E. HÉLICOÏDE GAUCHE A PLAN DIRECTEUR

Fi g. 429

Uéveloppt du l'hélice de Striction.

§ 339. — Généralités.

(a) Définition. — C'est la surface engendrée par une droite entraînée dans un mouvement hélicoïdal, autour d'un axe qui lui est perpendiculaire, sans la rencontrer. (Voir le croquis perspectif, flg. 415.)

On voit que c'est une variété de l'hélicoïde gauche dans le cas où les génératrices sont perpendiculaires à l'axe (P = 0).

Les génératrices sont tangentes à un cylindre noyau. Leur point de tangence décrit sur le cylindre une hélice qui est

à la fois la ligne de striction et le contour apparent horizontal de la surface.

(b) Paramètres. — Le paramètre de tangence avait pour expression dans l'hélicoïde gauche :

p — h Cotg. 3; S étant l'angle des génératrices avec le sol.

Dans le cas actuel, S = o ; cela donne :

Cotg. 8 = oo etjî = oo .

(c) Représentation d'une génératrice (fig. 429). — On voit en a-z B2 le dé-, veloppement d'une demispire de l'hélice de striction. En portant sur la base a-z 62 une longueur égale à r, on obtient en L2 un point dont la hauteur est égale au pas réduit h.

On prend en ce ' (développé en C2) un point quelconque de l'hélice de striction et la génératrice qui répond à ce point ce' est l'horizontale c' m' — c m.

Nota. — cm, est tangente au cercle de base du cylindre noyau.

(d) Plan tangent en un point mm' quelconque de la génératrice. — On ne peut plus appliquer la construction qui utilise le pôle. Nous allons donner deux méthodes :

ire Méthode. — En utilisant l'hélice qui passerait par le point mm '. Sa tangente serait la ligne mô, tangente au cercle qui passe, en plan, par m. La sous-tangente mô a une longueur qui est à la sous-tangente et (égale à a% d du développement) comme le rayon om, du point m, est au rayon r de l'hélice de striction. On peut donc construire la sous-tangente m 0, et la trace du plan tangent est v 6, menée par 0, parallèlement à cm.

Nota. — On voit en c"6" la construction qui donne la longueur de m 8, c" 6" et cO sont proportionnels à 0 c et à 0 c".

2e Méthode. — En utilisant un paraboloïde droit de raccordement. Considérons le paraboloïde droit de raccordement. Sa trace horizontale passera par le point c, projection du point central. Nous avons vu que si l'on prend un point J situé à une distance cJ du point central égale au paramètre de distribution (K — h), alors en vertu de la formule de Chasles

tg. a = -, si x = K, a sera égal à 45° et le pied de la génératrice tombera en f à une distance /J égale à la cote de hauteur

Z de la génératrice. D'ailleurs ce paraboloïde a pour génératrices les lignes de plus grande pente des plans tangents.

Donc cf est la trace du paraboloïde droit de raccordement, et si l'on mène mv, perpendiculaire sur cm, la trace du plan tangent doit passer par le point v , où cette ligne rencontre la droite cf.

Nota. — Cette construction revient à dire que : dans un conoïde droit, c'est-à-dire dans un conoïde dont la directrice est verticale, les traces horizontales des lignes de plus grande pente des plans tangents sont en ligne droite.

§ 340. — Ombre de la surface.

(a) Point quelconque. — On peut employer la construction qui utilise le paramètre d'ombre q — h cotg. 3. Supposons les rayons lumineux de front. On prend en 01 = m (flg. 429), le paramètre d'ombre, et I est le centre de rayonnement. Soit en une génératrice, tangente au cercle de base du noyau :

Pour avoir un point n de la séparatrice on joint I au pôle de la génératrice, lequel est situé à l'infini sur une perpendiculaire à cette droite; cela revient donc à abaisser du Fis- 430 centre de rayonnement une perpendiculaire I g sur la

génératrice et à prendre en n (rappelé en »') l'intersection avec cette génératrice.

Nota. — En cherchant directement en ni # l'ombre portée par la génératrice sur le sol, le point g devra tomber sur la trace c v du paraboloïde droit de raccordement dont nous avons parlé plus haut, puisque In g est la ligne de plus grande pente du plan tangent en N.

(b) Génération géométrique de la courbe d'ombre (fig. 430). — La construction revient donc à abaisser d'un point fixe, I, des perpendiculaires sur les diverses tangentes à un cercle fixe, O, et à prendre le pied, n, de ces lignes. Or, construisons sur OI, comme diamètre, une circonférence. Elle est le lieu des points tels que a; et de plus on a : 7i a = oc — r .

Par conséquent le lieu des points n est la conchoïde du cercle 01, connue sous le nom de limaçon de Pascal.

On voit (fig. 430) la moitié de cette courbe tracée en p I n a. Elle peut affecter différentes formes suivant la position du point I, c'est-à-dire suivant que l'on aura 8 plus petit ou plus grand que y. Si l'on avait S = y, on sait que q — h Cotg. 8 et que r = h Cotg. y, on aurait donc m = r et le centre de rayonnement tomberait en p, sur le cercle de base du noyau (fig. 431).

F. SURFACE de vis a filet carré

§ 341. — Généralités.

(a) Définition. — C'est la surface engendrée par une droite rencontrant un axe auquel elle est perpendiculaire et entraînée dans un mouvement hélicoïdal autour de cet axe. (Voir le croquis perspectif, fig. 416.)

C'est un cas particulier de l'hélicoïde à plan directeur. Le cylindre noyau est réduit à son axe. On peut la déduire encore de la surface de vis à filet triangulaire en supposant que l'angle p des génératrices et du plan horizontal est nul.

(6) Paramètres. — Le paramètre de tangence p = h Cotg. p devient infini.

Le paramètre d'ombre q — h Cotg. 8 reste le même que pour les autres surfaces hélicoïdes.

(c) Plan tangent. — Le plan tangent se construira en appliquant la même méthode que pour la surface précédente. | 349. Ombre de la surface (fig. 432).

Déduisons sa construction de celle donnée pour l'hélicoïde à plan directeur.

Le cercle, projection de l'hélice de striction, se réduit à un point qui est le pied de l'axe. La courbe, en projection horizontale, est donc le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre de rayonnement I, sur les droites passant par le point z.

C'est donc le cercle décrit sur ZI comme diamètre.

La courbe, dans l'espace, est l'intersection du cylindre, qui aurait ce cercle pour base, et de la surface de vis. Je dis que c'est une hélice.

En effet, considérons sur l'hélice directrice, des points abc projetés à

des intervalles égaux sur la circonférence de base. Les points correspondants

de la courbe d'ombre seront projetés en Q\ biCi , qui sont aussi à des intervalles

égaux sur la seconde circonférence.

De plus, les hauteurs successives dont se sont élevés les points ai bi ci

sont égales, et, par suite, la courbe dans l'espace est une hélice.

Son pas est moitié de celui de l'hélice direclriee, car les points ai bi Ci font deux tours quand les points abc n'en font qu'un.

Contour apparent vertical. — On l'obtiendrait comme cas particulier du problème précédent ; on supposera que les rayons lumineux, qui deviennent ici des rayons visuels, sont perpendiculaires au plan vertical.

Le paramètre d'ombre m — h cotg. 8, puisque 3 = o devient infini. Lé centre de rayonnement I est rejeté à l'infini sur une parallèle à la ligne de terre, et les pieds des perpendiculaires abaissées sur les projections des génératrices, sont à l'infini sur ces droites.

Le contour apparent vertical est donc tout entier à l'infini, c'est-à-dire qu'il n'existe pas.

Ce résultat se prévoyait facilement, puisque les plans projetant verticalement les génératrices sont parallèles au plan horizontal, qui est le plan direc- A' teur, sont tangents à l'infini, comme plans asymptotiques.

§ 143. — Représentation d'une vis à filets carrés (fig. 433).

Un carré ABAB, qui se déplace hélicoïdalement, de telle sorte que son plan passe toujours par l'axe du mouvement hélicoïdal, engendre une vis à filets carrés. La vis est à filet simple lorsque le pas est égal à la hauteur A A du carré.

1° On trace les carrés saillants N de gauche, au niveau des carrés rentrants A' M' de droite (fig. 433) ;

2° On dessine ensuite toutes les sinusoïdes des sommets saillants A A ' — AA' et celles des sommets rentrants BB' — BB' etc.

Remarque. — Les croisements apparents de toutes ces hélices se font sur l'axe.