C. HÉLICOÏDE GAUCHE QUELCONQUE

§ 329. — Définitions et problèmes généraux.

(a) Définition. — C'est la surface engendrée par le m'ouvement hélicoïdal d'une droite qui ne rencontre pas l'axe du mouvement. Nous avons vu (§ 324) que, dans son mouvement, cette droite restait constamment tangente à un cylindre, et que son point de contact aa', sur ce cylindre, décrivait à sa surface une hélice, qui était la ligne de striction (lieu des points centraux) et aussi la ligne de contour apparent horizontal de la surface (§ 303).

(b) Données. — Soit OZ ' l'axe du cylindre noyau ; R son rayon ; H le pas total de l'hélice de striction cad — c'a'd' ... tracée sur le noyau.

Le pas réduit est h — —

Soit [3 l'angle constant que les génératrices doivent faire avec le plan horizontal.

Soit v l'angle de l'hélice de striction ; on doit avoir |î la surface serait développable.

autrement

(c) Tracer une génératrice. — Soit à tracer la génératrice de front. En plan, ce sera at, tangente au cercle de base du cylindre. En élévation, ce sera a't' , inclinée à l'angle (3 sur la ligne de terre.

(d) Prendre un point quelconque et construire, en ce point, le plan tangent. — Soit m le point pris en projection horizontale ; considérons l'hélice décrite par ce point m. E\\e appartient à un cylindre de rayon o m = R'.

Construisons la tangente à cette hélice (en plan, c'est la droite m g) et cherchons sa trace g sur un plan horizontal H ' qui passerait par le point central a. Pour cela, on rabat m en Mi (wMi = Z = m"nï) et on mène Mi g inclinée à l'angle 7 ' que fait l'hélice du point m Mi avec le plan horizontal.

Calculons cet angle 7' (fig. C). On sait (§ 323 — c) que si on construit un triangle rectangle de base R et de hauteur h [h, pas réduit), l'angle ACB est l'angle de l'hélice.

On a : tg. 7 = — .

tg- Y R'

On aura de même : tg. 7' =-^7, d'où on déduit :

Ce que l'on pourrait traduire en disant que : tg. 7 R

Dans un mouvement hélicoïdal, les pentes (tg. 7, tg. 7' ) des différentes hélices décrites par les différents points sont

inversement proportionnelles aux rayons (R, IV ).

On aura donc (fig. B) m g = — , . Dautre part (fig. A), on a : a 'm" ou son égal am = - — -. Donc, en élite-Y tg. p

minant z :

(1) — — -^-v Cette relation va nous servir.

a m tg. 7'

(e) Trace du plan tangent, sur le plan uorizontal H'. — Pôle. — Cette trace est la droite a g, qui joint la trace a de la génératrice à la trace g de la tangente à l'hélice du point m-

Menons niP perpendiculaire sur a g ; ce sera la ligne de plus grande pente du plan tangent. Elle rencontre en P le rayon oa.

Nous allons démontrer que OP est une longueur constante, indépendante de la position du point m, sur la génératrice. En effet :

Les deux triangles (hachés) OPm et mag sont semblables, comme ayant les côtés perpendiculaires. On a donc :

(*° am~ mg d ou :

(3) OP = ^ X Om. Mais, d'après l'équation (1) :

a m tg. 7' et 0 m, c'est le rayon R' du point m ; et l'on a, d'après m g tgTp

tg y

ia figure C : O m ou R' = R En substituant dans (3), il vient :

OP=fl'xnJ±± d'où:

tg. p tg. 7

(4) OP = R tg. 7, Cotg. p.

De plus, comme R tg. 7, c'est le pas réduit, h, du mouvement hélicoïdal, et que 3 est constant ; on voit que :

(5) ~ÔP - h Cotg. 3.

Nous désignerons la longueur OP par la lettre/), et nous la nommerons le paramètre de tangence. On le construit facilement comme l'indique la figure C. Comme cette construction s'appliquerait à tout autre point de la génératrice, et que dans un hélicoïde toutes les génératrices sont analogues, qu'elles soient de front ou non, on peut énoncer le théorème suivant.

§ 330. — Théorème du pôle.

Théorème. — Les lignes de plus grande pente des différents plans tangents aux différents points d'une même génératrice, passent en projection horizontale par un point Axe, nommé le pôle de cette génératrice ; ce point est situé sur le rayon du point central (a) et à une distance de l'axe (p) égale à R Cotg. 3.

Nota. — En réalité cela veut dire que dans l'espace ces lignes de plus grande pente rencontrent toujours une verticale qui aurait pour pied le point P.

Ce théorème s'applique aux quatre hélicoïdes gauches et permet de résoudre simplement les problèmes de tangence et d"ombres ainsi que nous allons le montrer.

331. — Problème 1. — Un plan passe par une génératrice ; trouver le point où il est tangent.

1° Construire une génératrice quelconque, par exemple celle qui passe par le point a a' de l'hélice de striction. On opère ainsi :

En plan c'est at tangente au noyau. Pour trouver sa trace t, menons (fig. C) une droite DF inclinée à l'angle [3 des génératrices. Prenons a'i à la hauteur de a ' et la longueur d" a'\ reportée en aï donne le point t.

Prenons (fig. 418 — C) Gf'= R. Menons GF inclinée à l'angle y de l'hélice de striction et nous aurons en F f le pas réduit h. Menons FD inclinée à l'angle p et nous aurons en D/-/ = p le parainètre de tangence.

On a en effet \Bf' = h Cotg. (3.

Dès lors, soit t\, la trace d'un plan contenant la génératrice ta.

Prenons sur la perpendiculaire oa une longueur oP = p, nous avons le pôle. Du point p abaissons la perpendiculaire sur la trace tY, nous avons la ligne de plus grande pente du plan tangent et, par suite, en m, rappelé en m', le point de tangence.

§ 331 bis. — Généralisation de la propriété du pôle.

Cette propriété du pôle est générale pour toutes les surfaces gauches à cône directeur de révolution.

En effet, considérons le paraboloïde des normales (§ 312j. C'est un paraboloïde droit et son premier plan directeur est perpendiculaire à la génératrice. De plus son second plan directeur est perpendiculaire au premier et par conséquent c'est un plan vertical. Par suite toutes les génératrices du premier système, c'est-à-dire, en somme, toutes les normales ont un point de divergence en projection horizontale.

Cela posé, les lignes de plus grande pente des plans tangents sont perpendiculaires aux traces de ces plans tangents et sont, par conséquent, confondues en projection avec les normales. Elles ont donc elles aussi le même point de divergence, et ce point est le pôle étudié ci-dessus.

Fie. 419

Les triangles

§ 332. — Problème 2. — Trouver l'ombre propré d'un hélicoïde gauche quelconque éclairé par des rayons parallèles.

(a) Point courant. — Nous supposerons, ce qui n'ôtera rien à la généralité de la solution, que les rayons sont de front et inclinés à l'angle S. Construisons comme ci-dessus une génératrice quelconque at — a t'. Menons le plan d'ombre de cette génératrice, et pour cela cherchons en a'i ai l'ombre du point central aa'. La trace du plan d'ombre est ta\.

Où ce plan est-il tangent? Pour le savoir, prenons en P le pôle de la génératrice (OP=/( Cotg. p). Abaissons Pm perpendiculaire surïoi et nous avons en m, rappelé en m', le point d'ombre propre. Cette construction peut encore être simplifiée.

(b) Centre d'ombre. — En effet, prenons en I la rencontre de Pm avec une perpendiculaire au rayon lumineux menée par 0, et calculons la longueur 0 1 = q.

(hachés) 01 P et a ai t sont semblables, car ils ont les côtés perpendiculaires et l'on en déduit :

a ai at

mais a ai = Z Cotg. 8 (Z étant la hauteur du point aa');at = Z Cotg. p et o P = p; P = h Cotg. (3 ; donc, substituant dans (1) il vient :

oP X â~âi A Cotg. p X Z Cotg. 8

q, ou o 1

Z Cotg. p.

quantité constante.

On voit cette longueur q, construite en S'Y (tig. B) sur l'épure des paramètres (fig. C). Nous nommerons le point I le

centre d'ombre et la longueur q — h Cotg. 8 le paramètre d'ombre.

(c) Tracé en plan. — En plan, l'ombre propre se trace donc très facilement (fig. 420).

lor Cas. — p < q ou h Cotg. $ < h Cotg. 8, ou encore Cotg. p << Cotg. '8, c'est-à-dire p > 8.

Cela veut dire que le rayon lumineux fait avec le sol un angle 8 plus petit que l'angle p des génératrices.

Soit a b une génératrice (tangente au cercle de base du noyau, lequel est le contour apparent de la surface). Soit p son pôle, I le centre d'ombre.

On joint IP et on obtient en m, par prolongement, le point d'ombre propre.

Les points g et k sur le cercle de base du noyau, sont des points de la courbe.

Menons If tangent au cercle polaire de rayon op. Si l'on considère la génératrice cd, parallèle à \f, on voit que l'on obtient sur cette droite un point à l'infini.

En plan, la courbe présentera donc l'aspect de la figure 420.

2e Cas. — Si l'on avait eu q < p, ce qui équivaut à 8 > p. Alors, le cercle polaire passe en dehors du centre d'ombre I ; on ne peut plus lui mener de tangente du point I, et il n'y a pas de branches infinies.

(On fera bien d'étudier les différents cas de ces courbes d'ombre, et de déduire des projections horizontales les élévations de l'ombre propre).

§ 333. — Représentation d'un hélicoïde gauche (fig. 421).

(a) Données. — 1° On donne en o z" z' l'axe de l'hélicoïde, et en 1 2 34... la base du cylindre de striction. Soit R son rayon. Sur ce cylindre, on trace, comme-à l'ordinaire, l'hélice de striction a' 1' 2' 3'4\.., en se servant de l'échelle figurée à gauche.

On construit en a'O' la tangente de front de cette hélice, et l'on en déduit l'angle y du mouvement hélicoïdal, et en h (fig. C), le pas réduit ;

2° On se donne en a' V — aY la génératrice de front de l'hélicoïde, faisant l'angle p avec le sol ; en plan, elle est tangente au cercle de striction.

(b) Délimitation. — Limitons la surface à un cylindre 1 2 3 4... de rayon R', et cherchons en 1 '2'3'A'... l'hélice d'intersection de la surface avec ce cylindre (1).

En considérant la génératrice de frontal — a'b', nous obtenons immédiatement un de ses points b'b', et nous constatons qu'il est à une certaine hauteur X au-dessus du point a'. Cette génératrice, prolongée au-dessous de a1, recoupe le même grand cylindre en un point 21 — 21 ', situé à la même hauteur X, au-dessous de a.' .

Plus généralement, tous les points des grandes hélices l'I'Z'b' ... (hélice supérieure) et 21 ' — 22' — 23'... (hélice inférieure), seront au-dessus ou au-dessous des points correspondants i/2'3'... de l'hélice de striction, et la différence de niveau sera constamment égale à X.

Pour tracer ces grandes hélices, il serait commode d'avoir un de leurs points tel que SS', situé le plus à gauche ou le plus à droite. A cet effet :

11 suffit : 1° de prendre S dans le méridien principal ; 2° de mener ST> tangente au cercle de gorge ; 3° de rappeler le point de contact T en T' sur l'hélice de striction, et 4° de prendre S' à la hauteur X au-dessus du point T '.

(c) Choix de génératrices. — Nous déterminons douze génératrices équidistantes : elles sont (1 — 1 — 21) (2 — 2 — 22), etc., faciles à projeter verticalement.

(i) Sur la figure 421, les points situés sur le noyau sont indiqués par des numéros 1, 2, 3..., en caractères fins, et les points situés sur le cylindre de délimitation le sont par des numéros 1, 2, 3. . . , on caractères gras ; les mêmes numéros répondent aux mêmes génératrices.

GÉOM. DESCR. 26

FiS. 421

{d) Contour apparent vertical. — Le contour apparent horizontal est le cercle de striction 12 3... Le contour apparent vertical q' m' ... sera l'enveloppe des projections des génératrices. On peut déterminer directement les points de contact tels que m m! (sur la génératrice 3 — 23), qq' (sur la génératrice 2 — 22), en appliquant la théorie du pôle. En effet, c'est

un cas particulier du problème de l'ombre au soleil, dans lequel les rayons lumineux auraient la direction P<t, et seraient de bout. L'angle S du paragraphe 332 est égal à zéro ; cotg. 3 = oo et, par suite, le paramètre d'ombre (q = /«, cotg. S) est égal à 1' oo.

Autrement dit,lecentre d'ombre est rejeté à l'infini sur la perpendiculaire OAV menée du pied de l'axe 0 sur le rayon a p. Appliquons la construction, dans ce cas particulier, à la recherche du point mm7, situé sur la génératrice 3 — 23.

1° Sur la figure C des paramètres, en menant FD inclinée à l'angle p des génératrices, on obtient en p le paramètre de tangence (p = h. Cotg. p).

2° On trace en plan (fig. A) le cercle polaire ps pi pu de rayon p.

3° On prend en p3, sur ce cercle, le pôle de la génératrice 3 — 23.

4° On joint ce pôle au centre d'ombre situé à l'infini, ce qui revient à mener pztll parallèle à la ligne de terre. Le recoupement avec la génératrice donne en mm' le point cherché.

(e) Point a l'infini. — Asymptote. — Si l'on cherche de la même manière le point situé sur la génératrice de front ab — a' //..., on reconnaît qu'il est à l'infini; et comme toutes les génératrices sont tangentes au contour apparent, il en résulte que la droite a' b' est, en élévation, l'asymptote du contour apparent.

{f) Sommets. — Aux points A1 et 10; le plus à gauche ou le plus à droite de l'hélice de striction, le contour apparent est tangent à cette hélice. Ces points sont des sommets.

(g) Nota. — On aura soin de tracer la ligne de contour apparent tangente en des points tels que 8' 8'.. .. aux sinusoïdes, projections des grandes hélices.