D. SURFACE DE VIS A FILET TRIANGULAIRE

§ 334. — Généralités.

îème Leçon ^ Définition. — C'est la surface engendrée par une droite rencontrant un axe et entraînée d'un mouvement hélicoïdal autour de cet axe. (Voir le croquis perspectif, fig. 414.)

C'est un cas particulier de l'hélicoïde gauche, le cylindre noyau étant réduit à son axe. Cet axe est la ligne de striction de la surface de vis. Dans ce cas la ligne de striction ne suffit plus pour déterminer une génératrice quelconque de la surface. Il faut donner en outre une courbe directrice, qui sera une hélice tracée sur un cylindre quelconque ayant pour axe, l'axe du mouvement, et même pas réduit que lui.

(b) Construction d'une génératrice. — SoitZ,Z", Z' l'axe (fig. 422); ABC — A' B' C, une hélice directrice tracée sur un cylindre de rayon R', et p l'angle constant des génératrices avec le plan horizontal; on tracera la génératrice de front A a — A' a'. Ce qui donnera la hauteur a' z/ = R ' tg. p du point situé sur l'axe au-dessus du point situé sur l'hélice. Désignons cette longueur par la lettre l.

Fi s 422

Soit FF ' un autre point, quelconque, de l'hélice directrice. La génératrice correspondante aura sa projection horizontale FO, passant par le pied de Taxe, et sa projection verticale rencontrera l'axe en un point f situé à la hauteur constante R' tg. p = X au-dessus du point F'.

Et comme dans cette formule le rayon du cylindre de striction n'entre pas, il peut devenir nul, ce qui est le cas de la surface de vis triangulaire. On a toujours : p = h cotg. p.

(d) Plan tangent. — Soit NN' un point pris sur cette génératrice. Cherchons le plan tangent en ce point. On prendra le pôle P de cette génératrice en portant sur la perpendiculaire à sa projection horizontale, une dislance OP = p (paramètre de tangence). On joindra par une droite P N le pôle à la projection horizontale N du point ; et l'on mènera par un point quelconque F de la génératrice, une horizontale F8 du plan tangent cherché, perpendiculaire à P N. Cette droite PN est une ligne de plus grande pente du plan tangent.

La môme figure donne la solution du problème inverse, savoir : Un plan passe par une génératrice ; reconnaître le point où il est tangent. Soit F 8 une horizontale d'un plan passant par la génératrice F f —F'/'; on abaissera du pôle P de la génératrice une perpendiculaire sur l'horizontale du plan et l'on prendra l'intersection N de cette perpendiculaire et de la génératrice.

(e) Contour apparent vertical (même figure). — Soit à trouver le point de contour apparent vertical situé sur la génératrice Ff — F' f; cela revient à trouver le point de tangence du plan projetant verticalement cette droite.

Sa trace horizontale serait perpendiculaire sur xy; on abaissera donc Fm perpendiculaire sur cette trace, c'est-à-dire parallèle à xy et l'on aura en m, projeté verticalement en m', le point cherché. En ce point la ligne de contour apparent est tangente à la génératrice F'N' m'.

En faisant la même construction pour la génératrice de front A' a ', on reconnaît facilement qu'elle donne un point à l'infini. Donc A' a1 est asymptote du contour apparent vertical.

En l'appliquant à la génératrice de profil, cela donnera le point b ' situé sur l'axe ; et par conséquent situé en b 1 à une hauteur B ' b1 audessus du point B ' de l'hélice, qui est projeté sur l'axe, égale à la hauteur X constante déjà trouvée plus haut. Il faut avoir soin de tracer la ligne de contour apparent tangente en K ' à l'hélice directrice. On devra chercher directement le point K' (problème à trouver).

(f) Remarque. — Aux environs de ce point K la courbe de contour apparent est assez voisine de son asymptote et, par conséquent, elle diffère peu d'une droite, ce qui justifiera les procédés, approximatifs, de représentation d'une vis à filets triangulaires, telle qu'on la trouve en mécanique, procédés que nous allons indiquer.

Fig. 423

' Uxe

Fi*'. 424

§ 335. — Représentation, en dessin, d'une vis à filet simple (fig. 423).

1° On dessine d'abord en BAB' — B' A'B", sur la gauche, le triangle générateur de la vis.

(Ordinairement, en mécanique, il est équilatéral.)

A droite, on dessine, tourné de l'autre côté, le même triangle, mais en ayant soin que chaque sommet saillant Ai de droite, soit au niveau d'un sommet rentrant de gauche B B ' ;

2° On dessine toutes les grandes hélices A Ai —

A 'Ai' des sommets saillants, et toutes celles BBi —

B'B' des sommets rentrants (Les projections sont des

sinusoïdes) ;

3° Les contours apparents s'obtiennent, parapproxi-

Fi g. 426

Fig. 427

xi l

Mo '

Fig. 428

Fig- 425 mation, en menant les tangentes communes a [3 — a'jî' et (dans

l'autre sens) y 8 — y '8' aux sinusoïdes, projections de ces hélices.

Remarquer (détail fig. 424) le chevauchement, l'une sur l'autre, des deux lignes de contour apparent: a [3 passe (à gauche) en avant de y8.

§ 336. — Tracé sommaire (fig. 425).

Ce tracé est usité surtout dans le dessin de machines, pour des vis dont la pente des hélices est très faible.

1° On joint par des droites AA' — AA' les sommets saillants des triangles générateurs. Ces droites, toutes parallèles entre elles, remplacent sensiblement les grandes sinusoïdes ;

2° Joindre par d'autres droites, BB' — BB' , parallèles entre

elles, les sommets rentrants.

Remarque. — Les lignes B B' ne sont pas parallèles aux

jiJj lignes A A' ; elles ont une pente plus grande; elles remplacent sensiblement les petites sinusoïdes B 'B'i de la figure 423.

§ 337.— Section horizontale de la surface. — Spirale d'Archimède (fig. 42(1).

(a) Section exacte. — Soit B'&'une génératrice quelconque, m' m sa trace horizontale.

Cherchons en coordonnées polaires le lieu du point m. On a : Bm = z. Cotg. Mais z — feu ; h étant le pas réduit du mouvement hélicoïdal.

Donc : Bm = hu> cotg. p et om ou p = R -j- h w cotg. fi. C'est une équation du premier degré en w, c'est donc une spirale d'Archimède. Elle passe en A, en 0. Elle se recoupe elle-même en e. (Chercher le point z. Chercher la tangente en m à la courbe. Chercher sa tangente en 0.)

(b) Section approchée.— Vis des boulons (fig. 427). — En plan, on

prend un point I, distant du centre, delà demi-profondeur (p) a b du filet

(ol = - ab). Et de ce point I comme centre, on trace un cercle

tangent, en c, au cercle de base du boulon. Ce cercle remplace sensiblement les deux arcs £ A o et e G o de la spirale d'Archimède de la figure 426.

§ 338. — Ombre propre, au soleil, de la surface.

Soit (lig. 428) RR' les rayons lumineux. On cherche l'angle o, qu'ils font avec le sol, et on construit en q (fig. C) le paramètre d'ombre {q — h Cotg. o).

On cherche aussi le paramètre de tangence p (fig. C) et on construit en plan le cercle polaire, avec p pour rayon.

Cela posé : en I sur une perpendiculaire au rayon lumineux, et à une distance 01 = q, on prend le centre d'ombre. Soit à trouver le point d'ombre situé sur la génératrice de front oA — a'k'. 1° On cherche son pôle P ; 2° on joint I P et la rencontre avec o A — a' M donne en mm' le point cherché.

Achever l'épure à grande échelle. Chercher en outre les ombres portées sur le plan horizontal.

Discuter les différentes formes de la courbe d'ombre, en plan, suivant les grandeurs relatives de p et de q, c'est-àdire de p et de 5.

Cercl e - Jiolaire