Intersection d'un hyperboloïde et d'un cône
L'axe de l'hyperboloïde est vertical. Le pied de cet axe est à 0m,08 de la ligne de terre. Le rayon de la trace horizontale de l'hyperboloïde est de 0m,085. Enfin, les génératrices de l'hyperboloïde sont inclinées à 45° sur le plan horizontal.
Le cône est de révolution ; son axe est parallèle à la ligne de terre et passe par le centre de l'hyperboloïde; il est circonscrit à la sphère engendrée parle cercle de gorge de l'hyperboloïde.
On représentera les deux surfaces ainsi définies et on construira les projections de leur intersection ; on mènera la tangente en un point de cette intersection. On justifiera enfin les résultats obtenus par une légende explicative très succincte. (Ecole centrale, 1872.)
3. — On propose de construire les projections des lignes d'intersection d'un hémisphère et des faces d'un cube avec un hyperboloïde de révolution à une nappe.
Le cube, dont le côté a 0m,200 de longueur, dont la face inférieure et la fa^c postérieure sont respectivement situées dans les deux plans de projection, contient entièrement l'hémisphère ; cet hémisphère a pour base le cercle inscrit dans la face antérieure du cube.
L'hyperboloïde a son axe vertical à 0m,135 du plan vertical de projection et à égale distance des faces de profil du cube ; la cote du centre de cette surface est 0m,132 ; les rayons de son collier et de sa trace horizontale ont respectivement Om,035 et 0m,100 de longueur.
Dans la mise à l'encre, on supposera que le cube existe seul, qu'il est solide, et qu'on a enlevé la partie de ce corps comprise dans l'hémisphère et dans l'hyperboloïde. On indiquera, à l'encre rouge, les constructions nécessaires pour obtenir un point quelconque de chacune des lignes d'intersection et les tangentes en ces points. (Ecole centrale, 1881, première session.)
4. — On demande de représenter par ses contours apparents un solide terminé par un hyperboloïde de révolution et par deux plans.
L'hyperboloïde a pour axe de révolution une horizontale (ab, a' b') et pour génératrice une droite (c d, cr d') parallèle à la ligne de terre ; les plans sont perpendiculaires à l'axe et également distants du centre de l'hyperboloïde.
On supposera tracées douze génératrices d'un même système. La génératrice (cd,c'd') est l'une de ces douze droites. Ces génératrices, également espacées, seront représentées en tenant compte des parties vues et des parties cachées.
Les arcs d'hyperbole qui appartiennent aux contours apparents seront simplement tracés tangentiellement aux projections de ces génératrices. (Ecole polytechnique, 1865.)
o. — Hyperboloïde traversé par un cylindre.
ffyperloboïde dt 'révolution. — Son axe est vertical ; son centre {o, o') est dans le premier dièdre à 100mm du plan vertical et à 80mm du plan horizontal (la ligne de rappel oo ' est au milieu de la largeur de la feuille).
On donne la génératrice (bc, b' c') parallèle au plan vertical ; b c est à une distance o c du point o égale à 35mm ; on a : c b = 93mm, b est la trace horizontale de la génératrice.
Cylindre oblique. — Il est à base circulaire ; le centre w de ce cercle (qui est situé dans le plan horizontal) est déterminé de la manière suivante ; sa distance w w' à la ligne de terre est de 120mm et l'on a : o ^ = 99mm. Le rayon du cercle est 65mm.
La direction des génératrices est donnée par (wc, w' k'), k' élant sur oo' à 17o"'m de la ligne de terre. L'hyperboloïde est un corps solide limité par un plan horizontal situé à lfiOmm du plan horizontal de projection. On représentera par ses projections le solide qui reste après que l'on a enlevéjde l'hyperboloïde la portion comprise à l'intérieur du cylindre. (Ecole polytechnique, 1875.)
6. — Représenter par ses projections le solide commun à un cône et à un hyperboloïde qui ont une génératrice commune. Les deux surfaces recouvrent des corps solides.
Ligne de terre à 23 centimètres au-dessus du bord inférieur de la feuille de papier et parallèle aux petits côtés. Hyperboloïde de révolution. — Axe vertical au milieu de la feuille : centre en (oo') :
hauteur: o' a = 70mm, profondeur : oa = 120mm. Le rayon o a du cercle, trace horizontale de la surface, est de 110mm ; le rayon du cercle de gorge est de 4omm. La génératrice (a 6s, a'o's') parallèle au plan vertical sera la génératrice commune.
Cône. — Cône oblique à base circulaire; sa base est dans le plan horizontal ; le sommet est en (s, s'), as = 180mm. Le centre de la base est en c tel que c'a — I00mm et es = 120 mm. Le cercle de base doit passer par le point a, son rayon est donc I00mm.
On ne considérera, pour la représentation du solide commun, que la nappe du cône située entre le sommet et le plan horizontal, mais on prolongera un peu la courbe d'intersection des deux côtés pour bien montrer sa forme ; ces prolongements seront faits en pointillé. (Ecole polytechnique, 1876.)
7. — On donne deux points A et B situés sur une droite verticale ; le point A est à 0m,06 au-dessus du plan horizontal de projection et le point B à 0m,02 au-dessus du point A.
La verticale AB est l'axe d'un hyperboloïde de révolution ; le cercle de gorge a pour centre le point A et pour rayon 0m,04 ; le parallèle P, qui a pour centre le point B, a son rayon égal à 0m,05.
On prend, sur le cercle P, un point C tel que le rayon B C soit incliné à 4.5° sur le plan vertical de projection ; puis, on décrit une sphère ayant pour centre le point C et pour rayon 0m,08.
On demande de représenter le solide compris entre la surface de l'hyperboloïde, le plan du parallèle P et le plan horizontal de projection, en supposant enlevée la partie de ce corps qui est comprise dans la sphère. (Ecole polytechnique, 1877.)
8. — Deux hyper boloïdes. — On donne un axe vertical, une droite oblique dans le plan vertical et un deuxième axe perpendiculaire au plan vertical.
La droite tournant successivement autour des deux axes, engendre deux hyperboloïdes. On demande de tracer leur intersection et de leur mener un plan tangent commun.
TROISIÈM E PARTIE
