GÉNÉRALITÉS SUR LES SURFACES RÉGLÉES

A. TUÉORÈME DE CHASLES

e Leçon. § 293. — Classification des surfaces. — Définitions.

Nous avons dit que les surfaces se divisaient en deux grandes classes qui sont :

Les surfaces réglées, c'est-à-dire qui peuvent être engendrées par le mouvement continu d'une ligne droite, et: Les surfaces non réglées, qui ne sont pas dans ce cas.

Nous avons déjà étudié, comme surfaces réglées, le cône, le cylindre (surfaces développables) et l'hyperboloïde de révolution (surface gauche).

Les surfaces réglées se divisent elles-mêmes :

1° En surfaces développables, c'est-à-dire pouvant être déroulées de manière à s'appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicature, et

2° En surfaces gauches, ne jouissant pas de cette propriété.

Etudions d'abord les surfaces réglées, en général, et voyons quelles sont les conditions qu'elles doivent remplir pour être développables.

Ces conditions dépendent de la manière dont se comporte le plan tangent aux différents points d'une même génératrice. § 294. — Loi de variation du plan tsngent dans une surface réglée. — Théorème de Chasles.

(a) Paramètre de distribution. — Soient (fig. 378), dans une surface réglée, A B et CD deux génératrices infiniment voisines et MN leur plus courte distance, que nous représenterons par la lettre p.

Pour obtenir cette plus courte distance, on sait que l'on mène, par la génératrice CD, un plan Q parallèle à l'autre

Fi g. 378

génératrice. On projette cette dernière en A'B' sur le plan Q, et la plus courte distance N M = p passe par le point N d'intersection de C D et de A 'B'.

Soit c l'angle (infiniment petit) des deux droites CD et A 'B '. Les deux quantités p et s sont des infiniment petits qui

peuvent être de même ordre (l).Dans ce cas, leur rapport - a une limite finie que nous désignerons par la lettre K et qui se

nomme le paramètre de distribution de la surface, relatif à la génératrice AB. Si les quantités p et g ne sont pas de même P

ordre, le rapport ^ a une limite nulle ou infinie (1).

(b) Point central. — Plan central. — Le point M, pied de la plus courte distance, tend vers une position limite que l'on

nomme le point central de la génératrice AB, et le plan tangent en ce point se nomme le plan central.

(c) Ligne de striction. — C'est au point central que les génératrices A B et CD sont, pour ainsi dire, le plus près l'une de l'autre. Le lieu des points centraux des diverses génératrices se nommera la ligne de striction de la surface. La surface présente une sorte d'étranglement tout le long de cette ligne.

Cela posé, soit G un point quelconque de la génératrice AB. Prenons son point central M comme origine, et soit x la distance M G du point G au point central.

Abaissons G H perpendiculaire sur A'B', et menons G F perpendiculaire sur A B et rencontrant C D, autrement dit coupons par un plan FGH perpendiculaire sur AB et joignons au point G les deux points F et H auxquels il coupe les droites CD et A'B'.

Par M et N on pourrait sur la surface faire passer une courbe telle que NMT à laquelle la sécante MN deviendrait tangente à la limite. Donc le plan tangent en M, c'est-à-dire le plan central, est défini par M B et par la limite de la droite M N.

Le plan tangent en G peut, de la même façon, l'être par les deux droites M G et G F, cette dernière prise à sa limite.

La ligne M G est donc l'arête du dièdre formé par les plans tangents en M et en G et, de plus, comme les deux droites H G et GF sont perpendiculaires sur cette arête, le rectiligne de ce dièdre est mesuré, en a, par l'angle FGH.

Cela posé, on a :

8' a gh ~~ p

x X puisque l'angle c étant infiniment petit peut être pris au lieu de tg. a. On a donc (2) :

x x — Lim. — =

/ ~~30ij

"fl' /

F H = x tg. c, ou F H

Lim. — = Lim. — P

Lim. ^

Mais nous avons dit que : Lim. — = K, c'est la quantité que nous avons appelée le paramètre de distribution. Donc :

f fr 'i — —

Telle est la formule de Chasles.

Elle peut s'énoncer ainsi : « La tangente trigonométrique de l'angle formé par un plan tangent en un point avec le plan central est proportionnelle à la distance de ce point au point central et a pour expression le quotient de cette distance par le paramètre de distribution de la génératrice. »

Remarque. — Le paramètre de distribution K est une longueur et non pas un rapport.

(1) Voir plus loin, même paragraphe, d.

(2) L'abréviation Lim. se lira « Limite de ». L'abréviation A x, ou J\ y, se lira Delta de x ; ou Delta de y (fig. 379). Le signe A (Delta) est synonyme de accroissement de. Sur la figure 379, £± x représente la quantité ab, dont l'abscisse Oa, ou l'a;, du point A, doit s'accroître pour devenir l'abscisse Ob, qui est l'a?, du point B. De même a'b'on son égal, 6"B, est l'accroissement A y qu'il faut donner a l'ordonnée^ y — Oa', du point A pour obtenir l'ordonnée 0 b' du point B.

(d) Discussion. — Surfaces gauches et surfaces développables, cônes et cylindres. — p et c sont des quantités infiniment petites, et K est la limite de leur rapport; exactement comme dans une courbe AB, rapportée à deux axes de coordonnées ■Ox et Oy (fig. 379), la tangente en A à la courbe fait un angle <p avec l'axe oX, dont la pente, tangente œ, est la limite du Ay

rapport-,

Fis;. 379

Fig. 3S0

Cette limite de — | peut être finie comme pour le point A (fig. 379) ; mais elle pourrait, comme pour le point C

(fig. 380), être nulle (= 0), ou, comme pour le point D, être infinie.

De même : K = Lira, de —, peut être une limite finie ; comme cette limite peut être nulle ou infinie.

Alors, 1° Si K est fini, la surface obéit au théorème de Chasles. Le plan tangent varie en chaque point de la génératrice

d'après la formule : tg. a = — . On dit alors que la surface est gauche.

2° Lim. — = 0 comme en C (fig. 380). Alors K = 0 ; on a toujours tg. x = — = 00. Le plan tangent est toujours

perpendiculaire au plan central, c'est-à-dire le même en tous les points de la génératrice, et la surface est dite développable.

(Le cône en est un cas particulier.)

3° Lim. de — =00 (comme en D, fig. 380). Alors : tg. a =— = (toujours) 0. Le plan tangent est encore invariable. La ij 00

surface est un cylindre, car une droite dont la distance p à sa voisine varie infiniment par rapport à l'angle est une ligne qui reste parallèle à elle-même. Elle engendre un cylindre.

Remarque. — Il suffit que pour deux points différents (à des distances x et x'), le plan tangent soit le même, pour que la formule de Chasles ne s'applique plus et pour que le plan tangent reste le même en tous les autres points de la même génératrice. Si cela n'a lieu que pour une, deux, ou un nombre limité de génératrices, ces dernières sont dites des génératrices s 'ngulières de la surface. Cette surface n'en est pas moins gauche ; mais si cela se produit pour toutes les génératrices, alors la surface est développable.

Nous étudierons d'abord les surfaces gauches, c'est-à-dire celles pour lesquelles le plan tangent varie en tous les points d'une même génératrice, en obéissant à la formule de Chasles.

Cette loi de variation est susceptible d'une interprétation géométrique très simple que nous indiquerons au § 296.

§ 293. — Plan asymptotique d'une surface gauche.

Si, dans la formule de Chasles (tg. a = — ), on fait x = 00, c'est-à-dire si le point de contact G (fig. 378) s'éloigne à l'infini, il vient alors :

tg. a = 00, ce qui entraîne a = 90°.

Ce plan tangent à l'infini se nomme un plan asymptotique.

Ainsi donc, le plan asymptotique est perpendiculaire au plan central.

Si nous nous reportons à la figure 378, on voit que le plan Q, mené par la génératrice CD, et contenant la ligne A'B' parallèle à la génératrice AB, est perpendiculaire sur MN et par conséquent perpendiculaire au plan central qui contient M N. Donc :

Théorème. — Le plan asymptotique d'une génératrice est la limite du plan mené par cette droite, parallèlement à la génératrice infiniment voisine.

§ 296. — Interprétation géométrique du théorème de Chasles. — Point de vue d'une génératrice.

Soit A B (fig. 381) une génératrice d'une surface gauche que nous supposerons perpendiculaire au plan vertical : Remarquons tout d'abord que la génératrice étant de bout, tous les plans tangents en ses différents points seront aussi de bout et seront définis très exactement par leurs traces verticales, telles que M' m', passant toutes par M' (1).

Cela posé : soit G, son point central ; G ' T, la trace verticale de son plan central, et CD — K son paramètre de distribution; on sait que

Lim.

i /Point

i in

\ vue

Proposons-nous de construire le plan langent en un point quelconque M, c'est-à-dire de déterminer la trace verticale M' m' de ce plan tangent.

La distance x du point M au point central se mesurera en G M sur la projection borizontale.

Sur la projection verticale, portons sur la trace G'T" du plan central, une longueur G'T' = K = C D. Elevons T'm' perpendiculaire sur G 'T' et égale à x, et nous avons en M' m1 la trace du plan tangent cherché.

On a, en effet, tang. a = — , ce qui est la formule de Chasles.

Remarques. — 1° Au point central G, élevons, en projection horizontale, une perpendiculaire à la génératrice et portons sur cette droite une longueur GI = K paramètre de distribution et joignons IM.

Le triangle rectangle GIM donne :

tg. GIM—*.

L'angle GIM est donc égal à l'angle y..

Par conséquent le point I est un point tel que le segment G M est vu sous l'angle a que fait le plan tangent en M avec le plan central, c'est-à-dire avec le plan tangent en G.

Il en résulte que tout autre segment, tel que M N, est vu, du point I, sous l'angle que font entre eux les plans tangents en M et en N, à ses deux extrémités.

Cette propriété nous fait donner au point I le nom de Point de vue de la génératrice A B.

2° Si dans la formule de Chasles on fait x = K, alors tg. a — 1, ce qui veut dire que a = 45°.

Ainsi donc, si un plan tangent est incliné à 45° sur le plan central, la distance de son point de contact au point central est égale à K, paramètre de distribution. Les points jouissant de cette propriété seront les points moyens de la génératrice .

Nous utiliserons cette remarque pour trouver graphiquement la grandeur du paramètre, K, dans certaines surfaces gauches.

§ 297. — Connaissant trois plans tangents en trois points d'une génératrice, déterminer tous les autres.

Supposons maintenant que l'on connaisse en trois points ABC les trois planstangents (fig.382).

Soient M 'a' — Wb' —M 'c' les traces verticales de ces plans, faisant entre elles des angles 8 et y.

On se propose de déterminer le point central, le plan central et- le paramètre de distribution, ce qui permettra de construire le plan tangent en tout autre point.

(a) lre Solution. — Méthode dite de la Sécante. — Inscrivons entre les trois traces c' b' et a', une droite telle que les segments c' b'et b 'a'soient égaux aux segments CB etBAde la projection horizontale. C'est un problème facile àrésoudre.

Abaissons M' n1 perpendiculaire sur c'a'. Je dis :

1° Que cette droite est la trace du plan central ;

2° Que M'n' est égal au paramètre de distribution K ;

(1) Ce; traces seront les lignes de plus grande pente des plans; les angles que deux plans tangents tels que M 'T ' et M >m • font entre eux ont pour reclilignc de leur dièdie l'angle TM' m" — 'J. que font les deux traces verticales.

—--«il

3° Que, si Ton prend B N = b 'n ' , le point N est le point central. En effet, prenons un quelconque des trois points, le point C par exemple. Soit x sa distance au point N et a l'angle que fait la trace M' c' de son plan langent avec M' n'.

On a c '//' = CN = x.

La projection verticale donne :

G * îl ' X

tg. a - — -— = —, ce qui est la formule de Chasles. Comme elle se vérifie M'n' K

pour les deux autres points, cela justifie la construction.

(b) Deuxième solution. — Cherchons, en projection horizontale, le point de vue I, c'est-à-dire un point duquel les segments CB et B A soient vus sous les angles B et y-

A cet effet, sur BC, décrivons un segment capahle de l'angle S, et sur BA, un segment capahle de l'angle y. Ces deux segments se coupent en I, qui est le point de vue.

Abaissons I N, perpendiculaire sur AC. Le point N est le point central, I N est le paramètre de distribution K, et si l'on mène, en projection verticale, la trace M' n', faisant avec M ' c' un angle a=NIC, on aura la trace du plan central.

Cela résulte évidemment de ce que du point I les deux segments CB et B A sont vus sous les angles S et y.

Le point I est donc bien le point de vue.

Raccordement des surfaces gauches. — Eléments détermi-

sulte le théorème suivant

Fig. 3S3

'' natifs.

Puisque la connaissance de trois plans tangents en trois points entraîne la connaissance du point central, du plan central et du paramètre de distribution, et, par suite, celle des plans tangents en tous les autres points, il en ré- Lorsque deux surfaces gauches ont une génératrice commune et trois plans tangents communs en trois points de cette génératrice, elles ont les mêmes plans tangents en tous les autres. Elles se raccordent donc tout le long de cette génératrice.

{a) Iîemakque 1. — Lun des plans peut être asymptotique. — Faisons, en effet, la construction qui donnerait le point central, quand l'un des plans M 7' est asymptotique (fig. 383).

Soient M ' b' et M 'a' les plans tangents en deux autres points A et B. Je sais que le plan central est perpendiculaire au plan asymptotique. Sa trace est donc M 'n' perpendiculaire sur MT.

Je mène la droite b 'a' perpendiculaire sur M'n' et telle que sa longueur b'a' soit égale àB A. J'ai en M n' le paramètre de distribution, et si je porte B M = b'n' = x, j'ai en M le point central.

Conséquence. — Deux surfaces gauches se raccordent tout le long d'une génératrice quand elles y ont deux plans tangents communs et même plan tangent à leur cône directeur, ou même plan directeur, c'est-à dire, en un mot, même plan asymptotique.

[b) Remarque 2. — Le point central et le plan central communs équivalent à deux points; il suffit, pour le raccordement qu'il y ait en outre un deuxième plan tangent commun (même ligure).

Soit M le point central commun, et M'n' la trace du plan central commun également ;

Soit B un point situé à la distance x de M et M'6' la trace du plan tangent en B, commun, lui aussi, par hypothèse. Menons la droite b'n' perpendiculaire sur M'n' et telle que l'on ait&'n' = BM = x et nous aurons en M/ n ' le paramètre de distribution.

Tous les autres plans tangents seront donc déterminés, ce qui justifie le raccordement.

GEOM. DESCR.

mètre de distribution, d'une génératrice de surface gauche, entraîne la connaissance de tous les plans tangents aux différents points de cette génératrice. C'est pourquoi nous donnerons à ces éléments le nom d'éléments déterminatifs de la génératrice.