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§ 315. — Emploi d'un hyperboloïde de raccordement. — Biais bassé gauche (fig. 407).

(a) Génération de la surface. — On donne deux cercles égaux entre eux, dont les centres sont en o o' et i ï dans un même plan horizontal et dont les plans sont parallèles au plan vertical.

Ces deux cercles sont pris comme directrices d'une surface gauche. La troisième directrice est une droite Z Z' située dans le plan horizontal, per- . pendiculaire au plan vertical et passant à égale distance des deux centres O et I.

(1) Connaissant la direction 0J du plan central, et les directions 0' a' et 0' b' des plans tangents en deux points A et B d'une génératrice, trouver les éléments constitutifs.

On a vu (§ 296) que le problème revenait à couper par une droite a' b' perpendiculaire au plan central et telle que le segment a' b' soit égal à la distance AB.

On conclut de là, que pour avoir le point de vue I, en plan, il suffit de mener par A et B deux droites A I et B I faisant avec A 0 les angles a et p que les traces o' a' et o' V font avec un plan perpendiculaire au plan central, et de prendre en I leur recoupement.

I est le point de vue et 0 I est le paramètre de distribution K.

Fig. 408

Point de dii'ergenee du <?f Sysceme)

La surface est engendrée par une droite assujettie à rencontrer ces trois directrices (1).

(p) Tracé d'une génératrice. — En élévation les génératrices divergeront toutes du point Z', trace verticale de la troisième directrice. On aura donc la projection verticale d'une génératrice quelconque en 71 a'b'. On rappellera les

points a' et h ' en a et b sur les directrices circulaires, et on aura en b a c la projection horizontale.

(c) Plan tangent en un point quelconque m m' . — Considérons un hyperboloïde de raccordement qui aurait les trois directrices suivantes :

1" Au point G, la droite ZZ ' elle-même ; 2° au point a, la tangente au premier cercle, a a, — a' « , et 3" au point b, la tangente b $ — b '(3 ' au deuxième cercle.

Cet hyperboloïde est de raccordement et le problème consiste à construire son plan tangent en m m' , ce qui revient à déterminer la génératrice du deuxième système qui passe par ce point.

Or on sait qu'une génératrice du deuxième système rencontre toutes celles du premier; cherchons donc deux génératrices du premier système; ce qui avec cab — c' a'b' en fera trois.

Nous prendrons d'abord la droite projetée verticalement au point u', croisement apparent des deux directrices a' a' et b' p\ C'est bien une droite du deuxième système, car elle rencontre «a et bÇ> à distance finie, et Z Z ' à distance infinie ; w' est un point de divergence pour le deuxième système, comme Z' en est un pour le premier.

Nous prendrons ensuite une autre génératrice quelconque du premier système, par exemple, celle que l'on obtient en a p en coupant par le plan horizontal.

Dès lors, la génératrice du deuxième système est obtenue, à priori, sur l'élévation en w'm'. On prend en n'n son intersection avec a p, et la trace horizontale du plan tangent est la droite c n.

[d) Génératrices singulières. — Les génératrices de naissance telles que A G, sont singulières. En effet, aux deux points A A ' et C C les tangentes aux cercles sont verticales et par suite parallèles. Donc, le plan tangent est le même aux deux points A et C, et par suite en tous les autres points de la génératrice.

§ 316. — Arrière-voussure de Marseille (fig. 409).

(a) Données. — On veut couvrir par une voûte l'espace en forme de trapèze A B C D, compris entre les plans d'ébrasement AC et DB d'une fenêtre en plein cintre ; et l'on désire : 1° que la voûte soit assez élevée pour permettre le développement des battants de la fenêtre, et 2° que les lignes de lit de la voûte soient des lignes droites, tout en conservant pour surfaces de lit les plans de lit normaux au cylindre qui constitue la partie de voûte comprise entre les tableaux mp et n q.

La surface gauche qui couvre le trapèze A B G D est à trois directrices.

La première directrice est l'axe de la voûte, c'est-à-dire une droite 0 Z — 0' Z ' perpendiculaire au plan vertical, comme dans le biais passé.

La deuxième directrice est un arc de cercle A'B' nommé cercle d'ébrasement, et montant assez haut pour permettre au battant de la fenêtre d'échapper en tournant.

La troisième directrice est le demi-cercle de feuillure G1 F' D ' — CD. Une génératrice quelconque 0 ' 1 ' 2 ', diverge, en élévation, du point O'. En plan sa projection est 1 2.

(l)Les anciens appareilleurs employaient cette surface pour voûter un berceau biais qui aurait pour courbes de tète les deux demi-cercles o A et i C. Aujourd'hui on construit les voûtes biaises par appareil orthogonal ou hélicoïdal. (Voir Stéréotomie : Voûtes biaises.)

GÉOM. DESCR. 2d

{b) Génératrice de passage O'M'B'. — On désigne ainsi celle qui passe par l'angle B' de l'arête de feuillure. A ce

moment la deuxième directrice A'B' cesse de servir et il faut en prendre une autre, par exemple, la courbe B'D', qui sera tracée dans le plan d'ébrasement D B.

Cette nouvelle directrice doit être telle que la voûte ne présente pas de jarrets ; autrement dit, il faut que la nouvelle surface gauche qui aura B'D' pour directrice se raccorde avec celle que l'on quitte, et qui avait A'B' pour directrice.

Or aux points 0' et M' on garde les anciennes directrices nos 1 et 3, donc on y a les mêmes plans tangents. Il suffit alors d'avoir un troisième plan tangent commun en M'. Autrement dit : la tangente B'O' (rabattue en B'iô') à la directrice nouvelle doit être l'intersection du plan d'ébrasement et du plan tangent en B ' à la surface gauche que l'on quitte. Cherchons cette intersection par les constructions suivantes :

1° B' t', tangente au cercle d'ébrasement, est une ligne de front de ce plan tangent.

2° M ' 0 ', parallèle à B ' t', en est donc aussi une ligne de front.

S^'ô', verticale, est une ligne de front du plan d'ébrasement, située dans le même plan de

front que M ' 0' Donc la tangente cherchée est

0' B', rabattue en O'B'iet la courbe B'iD', ramenée en B'D', peut être prise pour nouvelle directrice, à la condition qu'elle ait pour tangente B ' 0 ' — B 'i 0 ' .