A. SURFACES ORDINAIRES DE RACCORDEMENT

Treille-sixième Leçon

§ 311. — Hyperboloïde de raccordement.

Soient ABC (flg. 403) trois points d'une génératrice ; M N P les trois plans tangents à la surface en ces trois points, et A ai, B Pi, Cyi, trois droites de ces plans tangents, c'est-à-dire trois tangentes quelconques à la surface.

Elles peuvent être prises pour directrices d'un hyperboloïde qui aura en A, B et G, trois plans tangents communs avec la surface, et qui, par suite, se raccordera avec elle tout le long de la génératrice ABC.

On voit qu'il existe une infinité d'hyperboloïdes de raccordement. Ils ont tous le même plan asymptotique, le même point central et le même paramètre de distribution.

Fig. 403

§ 311 bis. — Paraboloïde de raccordement.

(a) Quelconque. — Coupons les "trois plans tangents M N et P par trois plans parallèles Q, Q', Q" ; nous obtenons ainsi trois tangentes A a, B(3, Cy qui sont alors parallèles à un même plan et qui, par suite, définissent un paraboloïde de raccordement, surface plus simple que l'byperboloïde.

Il existe également une infinité de paraboloïdes de raccordement.

Ils auront tous un premier plan directeur de commun; ce sera le plan asymptotique de la génératrice.

On pourra donc ne se donner que deux tangentes A a — Bp comme directrices, et prendre, pour plan directeur, le plan asymptotique.

Le second plan directeur dépend du plan Q qui peut être choisi arbitrairement.

(b) Droit. — Choisissons les plans QQ 'Q" perpendiculaires sur la génératrice. Dans ce cas, les trois directrices Aa — B(3 — Cy sont perpendiculaires sur la génératrice ABC, et le paraboloïde est droit. Toutes les génératrices du paraboloïde, telles que DS, qui sont parallèles au plan Q, seront de même perpendiculaires sur la génératrice ABC. C'est le plus simple des paraboloïdes et, par suite, de toutes les surfaces réglées, susceptibles d'être raccordées à la surface donnée le long de la génératrice AB.

§ 312. — Paraboloïde des normales (même figure).

Prenons le paraboloïde droit précédent. Toutes les génératrices Aa — Bp — Cy — DS parallèles au plan Q sont

tangentes à la surface et, de plus, perpendiculaires sur les génératrices de la surface ABC. Faisons-le tourner d'un angle

droit autour de AB C comme charnière. Les tangentes à la surface^Va — B(3 deviennent des normales A*' — B p' —

Of '. . . . . Par conséquent :

Théorème. — Les normales à une surface gauche aux différents points d'une génératrice forment un paraboloïde que l'on nomme le paraboloïde des normales. (Ce paraboloïde est droit.)

§ 312 bis. — Surfaces gauches ayant une génératrice commune.

Théorème. — Lorsque deux surfaces gauches ont une génératrice commune, elles ont, en général, deux plans tangents communs en deux points. — Recherche graphique de ces deux points (fig. 404).

Soient M et N les points centraux de deux génératrices ; M m1 — M n' les traces verticales des plans tangents en ces points, c'est-à-dire des plans centraux; K et G les paramètres de distribution; y l'angle m' M n' des, plans centraux.

Prenons les droites MP et NQ perpendiculaires sur M N, et égales respectivement aux deux paramètres K et G (1). Joignons PQ et traçons, sur cette droite, un segment capable de l'angle y. Les deux points A et B, où il rencontre la génératrice, sont les points pour lesquels ces deux surfaces ont deux plans tangents communs.

En effet, soit M A = x et N A = y (ce sont les distances du point A aux deux points centraux).

On a sur la figure 404 :

Et de plus :

Fig. 404

" \ - i-^ii

tg. a

AM

MP = K;t^

AN £ NQ ~~ G

Par conséquent, si je cherche la trace M' a' du plan tangent en A de la première surface, elle fera l'angle a avec la trace du plan central M.' m'.

De même, si je cherche la trace du plan tangent en A à la deuxième surface, elle fera l'angle p avec M 'n'. Elle se confondra donc avec M ' V . Il en sera de même pour le plan tangent en B.

Remarque. — 11 peut ne pas y avoir de solution si le segment capable de l'angle 1 ne rencontre pas la génératrice M N. Les deux solutions se réduisent à une seule, s'il lui est tangent.

Si l'angle devient nul, c'est-à-dire si les plans centraux sont les mêmes, les points centraux ne coïncidant pas ; le cercle a un rayon infini, c'est la droite PQ elle-même. Le premier point d'intersection A se place à l'intersection de la droite PQ et de M N, l'autre point B est rejeté à l'infini. Les deux surfaces ont un point de contact à distance finie et l'autre à l'infini.

Si, de plus, les deux paramètres de distribution sont égaux, le premier point A lui-même est rejeté à l'infini, carPQ devient parallèle à AB.

B. APPLICATION DES RACCORDEMENTS

§ 313. — Emploi d'un paraboloïde de raccordement.

Problème. — Mener le plan tangent en un point mm' d'une surface gauche à plan directeur, définie par deux courbes directrices A A' et BB' (fig. 405).

(a) Construction du plan tangent. — Supposons le plan directeur horizontal. Soit a b — a'b'une génératrice obtenue en coupant les deux directrices par un plan horizontal. Soit mm' un point sur cette génératrice.

Le paraboloïde de raccordement aura pour plan directeur le plan horizontal. On pourra lui prendre comme directrices les deux tangentes a k — a1 ki et b h — b1 h', aux deux directrices. Dès lors nous rentrons pour le paraboloïde dans un problème connu, § 305.

On joindra m' au point de divergence I ' en projection verticale.

On prendra la trace horizontale k h — k'h' du paraboloïde. On aura la génératrice du deuxième système en m' l' — m l. Le plan tangent est défini par la génératrice ma — m1 a' et ml — m' sa trace horizontale serait la droite It parallèle à a b.

Remarque. — Au lieu de prendre pour directrices du paraboloïde les deux tangentes aux courbes, on aurait pu prendre deux droites de front des plans tangents en aa1 et b b'. Le deuxième plan directeur eût été alors le plan vertical,

(1) Les points P et Q sont les deux points de vue de la génératrice considérée comme appartenant séparément aux deux surfaces.

Fig. 405

(Point de divergence )

le paraboloïde de raccordement serait isocèle et l'on aurait eu aussi un point de divergence en projection horizontale, ce

qui aurait pu apporter des simplifications.

[b) Recherche du point central. — Dans le cas actuel, c'est le point de la génératrice pour lequel le plan tangent est perpendiculaire au plan horizontal.

On mènera donc le plan projetant horizontalement la droite a b — a1 b1, et Ton cherchera le point où il est tangent. (Problème connu.)

On sait, de plus, que c'est un point du contour apparent horizontal de la surface ; on pourra donc, en prenant l'enveloppe des génératrices en projection horizontale, déterminer ce contour ; ce qui donnera la projection de la ligne de striction. En remontant des points de contact de l'enveloppe et des droites enveloppées, en projection horizontale, aux points de l'espace, on aura tous les points centraux.

(c) Recherche nu paramètre de distribution. — La for-

mule de Ghasles (tang. a — --) montre que si l'on fait

y. — 45°, c'est-à-dire tang. a = 1, alors x = K.

Par conséquent, pour avoir le paramètre de distribution K, il suffira : 1° de mener par la génératrice un plan incliné à 45° sur le plan central, et, par suite aussi, sur le plan horizontal qui est perpendiculaire au plan central; 2° de chercher le point où ce plan est tangent. Sa distance x au point central donnera la longueur K.

Remarques. — La trace horizontale de ce plan à 45°, s'obtiendra immédiatement en menant une droite parallèle à ab, et située à une distance de cette ligne égale à sa cote de hauteur.

En menant par la génératrice deux plans à 45°, l'un d'un côté, l'autre de l'autre, et cherchant leurs points de contact, la distance de ces deux points donnera le double (2K) du paramètre de distribution, et le point milieu sera le point central. Nous laissons au lecteur le soin de réaliser cette construction.

§ 314. — Conoïde oblique à noyau sphérique (fig. 40G).

(a) Données. — Le conoïde a pour plan directeur le plan horizontal. Sa directrice rectiligne est la droite oblique CD — CD7 et son noyau est la sphère de centre 0 0'. Toutes les génératrices doivent être tangentes à cette sphère.

(b) Génératrice quelconque et courbe de contact avec la sphère. — Pour obtenir une génératrice courante, on coupe par un plan horizontal, H', Ce plan rencontre en a' a la directrice rectiligne et il recoupe la sphère suivant le petit cercle horizontal 1 '1.

On mène du pointa a' deux tangentes ab — a' b' , ad — a' d', ce qui donne deux génératrices. Le lieu des points de tangence tel que b,c,g,h — b' , c ' ,g' ,h' donne la courbe de contact du conoïde et de la sphère. Comme points remarquables de cette courbe de contact on cherchera : 1° Le point le plus haut ^ ? et le point le plus bas S' S ;

2° Les points sur l'équateur, g g ' et h h ' . Pour les obtenir, on coupe par le plan de l'équateur ; on détermine le point ff> où ce plan rencontre la directrice rectiligne et l'on mène les deux tangentes fh et fg, au cercle d'équateur.

Nota. — Aux points t' et S', en élévation, la courbe de contact est tangente au contour apparent vertical de la sphère ; aux points h et g, en plan, elle est tangente à son contour apparent horizontal.

(c) Plan tangent en un point quelconque mm'. — Soit mm' un point quelconque, pris sur la -génératrice ab — a' b' . Nous pourrions, pour construire le plan tangent en ce point, imaginer un paraboloïde de raccordement et opérer ensuite comme au § 313.

Les directrices de ce paraboloïde seraient, d'une part, une droite quelconque du plan tangent en aa' (on aurait avan-

tage à prendre la directrice rectiligne elle-même), et, d'autre part, au point b b ' une droite quelconque du plan tangent à la sphère, car la sphère et la surface ont en bb ' le même plan tangent. Néanmoins il ne faudrait pas prendre une horizontale de ce plan tangent ; car le plan directeur du paraboloïde étant déjà horizontal, on ne peut pas lui donner une directrice qui soit parallèle à son plan directeur ; mais on pourrait prendre une de ses lignes de front.

Résolvons autrement la question et réalisons, sur l'épure, l'interprétation géométrique de la formule de Ghasles, comme au § 296.

A cet effet, prenons en xiyi un nouveau mur perpendiculaire sur la génératrice. Celle-ci s'y projette tout entière en un point m'i et tous les plans tangents sont projetés en entier, sur le nouveau mur, suivant leurs traces verticales.

Par conséquent, cherchons en m'i B '1 la nouvelle élévation delà directrice et cette droite sera la trace verticale

Fig. 406

nouvelle du plan tangent au point aa" situé sur cette directrice. De même la trace verticale du plan tangent à la sphère au point ft, sera la droite m\d'i perpendiculaire à la normale, c'est-à-dire au rayon de la sphère m'io'i.

Dès lors, nous connaissons les plans tangents en deux points, a et b ; nous avons la direction du plan central (perpen-

diculaire au plan directeur) ; il nous est donc possible de déterminer le point de vue I (1). Il suffit de mener al et 61, formant avec a b les angles e et 8 que les plans tangents en a et b font avec le plan directeur. L'intersection donne en I le point de vue. Sa projection J sur la génératrice est le point central, qui est un point du contour apparent horizontal de la surface et IJ est égal au paramètre K de distribution.

Cela fait : pour avoir la trace verticale m'i n'i du plan tangent en m, on joindra Im et on construira sur le mur X\ yt une droite qui fasse avec une des traces déjà connues, par exemple m'1 B'i, le même angle quel m fait avec Ib.

(d) Emploi d'un paraboloïde droit de raccordement. — Prenons dans les deux plans tangents connus les lignes de front a e et b d, pour directrices d'un paraboloïde de raccordement. 11 sera droit, puisque le mur Xtyi, qui est pour ce paraboloïde le plan directeur du deuxième système, est perpendiculaire à la génératrice.

La droite e d, qui réunit les traces horizontales des deux directrices, est la trace horizontale de ce paraboloïde, c'est une génératrice du premier système. Toutes les autres génératrices du deuxième système et, en particulier, celle du point m, doivent avoir leurs traces verticales, telles que n, sur la ligne e d.

Nota. — Cette ligne e d passe par la projection J du point central.

(e) Génératrices singulières. — On nomme génératrices singulières dans une surface gauche celles pour lesquelles, par exception, le plan tangent n'obéit pas à la formule de Chasles et reste le même tout le long de la génératrice.

Il suffit pour qu'il en soit ainsi que le plan tangent soit le même en deux points, pourvu que l'un au moins de ces deux points ne soit pas à l'infini.

Nous voyons immédiatement que la génératrice K t, — K' £',laplus haute, et tis — u' s' , la plus basse, sont dans ce cas.

En effet, au point de contact tt' avec la sphère, le plan tangent à la sphère et par suite à la surface gauche est horizontal, de même que le plan asymptotique.

Donc en t ï le plan tangent est le même qu'au point à l'infini et la génératrice est singulière. (La limite de — y est

égale à zéroV 11 en est de même pour us — u's'. 11 y a en plus deux autres génératrices singulières. Pour les trouver résolvons le problème suivant :

Mener par la directrice CD — C 'D' deux plans tangents à la sphère (§ 235).

Soient a et les points de contact. (On démontre facilement qu'ils sont sur la droite hg qui joint les points d'équateur.)

Imaginons que nous ayons mené les génératrices qui passent par ces points. On voit qu'en leurs deux points situés d'une part sur la sphère, d'autre part sur la directrice, c'est le plan que nous venons de mener tangent à la sphère qui est aussi tangent au conoïde. Donc chacune de ces génératrices ayant même plan tangent en deux points est singulière (pour

ces droites : Lim. - est infini).

Nota. — 1° On reconnaîtra facilement quelles sont les asymptotes du contour apparent horizontal de la surface;

2° On cherchera directement le point w' où la courbe de contact avec la sphère présente, en élévation, un point double apparent.