B. GÉNÉRATION ET CLASSIFICATION DES SURFACES GAUCHES

Trente-quatrième Leçon

Fipr. 38i

§ 299. — Surfaces à trois directrices.

Soit Di,D2 et D3 les trois courbes directrices (fig. 384), que la droite génératrice estassujettie à rencontrer dans toutes ses positions; il est facile de montrer, en construisant une génératrice quelconque, que le mouvement d'une pareille droite

est parfaitement déterminé par les trois conditions à remplir. En effet soit m un point quelconque de la directrice Di et par lequel on veut mener une génératrice.

Le lieu des droites qui passant par m s'appuient sur la courbe D2 est un cône ayant m pour sommet et D2 pour directrice ; construisons-le. Construisons de même le cône ayant m pour sommet et la courbe D3 pour directrice.

Ces deux cônes ayant même sommet, m, se coupent suivant une ou plusieurs droites, qui sont la ou les génératrices demandées.

Remarques. — 1° Au lieu de construire le second cône, on aurait pu chercher le point p où il est percé par la courbe D3; en joignant m et p, cette droite rencontrera en n la directrice D2, et ce sera la génératrice demandée.

2° Si l'on mène les trois tangentes mci, nc-z et pcz, aux trois directrices aux points m, n etp, chacune d'elles détermine, avec la génératice, le plan tangent à la surface en ces points. La connaissance de ces trois plans tangents entraînera (§§ 397 et 398) celle des éléments déterminatifs.

§ 299 bis. — Hyperboloïde à une nappe et paraboloïde hyperbolique.

Si les trois directrices Di, D2, D3 sont trois droites qui ne sont ni dans un même plan ni parallèles à un même plan, la surface gauche prend le nom d' hyperboloïde à une nappe. Nous l'étudierons plus loin.

Si, de plus, les trois droites directrices sont parallèles à un même plan, la surface devient un paraboloide hyperbolique ; c'est la plus simple de toutes les surfaces gauches.

Fig. 385

§ 300. — Surfaces à noyaux.

(a) Deux directrices et un noyau (fig. 385).

On nomme noyau une surface à laquelle toutes les génératrices de la surface réglée doivent être tangentes.

Pour construire une génératrice quelconque, opérer comme suit :

1° Prendre un point, m, quelconque sur la directrice Di et construire un cône auxiliaire de sommet m et circonscrit au noyau S.

2° Prendre l'intersection, ??, de ce cône et de la directrice D>.

3° Joindre m n ; cette droite sera une génératrice.

Nota. — Au point p où elle touche ce noyau, le plan tangent à ce noyau est aussi tangent à la surface gauche. On connaît donc, comme tout àl'heure, trois plans tangents en m, en n et en p, ce qui suffit pour trouver les éléments déterminatifs.

{b) Une directrice et deux noyaux (fig. 38G). — 1° Prendre sur Di un point m pour sommet de deux cônes circonscrits, respectivement, à chacun des noyaux.

2° Chercher la génératrice mt mp d'intersection de ces deux cônes. Il peut y avoir plusieurs génératrices d'intersection. En n et en p le plan tangent 'est commun à la surface gauche et aux noyaux.

Fig. 387

(b) Une directrice, un noyau

§ 301. — Surfaces à cône directeur.

(a) Deux directrices et un cône directeur. — Un cône directeur est un cône aux génératrices duquel les génératrices de la surface réglée doivent être respectivement parallèles ; soit Z ce cône.

1° Par un point m, pris sur la directrice Di et comme sommet, mener un cône Z' parallèle au cône Z.

2° Prendre l'intersection n de ce cône Z' et de la directrice ; la droite mn est une génératrice de la surface.

Plans tangents. — En m et en n les plans tangents sont définis par la génératrice mn et par les tangentes ma etnc2 aux directrices; enfin le plan tangent Q a cône Z' est le plan asymptotique ; cela suffit (§ 298 — a) pour avoir les trois éléments déterminatifs.

et un cône directeur. — Contruction analogues.

§ 302. — Surfaces à plan directeur.

C'est un cas particulier des surfaces à cône directeur ; ce dernier s'est réduit à un plan. Autrement dit, les génératrices de la surface gauche doivent être, toutes, parallèles à un même plan.

Ce sont les surfaces les plus employées en architecture (1) ; ordinairement le plan directeur y est horizontal ; nous le supposerons généralement ainsi dans nos épures.

Il suffit pour déterminer la surface de se donner, en outre du plan directeur, deux autres guides, directrices ou noyaux.

Pour obtenir des génératrices on coupe par un plan auxiliaire parallèle au plan directeur et plusieurs cas peuvent se présenter.

1° Si la surface est à deux directrices, on joint deux à deux les points d'intersection de ces directrices avec le plan auxiliaire.

2° Si la surface est à une directrice et un noyau, par les points d'intersection du plan auxiliaire et de la directrice on mène des tangentes à la section faite dans le noyau.

3° Si la surface est à deux noyaux, on mène les tangentes communes aux sections faites par le plan auxiliaire dans chacun des deux noyaux.

(b) Plan asymptotique et plan central. — Dans tous les cas, le plan asymptotique de toutes les génératrices est parallèle au plan directeur ; et le plan central lui est perpendiculaire.

(c) Contour' apparent horizontal. — Si on projette la surface sur un plan parallèle au plan directeur, supposé horizontal, le plan central, lequel, on le sait, est tangent au point central, est perpendiculaire au sol; c'est donc un plan de contour apparent horizontal. Comme conséquence, le lieu des points centraux, c'est-à-dire ce que nous avons appelé la ligne, de striction, est la ligne de contour apparent horizontal de la surface.

Ce théorème est un cas particulier d'un théorème plus général que nous démontrerons (§ 303) pour les surfaces à cône directeur de révolution.

Yoici les surfaces à plan directeur les plus employées :

(d) Conoïde. — Si l'une des directrices est une ligne droite Di (fig. 388), la surface est un conoïde. Le plus ordinaire-

ment, cette droite Di sera oblique au plan directeur. Alors le conoïde est dit : oblique. Si elle est perpendiculaire, on dit que le conoïde est droit (fig. 389).

Au lieu d'une directrice courbe D*, on peut avoir un noyau.

Si, de plus, une des deux directrices est perpendiculaire au plan directeur, alors le paraboloïde est droit ; on dit encore qu'il est isocèle.

(1) Stéréotomie : escaliers, couoï le eo. tour roude, etc.

§ 303. — Surfaces à cône directeur de révolution. — Théorème sur leurs contours apparents.

(a) Théorème. — Dans les surfaces à cône directeur de révolution d'axe vertical, c'est-à-dire dont les génératrices font un angle constant avec le plan horizontal, la ligne de striction est aussi la ligne de contour apparent horizontal de la

surface (fig. 392). En effet : soit A B une génératrice de la surface, et Sa, la génératrice du cône directeur, qui lui est parallèle.

Le cône étant de révolution, son plan tangent SaT est perpendiculaire au plan méridien, c'est-à-dire au plan Soa, qui projette horizontalement la génératrice S a. Mais le plan tangent au cône est parallèle au plan asymptotique de la surface, lequel est perpendiculaire au plan central (§ 295) et inversement.

Le plan central de la génératrice A B est donc le plan Z, qui la projette horizontalement, et comme il est tangent au point central, il en résulte que la ligne de striction est le lieu des points de contact des plans tangents, perpendiculaires au sol C.Q.F.D.

{b) Théorème réciproque. — Si une surface gauche a pour ligne de striction sa ligne de contour apparent horizontal, elle est à cône directeur de révolution.

En effet (même figure) : soit S a m son cône directeur; 0, la projection du sommet S sur le sol. Nous ne connaissons pas la nature de la courue de base am. Si nous prouvons que c'est un cercle de centre 0, le théorème sera démontré.

Or, de l'hypothèse, il résulte que le plan central Z est vertical, et, par suite, parallèle au plan SaO du cône. Mais le plan tangent SaT au cône étant parallèle au plan asymptotique, est, par ce fait, perpendiculaire au plan central Z, et, par suite, au plan SrtO.

Par suite, la tangente cT à la base est l'intersection de deux plans, savoir : le plan horizontal H et le plan tangent, tous deux perpendiculaires au plan SrtO. Elle est donc perpendiculaire à ce plan, et, par suite, à la droite «0, contenue dans ce plan.

Par conséquent, la courbe n a m est une courbe telle que ses normales, telles que a 0, passent toujours par un point fixe 0, projection du sommet S; c'est donc une circonférence. C.Q.F.D.