes de la séparatrice de l'hyperboloïde.

Enfin, comme en projections cylindriques, les asymptotes d'une courbe ont pour projections les asymptotes de la projection, il en résulte que :

3° Les deux droites d'ombre portée du cône seront les asymptotes de l'ombre portée par l'hyperboloïde. Nota. — Dans l'épure suivante : Intersection d'un hyperboloïde et d'un cylindre, nous aurons, incidemment, à résoudre, pour l'hyperboloïde, le problème de l'ombre au soleil.

(1) A cet effet il est bon de chercher tout d'abord en Si ai bl l'ombre portée par le collier. C'est aussi un cercle. Pour avoir ensuite l'ombre d'une génératrice h g, il suffit de prendre en /il l'ombre portée par le point h situé sur le collier.