REPRÉSENTATION DU PLAN

A. GÉNÉRALITÉS

§ 32. — Génération du plan dans l'espace.

\" Mode (1). — On donne deux droites A et B nommées directrices qui se rencontrent en M, ou sont parallèles. Une droite, appelée génératrice, mn, m'n', glisse sur les deux directrices et engendre le plan.

2° Mode, dit cylindrique (2). — On donne une directrice A et une direction, A. La génératrice mn glisse sur la directrice en restant toujours parallèle à la direction.

Nota. — Si la directrice devenait une courbe À' (2 bis), la surface ainsi engendrée serait un cylindre.

3e Mode, dit conique (3). — On donne une directrice A et un point fixe, S, nommé sommet. La génératrice m n glisse sur la directrice en passant toujours par le sommet. Si la directrice est courbe (3 bis), la surface engendrée est un cône. Le plan est donc un cas particulier du cylindre ou du cône.

Câne(3hs)

§ 33. — Épure. — Problème 1. — Sur un plan défini par ses deux directrices A A' et BB', prendre : 1° une droite quelconque ; 2° un point quelconque sur le plan (fig. 43).

1° On prend arbitrairement la génératrice 1 2, soit en plan, soit en élévation ; 2° on rappelle sur l'autre projection les

deux points 1 1' et 2 2' où elle s'appuie sur les directrices, ce qui détermine l'autre projection ; 3° sur la génératrice ainsi trouvée on prend un point quelconque nn'.

Fig. i3

§ 34. — Problème 2. — Connaissant la projection horizontale n d'un point du plan, déterminer son élévation n' (même figure). — Par n, faire passer une génératrice quelconque l, 2, en déduire i'2' et rappeler, finalement, n en n' sur 1', 2'.

Remarque. — Ce problème est le même que celui-ci : Trouver l'intersection d'un plan avec une verticale dont la trace sur le sol serait le point n.

Gela résulte de ce que la verticale qui passe par n, du sol, se projette toute entière, en plan, sur le point n.

§35. — Droites remarquables d'un plan.

(a) Horizontales ou lignes de niveau d'un plan. — Elles ont pour caractère d'avoir tous leurs points à la même hauteur. Elles diffèrent donc entre elles parleur hauteur. Celle dont la hauteur est nulle se nomme la trace horizontale du plan : elle est l'intersection du plan donné avec le plan horizontal de projection, tandis que les autres sont les intersections du plan donné avec des plans horizontaux de niveaux différents.

Conséquence. — Toutes les horizontales d'un plan sont parallèles entre elles et à la trace horizontale.

(b) Frontales, ou lignes de front d'un plan. — Elles sont parallèles au plan vertical. Elles se caractérisent par leur profondeur. La trace verticale est la ligne de front de profondeur nulle. Toutes les lignes de front sont parallèles entre elles et à la trace verticale. La trace horizontale et la trace verticale coupent la ligne de terre en un même point qui est le point où la ligne de terre traverse le plan.

(c) Lignes de plus grande pente d'un plan. — Définition. — On désigne ainsi les droites du plan qui, dans l'espace, sont perpendiculaires aux horizontales du plan.

Kig. 44 Propriété (flg. 44). — Une ligne de plus grande pente AB, fait avec le plan horizontal

un angle a, plus grand que toute autre droite du plan, AG, par exemple.

En effet, AB perpendiculaire sur MN est plus grande que AC, oblique : donc l'angle a est > l'angle p. (Démonstration facile à faire en amenant, par rotation, le point G en Ci sur le prolongement de aB.)

Remarques. — 1° En plan aB, projection de AB, est aussi perpendiculaire sur la trace MN.(§6/rhéorèmede l'angle droit projeté en vraie grandeur.) 2° AB, ou toute autre ligne de plus grande pente NK, peut être considérée comme l'intersection du plan donné P, par un plan vertical ou mur, Q, dont la ligne de terre xi yv serait perpendiculaire à la trace MN. Ce mur serait, lui-même, perpendiculaire au plan donné P. 3° L'angle a est aussi l'angle que fait le plan donné avec le sol.