B. SURFACES RÉGLÉES HÉLICOÏDALES. — GÉNÉRALITÉS. — DÉFINITIONS

Fig. 413

§ 324. — Hélicoïde gauche quelconque (fig. 413).

Cette surface est engendrée par le mouvement hélicoïdal d'une droite quelconque ne rencontrant pas l'axe du mouvement.

OZ est l'axe, AI la droite mobile, 0 I sa plus courte distance à l'axe (comme dans l'hyperboloïde de révolution). Le

point I ne quittera pas la surface d'un cylindre auquel la génératrice sera toujours tangente. De sorte que la surface rentre dans la catégorie des surfaces à noyau cylindrique, et pourrait être définie ainsi :

Surface engendrée par une droite qui : 1° reste constamment tangente à un cylindre noyau; 2° rencontre toujours une hélice mnp tracée sur ce cylindre, et 3° fait un angle constant a avec le plan de section droite de ce cylindre.

C'est donc une surface à cône directeur de révolution S et l'on a vu (§ 303) que la ligne de striction était aussi la ligne de contour apparent horizontal : donc l'hélice mn, tracée sur le noyau, est la ligne de striction, c'est-àdire le lieu des points centraux I de toutes les génératrices.

Nota. — Sur la figure 413, la génératrice I A est figurée tangente à l'hélice de striction nln ; c'est une erreur, du moins en tant que la surface est un hélicoïde gauche. Il faut donc imaginer que AI, tout en étant dans le plan tangent au cylindre noyau, n'est pas tangente à l'hélice de striction.

Nous verrons plus loin que si cette tangence existait, la surface serait un cas particulier connue sous le nom de hélicoïde développable, surface qui sera étudiée plus loin.

Soit h, le pas réduit de l'hélice; on doit donc avoir

tam

> ïi

Si on avait alors l'hélicoïde serait développable.

tang. a

— , d'où R

h Cotg.

Fig. 514

Cône directeur

§ 325. — Hélicoïde de vis à filet triangulaire (fig. 414).

C'est un cas particulier du précédent. Le noyau s'est réduità une droite qui est l'axe du mouvement. On peut le définir ainsi :

L'hélicoïde, vis à filet triangulaire, est engendré par le mouvement hélicoïdal d'une droite qui rencontre l'axe du mouvement, mais qui n'est pas perpendiculaire à cet axe. Ou encore : C'est une surface à deux directrices et à cône directeur, savoir :

1° Une droite directrice ; 2° une hélice directrice ayant la droite pour axe; 3° un cône directeur de révolution autour d'une droite S Z, parallèle à l'axe.

§ 326. — Hélicoïde gauche à plan directeur (fig. 415.)

C'est un cas particulier de l'hélicoïde quelconque dont le cône directeur est devenu un plan perpendiculaire sur l'axe.

(1) Voir, au Complément, des détails plus complets sur l'hélice.

Fiiî. 413

Fig. 41G

Cet hélicoïde rentre dans les surfaces à noyau cylindrique. On pourrait le définir ainsi : Surface engendrée par une droite qui : 1° reste toujours horizontale ; 2° reste tangente à un cylindre de révolution vertical; 3° rencontre toujours

une hélice (sa ligne de striction) M AN tracée sur ce cylindre.

§ 327. — Hélicoïde de vis à filet carré (fig. 416).

C'est un cas particulier du précédent. Le noyau s'est réduit a une droite verticale CZ, qui est l'axe du mouvement.

Les génératrices AB — CD sont toutes horizontales. Elles rencontrent l'axe en A, C, etc., et pour les guider on se donne une hélice M B D M (qui n'est pas ici la ligne de striction).

Plan Directeur

Fig. 417

^-i ( Param.ètrs dpTangenco.

, I h Pas réduit )

itième Leçon .

§ 328. — Application à l'architecture et à la mécanique.

Les hélicoïdes réglés se rencontrent très souvent dans la construction. Ainsi : les arêtes des marches d'un escalier en tour ronde forment une vis à filet carré (fig. 416). Le dessous des mêmes marches, ou intrados, forme, dans le cas de l'escalier à noyau plein, un hélicoïde gauche à plan directeur. Dans la voûte connue sous le nom de vis Saint-Gilles, les surfaces de lit des voussoirs forment des vis à filet triangulaire (fig. 414). Dans les voûtes biaises appareillées dans le système dit hélicoïdal, les surfaces de lit et de joint sont des vis à filet carré (fig. 416).

En mécanique les vis en bois sont à filet triangulaire ; les gros boulons en fer sont ordinairement à filet carré, etc., etc.

Etudions, plus en détail, chacune de ces surfaces.