E. INTERSECTIONS D ' U Y I> E R B OLOÏD E S ET D'AUTRES SURFACES
Jrentc-dcuxième Leçon. g 289. — Hyperboloïde et cylindre (fig. 376). (Supplémentaire). ^ Données. — L'hyperboloïde est défini comme à l'ordinaire ; son axe vertical est S — S'Z1. Son collier est le cercle E E — E 'E' . Son cône asymptote a pour génératrice de front Sa — S'a'.
L'hyperboloïde est donc défini et l'on peut tracer son cercle de base AB et son hyperbole méridienne, qui en est le contour apparent vertical.
Le cylindre a pour base, sur le sol, une ellipse dont les axes sont Ci Di et Pi Ei. La direction de ses génératrices est donnée en A A'-
(b) Point sur un parallèle donné. — On peut (et ce serait ce qu'il y aurait de plus simple) adopter la méthode des projections obliques indiquée plus haut (§262) pour trouver l'intersection d'une surface de révolution quelconque et d'un cylindre : 1° on prend un parallèle quelconque, par exemple le collier E E, de l'hyperboloïde; 2° on cherche en Si la projection oblique de son centre faite à l'aide de projetantes parallèles au cylindre ; 3° de ce centre on trace sa projection oblique qui est un cercle Si Ei Ei égal au collier ; 4° on prend en at et Pi ses intersections avec l'ellipse de base du cylindre, sur laquelle ellipse se condense la projection oblique du cylindre tout entier; 5° on remonte des points ai et pi, par des projetantes inverses, aux points a a' et [3 p ' dans l'espace.
(c) Points sur une génératrice donnée de l'hyperboloïde. — On adopte les génératrices d'un système, le premier par exemple. Soit cd — c' d' l'une d'elles ; on opère sur elle comme suit :
1° On la projette obliquement en c di ; 2° on prend en raj et en ni les deux points où elle recoupe la base du cylindre ; 3° on remonte des points mi et n<, par des projetantes inverses, aux points mm' etnn' de la génératrice.
En somme, cela revient à couper par des plans sécants contenant des génératrices de l'hyperboloïde et parallèles à celles du cylindre. Ce sont les seuls plans susceptibles de donner, à la fois, des droites dans les deux surfaces.
(d) Tangente en un de ces points. — Considérons le point ». Menons par ce point la génératrice 3 — 4 du second système ; et prenons sa trace, 4. Le plan tangent, en w, à l'hyperboloïde a pour trace la droite 4 c. Elle recoupe en 0 la trace ni 0 du plan tangent au cylindre. La tangente est 6?*, facile à rappeler en élévation.
(e) Enveloppe des projections obliques. — Les projections obliques de tous les parallèles, Si ou Zi, et les projections obliques telles que c di de toutes les génératrices doivent avoir pour enveloppe une hyperbole qui ne serait autre chose que l'ombre portée sur le sol par l'hyperboloïde en le supposant éclairé par des rayons lumineux parallèles à la direction A A ' du cylindre. Cela nous donne, ainsi que nous l'indiquions au paragraphe précédent, l'occasion de traiter celte question (1).
{d) Points sur une génératrice donnée du cylindre. — Soit ^i le pied de cette droite. Le problème revient, en définitive, à la question déjà traitée (§ 285) : « Intersection d'une droite et d'un hyperboloïde ». Dans le cas actuel, cela revient à trouver la génératrice de l'hyperboloïde dont la projection oblique passe par le point/)]. Or, elle doit être tangente à l'hyperbole enveloppe d'ombre portée. Si donc nous menons en pic la tangente à cette hyperbole et si nous prenons les deux points P et Q, où elle recoupe le cercle de base de la surface, il y aura deux génératrices, l'une Pp (premier système), l'autre Q q (deuxième système), qui auront pic pour projection oblique.
On remontera ensuite, par une projetante oblique inverse, du point pi aux deux points p et q de l'espace.
Remarque. — On aurait pu mener du point pi une autre tangente à l'hyperbole enveloppe. En appliquant la même construction on devra retrouver, comme vérification, les deux mêmes points.
(e) Points-limites cylindriques. — Ce sont les points y et 5 dont les projections obliques sont en et Si au croisement de la base du cylindre et de l'hyperbole enveloppe.
(1) Ombres au soleil. — On a en Si l'ombre du sommet du cône asymptote; les deux tangentes Si /. et Si \i menées à sa base, sont l'ombre portée du cône. Elles seront les asymptotes de l'ombre portée de l'hyperboloïde (voir § 288). Les génératrices d'ombre propre du cône sont S À et S fi, et ce sont les asymptotes de la séparatrice 5 — w — 6... de l'hyperboloïde.
Le plan est le même pour les deux séparatrices; la trace de ce plan est la droite X [J., qui détermine eu C et 6 sur la base de l'hyperboloïde deux points de sa séparatrice. Enfin, les points w et toi , où le rayon lumineux est langent au collier, sont les sommets de l'axe transverse. Ils ont pour ombre portée wi et wi .
Nota. — Au lieu d'une hyperbole cette ombre portée pourrait être une ellipse. On le reconnaîtrait, à priori, à ce que le point Si tomberait dans l'intérieur de la base du cône. Ce cône n'aurait pas d'ombre.
On pourrait aussi avoir deux poinls. Supposons en effet que la direction A A ' so't parallèle a une génératrice du premier système de l'hyperboloïde, génératrice que nous désignerons par M. Elle le sera aussi a celle du deuxième système qui lui est parallèle et que nous désiguerons par Ml.
Chacune de ces droites M et Ml aura pour ombre portée un point, et comme toutes les génératrices d'un système rencontrent une quelconque de système différent, il eu résulte que les ombres portées par toutes les génératrices du deuxième système divergeront du pied de la droite M et toutes celles du premier système divergeront du pied de Mj. C. Q. F. D.
On les remonte dans l'espace, comme on a fait pour les points p et q, en se servant de la tangente Tl, 8, 7 à l'hyperbole enveloppe.
Comme vérification, ils doivent être sur l'hyperbole S — w — b d'ombre propre, puisque leur projection oblique Si ou Yi est sur l'hyperbole d'ombre portée.
Je dis qu'en ces points la tangente est précisément la génératrice du cylindre.
En effet, cette génératrice est dans le plan tangent au cylindre. De plus, elle est dans le plan tangent à l'hyperboloïde, puisque le point S ou est sur la séparatrice de l'hyperboloïde supposé éclairé par des rayons lumineux parallèles au cylindre ; donc, étant à la fois dans les deux plans tangents, elle est la tangente. C. Q. F. D. (1)
</) Points-limites hyperboloïdaux. — Nous désignerons ainsi les points tels que <p et 4» pour lesquels la tangente à la courbe d'intersection est une génératrice de l'hyperboloïde.
Pour en comprendre l'existence, menons en V ai V une tangente commune à l'ellipse de base du cylindre et à l'hyperbole enveloppe et considérons la génératrice du premier système V 9 qui l'aurait pour projection oblique. Le point tpi, remonté, donne, en <?, un point limite hyperboloïdal.
Je dis qu'en ce point <p, la tangente est la génératrice Vtp du premier système qui y passe. En effet, cette génératrice est, on le sait, dans le plan tangent à l'hyperboloïde. De plus, elle est dans le plan tangent au cylindre, puisque le plan auxiliaire Y cpi qui l'a donnée est précisément tangent au cylindre ; donc, étant à la fois dans les deux plans tangents, elle est la tangente. G. Q. F. D.
Remarque. — 1° A l'autre point limite 9, la tangente est la génératrice W du premier système.
2° Il y a deux autres points limites ty" et cp", de même nature, répondant aux mêmes projections obliques 91 et <\n, mais pour lesquels les tangentes sont des génératrices du deuxième système.
3° Si l'on considère le segment VW de la base de l'hyperboloïde, aucune génératrice du premier système dont le pied y aboutirait ne recouperait le cylindre.
(g) Points doubles apparents. — 1° En plan : Ils sont sur la droite P 11 intersection du plan du collier et du plan. qui passe par les deux génératrices s, s, de contour apparent horizontal du cylindre (voir page 96, — note II). 2° On cherchera, de la même façon, la droite de vérification des points doubles en élévation.
La figure 376 donne en élévation l'entaille faite par le cylindre dans l'hyperboloïde (le cylindre est donc enlevé). En plan on a figuré le cylindre entaillé (l'hyperboloïde est donc supposé enlevé). Enfin la figure 377 fait connaître le solide commun.
§ 290. — Cône et hyperboloïde.
On prend un des plans de projection perpendiculaire à l'axe de l'hyperboloïde et on y fait la perspective de l'hyperboloïde, avec le sommet du cône pour point de vue.
Le contour perspectif de l'hyperboloïde ainsi obtenu (voir § 286) peut être une ellipse ou une hyperbole, lorsque le sommet du cône n'est pas sur la surface de l'hyperboloïde. Dans le cas où ce sommet est sur l'hyperboloïde, le contour apparent de l'hyperboloïde est réduit à deux points qui sont traces des génératrices de systèmes différents de l'hyperboloïde qui passent par le sommet du cône.
Le reste comme dans la question précédente.
(1) Ce théorème est un cas particulier du théorème sur les points limites (§ 185). Il a pour analogue, dans les questions d'ombres, le théorème sur les points de perte (voir Ombres usuelles).
§ 291. — Hyperboloïde ayant une génératrice commune avec un cylindre ou ayant une génératrice commune avec un cône.
Dans ce cas, la marche précédente subsiste, mais se simplifie. La génératrice commune fait partie de l'intersection. Sa projection oblique se compose d'un seul point ; sa trace sur le plan horizontal est située à la fois sur la base du cylindre ou du cône et sur le cercle de base de l'hyperboloïde.
On prend ce point comme point de divergence de traces de plans auxiliaires qui recoupent le cône et l'hyperboloïde suivant deux nouvelles génératrices. Le point de rencontre de ces génératrices appartient à l'intersection cherchée.
§ 292. — Intersection de deux hyperboloïdes ayant une génératrice commune. — Soit S et S 'les deux hyperboloïdes :
(a) Méthode. — On emploiera la même marche. Par cette génératrice A, on mènera des plans auxiliaires.
Soit z, l'un d'eux. 11 recoupera l'hyperboloïde S suivant une génératrice de l'autre système B, et l'hyperboloïde S' suivant une génératrice B '. Les deux droites B et B dans un même plan, se couperont en un point M de l'intersection. Cette intersection se composera :
1° De la droite commune A ;
Et 2° D'une courbe dont l'équation, en projection, sera du troisième degré.
(b) Points doubles. — Cette courbe recoupera la génératrice commune en deux points.
En effet, on verra (3e partie) que deux surfaces réglées qui ont une génératrice commune ont au moins deux plans tangents communs en deux des points de cette droite.
Il y aura donc deux instants où le plan auxiliaire Z sera tangentcommun aux surfaces S et S '. A ce moment, les deux génératrices B et B' du deuxième système se recouperont sur la droite A, en deux points doubles.
(c) Branches infinies. — Considérons les deux cônes asymptotes (ici, de révolution) et supposons que nous cherchions leur intersection.
Ces deux cônes, qui ont déjà une génératrice parallèle, en ont aussi une seconde et une seule.
Soient cet cette seconde droite sur le premier cône, et <p2 cette seconde droite parallèle à cpi sur le deuxième cône. 11 existera aussi sur les deux hyperboloïdes deux génératrices Fi et Fz parallèles entre elles et parallèles à <pt et 92. Or, lorsque le plan auxiliaire z donnera Fi dans la première surface, il donnera aussi F2 dans la seconde, puisque Fi et F2 rencontrent toutes deux la génératrice commune A et, de plus, sont parallèles.
Donc, à ce moment, le point courant M de l'intersection est rejeté à l'infini.
(d) Asymptote. — L'asymptote est l'intersection des deux plans asymptotiques. Mais ces derniers sont tangents aux cônes asymptotes le long des génératrices <pt et 92 de ces cônes. Leur intersection donnerait aussi l'asymptote de la branche infinie, intersection de ces deux cônes.
Donc, l'intersection de deux hyperboloïdes a la même asymptote que celle des deux cônes asymptotes. Ces deux. cônes présentent une autre branche infinie sur leur intersection; son asymptote est parallèle à la génératrice commune A (mais ce n'est pas la droite A).
§ 292 bis. — Intersection de deux hyperboloïdes ayant deux génératrices communes.
[a) 1er Cas. — Les deux génératrices A et B sont de système différent dans un des hyperboloïdes et, par conséquent, aussi dans l'autre.
Leur système constitue une courbe plane. L'intersection doit donc se composer d'une autre courbe plane. (D'après le théorème connu, § 189.)
On en aura facilement un point courant M en menant, comme dans le problème précédent, un plan auxiliaire Z par une des deux droites communes, A, par exemple.
La courbe plane recoupe en deux points doubles les deux droites A et B. Ces deux points doubles G et H sont ceux pour lesquels, sur chacune des droites A ou B, les deux surfaces ont, en outre du plan A B, un autre plan tangent commun.
{b) 2" Cas. — Les deux génératrices communes A et B sont de même système. Elles sont, par exemple, de premier système.
Soit alors un point M de l'intersection en dehors des droites A et B.
Les deux génératrices du second système menées par ce point sur les deux surfaces sont assujetties, en outre, à rencontrer les droites A et B ; elles sont donc confondues, car on ne peut mener qu une seule droite qui passant par un point donné M, rencontre deux droites A et B non situées dans un même plan (première partie, § 89). Cette droite appartient aussi à l'intersection ; soit A ' cette droite.
Cette nouvelle génératrice A' définit avec chacune des droites A et B un plan tangent commun aux deux surfaces.
OKOM. DESCR. 22
Menons par A ' un plan distinct de ces plans tangents. Il rencontre chacune des surfaces suivant une génératrice du premier système, distincte de A et de B et ne les rencontrant pas.
Ces deux nouvelles génératrices se coupent donc en un point M' en dehors de A et de B et sur lequel on peut faire le même raisonnement que pour le point M.
Donc, par ce nouveau point M' passe une quatrième génératrice commune du premier système.
L'intersection se compose, en définitive, de deux génératrices du premier et de deux génératrices du second système, qui définissent quatre plans tangents communs aux deux surfaces.
EXERCICES
1. — Intersection d'une sphère et d'un hyperboloïde de révolution à une nappe, définis de la manière suivante : L'axe de l'hyperboloïde est vertical, la plus courte distance delà génératrice à cet axe est de 15 millimètres, l'angle
que fait la génératrice avec l'axe est de 45°.
La sphère passe par le centre du cercle de gorge, elle a son centre sur l'hyperboloïde, à 3 centimètres du plan du cercle de gorge et dans le plan méridien parallèle au plan vertical de projection.
On construira la tangente en un point de la courbe d'intersection. (Ecole centrale, 18f>2.)
