A' S' N'«' .A' S' AK

S-F = WJl 6t Par SUlt6' W = O Ce qui prouve que les lignes de rappel des points K et K' partagent dans le même rapport l'intervalle compris entre les parallèles A A ' et B B ', et, par suite, ces lignes de rappel se confondent. C. Q. F. D.

(f) Double génération. — Les conséquences du lemme sont les suivantes :

1° Une génératrice quelconque du premier hyperboloïde rencontre une génératrice quelconque du deuxième hyperboloïde ; elle y est donc contenue en entier et réciproquement :

2° Les deux hyperboloïdes ne font qu'une seule et même surface.

3° Prenons trois génératrices quelconques du premier hyperboloïde. Elles sont rencontrées par toutes celles du deuxième. Elles peuvent donc être considérées comme directrices de toutes celles du deuxième hyperboloïde, et par suite : 4° L'hyperboloïde admet deux systèmes de génératrices rectilignes.

o° Deux génératrices de système différent se rencontrent toujours (d'après la démonstration même).

0° Deux génératrices de même système ne se rencontrent jamais (résulte de ce que, en élévation, elles divergent toutes de A ' et en plan de B, et que A' et B ne sont pas sur même ligne de rappel).

7° Le plan tangent en un point est défini par les génératrices de systèmes différents qui y passent, etc. (Toutes ces conclusions sont les mêmes que pour l'hyperboloïde de révolution déjà étudié.)

(g) Nota. — Nous n'étudierons pas avec plus de détails, dans ces leçons élémentaires, les propriétés de ces deux" surfaces. Nous nous contenterons d'énoncer les propositions suivantes :

1° L'hyperboloïde et le paraboloïde réglés sont des surfaces du second degré. 2° Leurs sections planes sont des courbes du second degré.

3° Si on leur circonscrit des cônes ou des cylindres, les courbes de contact sont planes et sont, par conséquent, du second degré.

4° L'hyperboloïde admet trois plans de symétrie, à angle droit les uns sur les autres. Ils se coupent en un point qui est le centre de la surface.

5° Les plans asymptotiques ont pour enveloppe un cône dit cône asymptote, dont les propriétés sont les mêmes que celles du cône asymptote de l'hyperboloïde de révolution.

6° Le paraboloïde admet deux plans de symétrie, à angle droit l'un sur l'autre. Ils sont parallèles aux plans bissecteurs des dièdres formés par les deux plans directeurs. Leur intersection est l'axe du paraboloïde.