A. PARABOLOIDE RÉGLÉ, OU PLAN GAUCHE

§ 304. — Double système de génératrices rectilignes. (Voir la définition, § 299 bis et § 302 — e.) Le paraboloïde est la plus simple des surfaces gauches. Il joue un grand rôle dans l'étude des autres surfaces gauches, c'est pourquoi nous l'étudions en premier lieu.

Il est défini par deux directrices rectilignes A et B, non parallèles à un même plan, et par un plan directeur H, que nous supposerons, pour plus de simplicité, horizontal.

(a) Théorème 1. — Les génératrices d'un paraboloïde partagent les deux directrices en segments proportionnels.

(Résulte d'un théorème connu de la géométrie de l'espace.)

n n ' n ' n" n" n'" ' Réciproquement. — Si plusieurs génératrices coupent deux directrices, en segments proportionnels, ces génératrices sont toutes parallèles à un même plan et forment, par conséquent, un paraboloïde (1).

(b) Théorème 2. — Si l'on prend sur différentes génératrices les points P, G, R qui divisent dans un même rapport la portion de ces génératrices comprise entre les deux directrices, tous ces points seront en ligne droite. Démontrons ce théorème sur l'épure.

On suppose que le plan directeur est le plan horizontal. Soit A A' et BB' (fig. 394) les deux directrices et mn — m'n' une génératrice. Prenons sur cette droite le point g' g qui partage le segment mn — m 'n ' dans un rapport donné.

Je dis que le lieu des points tels que g g' est une ligne droite.

En élévation sur le mur x y il est évident que ce lieu est une droite g ' I ' qui passe par le point de croisement des deux directrices. Cela prouve donc que ce lieu étant projeté en ligne droite sur le mur, est dans un plan perpendiculaire au mur.

Prouvons que sur tout autre plan de projection ce lieu est aussi une droite et le théorème sera démontré, car ce lieu sera, dans l'espace, l'intersection de deux plans projetants différents. Or, le plan vertical x y était tout à fait quelconque. Si l'on avait projeté sur un nouveau mur ayant xi y pour ligne de terre, on aurait de même trouvé une ligne droite ; donc le théorème est démontré.

(c) Remarque. — Supposons que la ligne de terre xi y tait été choisie de telle sorte que sur le nouveau plan vertical les projections A ' et B' des directrices soient parallèles entre elles (fig. 395). On sait qu'il suffit pour cela que le mur soit perpendiculaire à un plan Q, qui serait parallèle à la fois aux deux droites. Alors le lieu est g' t', parallèle à A' et à B', ce qui prouve que le lieu est une droite parallèle à ce plan Q.

(1) Il est facile de construire matériellement un paraboloïde. On prend deux règles directrices égales, on y perce des trous équidistants, et on réunit ces trous par des fils. Si l'on tient les deux régies parallèles entre elles, l'ensemble des fils forme un plan. Mais si on les déplace de façon à ce qu'elles ne soient plus parallèles, alors l'ensemble des fils forme un paraboloïde.

Une planche à dessin qui se gauchit sous l'influence de l'humidité prend, en général, la forme d'un paraboloïde. C'est à un fait analogue qu'il faut attribuer l'origine du mot plan gauche. Dans uue toiture longue, si la sablière étant horizontale, le faîtage ne l'est pas et si l'on place les chevrons perpendiculaires à la sablière, leur ensemble forme un toit en forme de paraboloïde; c'est même un paraboloïde droit.

(d) Corollaire. — 1° Par tout point quelconque m m' de la surface, il passe un lieu défini comme ci-dessus et, par suite,

on peut appliquer sur la surface d'autres droites que les génératrices parallèles au plan horizontal.

2° Elles forment donc un nouveau système de génératrices rectilignes toutes parallèles à un nouveau plan directeur Q, parallèle lui-même aux deux directrices, d'où ces conclusions évidentes :

3° Il existe un deuxième système de génératrices rectilignes. Ce deuxième système a pour plan directeur Q, un plan parallèle à la fois aux deux directrices du premier système, et on peut prendre pour directrices de ce deuxième système deux génératrices quelconques du premier.

4° Deux génératrices de même système ne se rencontrent jamais (puisqu'elles sont parallèles à un même plan) ; deux génératrices de système différent se rencontrent toujours. (Cela résulte de la manière même dont nous avons expliqué l'existence du deuxième système.)

5° Par tout point de la surface, il passe une génératrice de chaque système. Le plan de ces deux droites définit le plan tangent à la surface au point considéré.

G0 Tout plan passant par une génératrice d'un système contient une génératrice de l'autre système et est tangent au point où ces deux droites se coupent. Si le plan mené est parallèle au plan directeur, dans ce cas le point de tangence est rejeté à l'infini sur cette génératrice (cela sera prouvé plus loin), et résulte d'ailleurs des propriétés générales du plan asymptotique (§ 294, b).

7° Considérons trois droites d'un môme système; elles sont parallèles à un même plan, et cependant le mouvement d'une droite astreinte à les rencontrer toutes les trois est complètement déterminé. Cette droite engendrera donc le paraholoïde ; par conséquent :

8° La surface engendrée par une droite astreinte à en rencontrer trois autres, parallèles à un même plan, est un paraboloïde.

§ 305. — Problème. — Par un point m m' pris sur une génératrice d'un paraboloïde, mener un plan tangent à la surface.

On suppose le plan directeur du premier système parallèle au plan horizontal (fig. 396).

Soit A A' et BB' les deux directrices ; ab — a'b' une génératrice et mm7 un point pris sur cette droite.

Le plan tangent en ce point sera déterminé par la génératrice du premier système ab — a' b1, et par celle du deuxième système, qui passe également par le point mm' ; nous allons la déterminer. 11 suffit de connaître deux génératrices du premier système autres que la droite ab — a ' b\ de les prendre comme directrices, et de mener par m m' une droite qui les rencontre toutes les deux.

Nous choisirons, pour la première de ces droites, la génératrice fg — f'g1 située dans le plan horizontal et obtenue en joignant les traces des deux directrices. On nomme cette droite la trace du paraboloïde sur le plan directeur ; c'est une génératrice de hauteur nulle.

A son défaut, on mènerait toute autre génératrice du premier système.

Comme deuxième droite, nous prendrons la perpendiculaire au plan vertical projetée tout entière au point I', croisement des projections verticales des deux directrices.

Cette droite est en effet horizontale et elle rencontre les deux directrices. Par conséquent, c'est une génératrice du premier système. Toutes celles du deuxième système doivent la rencontrer et, comme elle est projetée verticalement en un point I ce point sera ce que nous nommerons un point de divergence pour les projections verticales des génératrices du deuxième système.

Nous aurons donc en l' m' la projection verticale de la génératrice du deuxième système passant par le point mm'. Elle perce le plan horizontal en h' , dont la projection verticale est, en h, sur la trace du paraboloïde.

Nous avons en mh — m 'h ' les projections de la génératrice du deuxième système et en h sa trace horizontale. La trace

horizontale du plan tangent est donc la droite /tK parallèle à a b.

Si on prend une ligne de terre x\yi perpendiculaire sur hK, on aura en Lm'i, par report de cotes, la trace verticale du plan tangent sur ce nouveau plan vertical. La ligne L m'i est une ligne de plus grande pente, et on a en a l'angle du plan tangent avec le plan directeur.

Remarque. — Le point de divergence, tel que I', existera sur une projection toutes les fois que le plan de projection correspondant sera perpendiculaire au plan directeur.

Si les projections sont obliques ou coniques, il existera un point de divergence toutes les fois qu'une projetante pourra devenir une génératrice.

§ 306. — Un plan contient une génératrice ; reconnaître le point où il est tangent (même fig. 396).

Soit ab — a'b' une génératrice du premier système et hK (parallèle à a b) la Irace d'un plan contenant cette génératrice. Ce plan est tangent en un point.

Pour le trouver, prenons le point h h1, où la trace du plan rencontre la trace fg du paraboloïde. Par le point ff il passe une génératrice du second système, h' V qui, en projection verticale, diverge du point Y. Elle rencontre verticalement la génératrice précédente au point m' , projeté horizontalement en m. Le point de tangence est mm' .

ïï'.--'"'

— <so —a

§ 307. — Trouver le contour apparent horizontal du paraboloïde (même figure).

Par chaque génératrice a b — a'b1, on mènera un plan perpendiculaire au plan horizontal ; c'est un plan de contour apparent tangent à la surface en un point de ce contour.

Or, sa trace horizontale est ab, recoupant la trace fh du paraboloïde en t projeté verticalement en t' sur xy.

La génératrice du second système est t'I' , recoupant en n', projeté horizontalement en 7r, la génératrice choisie.

Le point tt est un point de contour apparent horizontal. C'est le point central de la génératrice.

Remarque.— Ce contour apparent est une parabole. En effet, on pourrait l'obtenir en prenant l'enveloppe des projections horizontales de toutes les génératrices du premier système. Or, ces droites partagent, aussi bien dans l'espace qu'en projection, les deux directrices en parties proportionnelles, et l'on sait que l'enveloppe d'une série de droites il — 22—3 3... qui partagent deux droites AB — CD en parties proportionnelles est une parabole mnp (fig. 397).

La construction précédente permet de trouver directement les points de contact npq de cette parabole et des génératrices.

D*ailleurs, si les segments 1 — 2—3 — 4 sont égaux entre eux, les points de contact m np sont aux milieux des droites

«f .— ;Py — Y 2, etc.

Trente-cinquième Leçon

§ 308. — Trouver la ligne d'ombre propre d'un paraboloïde.

On supposera d'abord les rayons lumineux parallèles entre eux. On mènera le plan d'ombre de chaque génératrice ; autrement dit, on projettera obliquement sur le plan horizontal chaque génératrice, à l'aide de projetantes parallèles aux rayons lumineux. On cherchera, comme ci-dessus (§ 306), le point où chacun de ces plans est tangent, et le lieu de ces points de tangence sera la ligne d'ombre propre. Si les ombres sont au flambeau, les plans d'ombre passeront par ce flambeau, et la solution sera la même. Dans le cas de rayons parallèles, si l'on considère les deux directrices et leurs ombres portées sur le plan horizontal, ces droites seront partagées en parties proportionnelles par les ombres portées des génératrices, et, par suite, l'enveloppe de ces dernières sera une parabole.

Mais ce sera l'ombre portée par la ligne d'ombre propre de la surface. Or, on démontre en géométrie analytique que la courbe de contact d'un cylindre ou d'un cône circonscrit à un paraboloïde est plane. Sa projection étant une parabole, c'est donc aussi une parabole dans l'espace.

Dans le cas de l'ombre au flambeau, c'est une hyperbole.

Cas particulier. — Si le flambeau S est sur une des génératrices, AB, par exemple, alors tout plan contenant cette

droite est tangent en un point de cette dernière. La droite SAB fait donc partie de la ligne d'ombre propre. L'autre partie est aussi formée par une ligne droite.

En effet (flg. 398), menons la génératrice SwnK du deuxième système qui passe par le point S. Elle rencontre en m n... toutes celles du premier système.

Le plan d'ombre d'une génératrice quelconque CD du premier système est défini par les droites CD et S m; et il est tangent en m situé sur la génératrice SK. C. Q. F. D.

Ce fait a lieu en perspective : si on place l'œil en S, à distance finie, sur le prolongement d'une génératrice, le contour apparent perspectif se réduira, d'une part, à un point, perspective de la génératrice SAB, et d'autre part à un autre point, perspective de la génératrice SfflnK.

Si les rayons sont parallèles à une génératrice, cette génératrice sera une des lignes de contour apparent. Les plans d'ombres des autres génératrices du premier système seront tous parallèles au plan directeur, et, par suite, seront tangents à l'infini ; la droite SK sera reportée en entier à l'infini.

Sur le plan vertical de projection perpendiculaire au plan directeur, le contour apparent enveloppe des génératrices du deuxième système est réduit au point de divergence I ' ; l'autre enveloppe des génératrices du premier système est rejetée à l'inûni.

Fig. 308

§ 309. — Plan tangent parallèle à un plan donné.

Résolvons la question suivante, elle donnera la solution cherchée :

Trouver, sur un paraboloïde hyperbolique, les génératrices qui sont parallèles à un plan donné PaQ' et mener au paraboloïde un plan tangent parallèle à un plan donné.

On supposera ce plan défini par sa ligne de pente Q, a inclinée à l'angle |î sur le plan horizontal (fig. 399).

(a) lre Méthode. — La génératrice du premier système sera parallèle à la trace horizontale Pa du plan donné sur le plan directeur. Résolvons le problème suivant traité dans la première partie (§90) : «Mener une droite parallèle à une direction donnée Pa et qui en rencontre deux autres (ici, les deux directrices a b — a' b1 et cd — c' d1): » A cet effet :

Par un point aa' de l'une des deux directrices, on mène une droite af — a 'f parallèle à Pa. Elle définit avec ab — a' b' un plan dont on prend l'intersection g g' avec la droite cd — c' d' .

La génératrice du premier système cherchée est g 'h' — g h.

Pour avoir l'autre, menons, par cette droite, un plan parallèle au plan PaQ'. A cet effet, on l'a projetée tout entière

en un point g'î sur un nouveau plan vertical x-2 y-2 perpendiculaire au plan PaQ'.On a mené g '2 r parallèle à Q'a, et on a eu en rp, la trace horizontale de ce plan.

Il détermine une génératrice demandée du deuxième système p m — p1 m' trouvée, comme cidessus, en se servant de la trace ad du paraboloïde et du point de divergence 1'.

Le point de rencontre mm' de ces deux génératrices est le point où ce plan g'irp, parallèle à P aQ, est tangent.

Remarque. — Si Ton demande de mener au paraboloïde un plan tangent parallèle à un plan donné, la solution sera la même que celle-ci.

(b) 2" Méthode (fig. 400).— On prendra immédiatement un nouveau plan vertical X\ yi perpendiculaire au plan donné.

Fig. 400

On y cherchera les projections d\ b'i — c'i d\ des deux directrices.

On obtiendra un nouveau point de divergence J '1 et la génératrice demandée du premier système sera la droite g h projetée verticalement tout entière en J'i.

GKOM. DESCR. 24

L'autre doit diverger de Ji 'et être parallèle au plan ; elle sera donc projetée verticalement suivant J \ t ' 1 parallèle à la trace a Q' du plan.

On en aura la projection horizontale en se servant soit du point ?, situé sur la trace horizontale ad de la surface, soit d'un point r'r pris sur une autre génératrice cb — c'i b'i du premier système.

Le point mm\m de croisement des deux génératrices tr et m h est le point de tangenced'un plan tangent à la surface, parallèle au plan P a Q ' .

Les traces de ce plan sont J'it' 1 1.

2° Désignons par P et Q les deux plans directeurs ; si le plan donné est parallèle à la droite MN d'intersection des deux plans directeurs P et 0, en résolvant le problème comme ci-dessus, on devra considérer les deux directrices et mener une droite les rencontrant et qui soit parallèle à un plan parallèle à la fois à chacune d'elles. Le problème est impossible.

En effet, lorsque deux droites A et B sont parallèles à un plan Q, une troisième droite parallèle à ce même plan Q ne peut] pas rencontrer les deux droites A et B, à moins de s'éloigner tout entière à l'infini.

B. U Vl'ERBOLOÏDE A UNE NAITE

§ 310. — Définition et double système de génération.

L'hyperboloïde à une nappe est la surface engendrée par une droite qui se meut en s'appuyant sur trois directrices

Fig. 401

Fig. 402

Plan horizontal

rectilignes qui ne sont ni dans un même plan, ni parallèles à un même plan. Les propriétés de cette surface sont basées sur un double mode de génération que nous allons démontrer, et qui résultera du théorème suivant.

[d] Théorème. — Toute droite qui rencontre trois génératrices rencontre toutes les autres.

Soit, en perspective (fig. 402), A a la première directrice, que je prends perpendiculaire au plan horizontal ; BB' la deuxième directrice quelconque. Je prends, comme deuxième plan de projection, un plan Q perpendiculaire sur cette droite B. Quoique ce plan Q ne soit pas vertical, nous le considérerons comme second plan de projection ; et, par extension, nous l'appellerons aussi un plan vertical de projection.

Cette directrice se projettera verticalement tout en-

tière en un point B', qui est sa trace verticale. La première directrice A se projettera verticalement suivant A' a" perpendiculaire sur la ligne de terre.

Soit enûn la troisième directrice, donnée horizontalement par sa projection droite D, et verticalement par sa projection D '. (Sur le croquis perspectif, cette directrice n'est pas figurée.)

(b) Epure (fig. 401 . — Puisque toutes les génératrices doivent rencontrer A et B, leurs projections horizontales divergeront toutes du point A, et leurs projections verticales toutes du point B'.

On voit à priori qu'il existe trois génératrices de la surface qui sont parallèles aux trois directrices. En effet : 1° Au point M, croisement de D et de B, se projette une verticale qui rencontre BD et qui est parallèle à A, c'est-à-dire qui rencontre A à l'infini. Cette verticale est une génératrice du premier système, parallèle à la directrice A. Sa projection verticale est figurée en trait mixte — . • — . — en m" M' ;

2° Au point N croisement des projections verticales de D et de A nous avons de même une perpendiculaire au plan vertical, rencontrant les deux directrices A et D et parallèle à la troisième directrice B. C'est donc encore une génératrice du premier système. Sa projection horizontale est n"N perpendiculaire sur y x et figurée en trait mixte ;

3° Menons, par les points de divergence A et B", les deux droites P et P" parallèles à D et D' et nous aurons encore une génératrice du premier système parallèle à la troisième directrice.

Ces trois droites M, N et P, prises comme directrices, définissent un nouvel hyperboloïde. Ses génératrices auront deux points de divergence : l'un M, en projection horizontale; l'autre N, en projection verticale.

(c) Lemme. — Je vais démontrer, comme lemme, qu'une génératrice quelconque de ce deuxième hyperboloïde rencontre toujours une génératrice quelconque du premier.

(d) Génératrice du premier système. — Construisons une génératrice du premier hyperboloïde. Sa projection horizontale sera kg divergeant de A, et sa projection verticale B 'g' divergeant de B ' . Le point gg 1 est sur la troisième directrice D D' .

(e) Génératrice du deuxième système. — Construisons une génératrice du deuxième hyperboloïde. Sa projection horizontale est MA divergeant de M, et sa projection verticale N' h', divergeant de N'. Le point A A' est sur la directrice PP'.

Ces droites se rencontrent en K en projection horizontale, et en K' en projection verticale. Si les deux points K et K ' sont sur une même ligne de rappel, le lemme sera démontré.

AK A A N'v' KM Mflf n' g' Menons la ligne de rappel K' S ', on aura également :