A. SERPENTIN

Quarantième Leçon. § 344. — Généralités.

(a) Définition. — Le serpentin est la surface enveloppe d'une sphère de rayon constant, qui se déplace hélicoïdalement. Si l'on considère deux sphères inûniment voisines, elles se coupent suivant un grand cercle, dont le plan est perpendiculaire à la tangente à l'hélice, trajectoire du centre, et qui constitue ce que nous avons nommé la caractéristique de la surface (§§ 151) et 160). Le serpentin est une surface canal (§ 100 — d).

(b) Hélice trajectoire du centre. — On se donne (fig. 434) sur le plan (fig. B) le cercle ABGD , projection de l'hélice

trajectoire du centre de la sphère. On fera bien de prendre huit points par spire pour déterminer cette hélice (sur l'épure, cette hélice est dextrorsum). On divise aussi le pas H en huit parties égales et l'on en déduit en A'B'C... sur l'élévation les projections verticales des huit points. On peut tracer, dès lors, la sinusoïde, projection verticale de l'hélice. Sur l'épure, cette trajectoire du centre est figurée en trait mixte —

(c) Contour apparent vertical. — En élévation, des différents points de la sinusoïde précédente, comme centres, on trace des cercles, qui sont les contours apparents de la sphère mobile. D'après un théorème connu, le contour apparent du serpentin sera l'enveloppe des contours apparents de la sphère mobile.

On obtiendra, de cette façon, une courbe qui sera une développante de la développée de la sinusoïde. Dans les environs des sommets A', E' , A", E", de la sinusoïde, on devra prendre les centres des cercles assez rapprochés. En traçant

alors, avec soin, les arcs de cercle du côté de la partie concave, ces arcs très serrés les uns contre les autres feront apparaître facilement les rebroussements o'o' de leur enveloppe. Ces points (voir au Supplément : Complément de la

théorie des ombres) servent de passage entre les branches réelles et les branches virtuelles de la ligne de contact des rayons visuels, c'est-à-dire du contour apparent vertical. On voit en plus grand (fig. D) le détail de ces points de passage. De t en 8 (fig. D), le contour apparent est réel et vu ; de o ' en o" entre les deux rebroussements, il est virtuel ; de S" en t, il redevient réel, mais il est caché ; enfin, de t en S, il est réel et vu.

(d) Caractéristiques. — On construit facilement la caractéristique sur la sphère quand elle occupe la position G G', ou

G G", ou C C Au point G G" la tangente à l'hélice est la droite de front G" 6'. Pour obtenir cette tangente nous avons

(fig. A, en haut delà feuille) construit la sous-tangente e' 8' en remarquant que le point 6/ est pris au niveau du point E" qui est de un quart de tour en retard sur le point G". Nous avons donc porté de e'6', une longueur égale au quart de

cercle GFE développé. Ce qui se fait soitpar le calcul (s' 6' = soit au compas, en rectifiant une série de très petites cordes

inscrites. Dès lors, ayant la tangente G" 6 ' à l'hélice, en lui menant a/ G" p' perpendiculaire, on obtient ce que nous nommerons la caractéristique principale, projetée en élévation suivant la droite a' p\ De cette élévation on déduit en a G p, sur la sphère principale G, l'ellipse projection horizontale de la caractéristique.

Cette caractéristique, en se déplaçant hélicoïdalement, engendrerait, elle aussi, le serpentin.

11 sera facile de découper cette ellipse sur un patron et de la redessiner égale à elle-même, mais avec des orientations différentes sur toutes les sphères génératrices en projection horizontale. On en déduirait facilement les élévations, en cherchant pour chaque ellipse deux diamètres conjugués, projections verticales des diamètres qui donnent les axes des projections horizontales.

§ 345. — Ombre propre de la surface. (Le rayon est à 43°. )

(a) Point sur une caractéristique. — 1° En plan. — Dessinons en 0 ce que nous nommerons la sphère centrale,

égale à la sphère génératrice. Cherchons, comme à l'ordinaire, l'ellipse d'ombre propre de cette sphère (1). Reproduisons de plus à sa surface et dans leurs diverses orientations les ellipses, projections des caractéristiques des huit sphères génératrices que nous considérons en A, B, C

En réalité, à ces huit caractéristiques des huit sphères ne répondront que quatre ellipses sur la sphère centrale. Ces ellipses seront toutes égales entre elles, et l'on pourrait les tracer avec un patron. Seulement elles auront des orientations différentes.

Cela posé : Soit à trouver le point de la séparatrice situé sur la sphère F.

Déplaçons cette sphère et faisons-la coïncider, en 0 avec la sphère centrale. Sa caractéristique prend la position g f g.., et recoupe en f" et /""la séparatrice de la sphère centrale.

Remettons en place la sphère, et transportons f et f en f et f ; nous aurons ainsi en f et f des points de la séparatrice.

On voit que cela revient à mener par ce point F, une corde fF /"parallèle et égale à la corde f 0 f" qui, sur la sphère centrale, est commune à la séparatrice et à la caractéristique transportée.

2° En élévation. — Le point, une fois connu en projection horizontale, on en déduit la projection verticale par la condition que ce point appartient à une sphère donnée. Nous n'avons pas indiqué cette construction très simple. On remarquera que pour la sphère, dans la position à 45° D, ou H, on obtient les points dd, ou h h, sur le contour apparent horizontal du serpentin. En élévation, ces points sont en d'd' et h'h \ sur l'horizontale qui passe par les points H' et H'.

3° Points de passage <p et <\>. — On nomme ainsi ceux pour lesquels l'ombre propre est tangente au rayon lumineux dans l'espace. Ces points se trouveront naturellement en cherchant entre la sphère A et la sphère G, c'est-à-dire aux environs de la sphère à 45°, H, des points très rapprochés les uns des autres sur la séparatrice. Ces points <p et se reconnaîtront à ce que la séparatrice y a pour tangente un rayon lumineux. D'ailleurs, leur position sera vérifiée plus loin, en se servant de l'ombre portée sur le sol (2).

§ 346. — Ombre portée sur le sol.

(a) Ombre de l'hélice trajectoire du centre. — On cherche en Ai Bi Ci Di les traces horizontales des rayons lumineux menés par les points ABC de l'hélice, et l'ombre de cette hélice est une courbe AiBi Ci (tracée en trait mixte) (3).

(b) Ombres des spbères. — On cherche (fig. E) l'ellipse h h VjWi, ombre portée sur le sol par une sphère égale à la sphère génératrice.

Cela fait : On découpe, dans une feuille de carton, un patron ayant très exactement la forme de l'ellipse précédente ; on place le centre de cette ellipse aux points A1B1C1, etc., en dirigeant le grand axe à 45°, et on suit le contour du patron avec la pointe d'un crayon taillé très ûn. Il ne reste plus ensuite qu'à prendre l'enveloppe de toutes ces ellipses pour avoir l'ombre portée totale du serpentin.

verra, comme pour le contour apparent vertical, l'enveloppe présenter deux rebroussements cpi et ^1, lesquels doivent être les ombres portées des points de passage tp et Cela constitue une vérification de ces points et permet, par des rayons lumineux inverses, de les déterminer en ©' et <]/ sur l'élévation.

Nota. — Pour rendre l'épure plus claire, nous n'avons pas mis de hachures sur l'ombre portée horizontale, et, même, nous l'avons traitée comme une vue faite par un spectateur placé à la source de lumière, c'est-à-dire en perspective cavalière, avec parties vues et parties cachées, ce qui permet de mieux reconnaître les portions de la surface qui sont touchées, en premier, par les rayons lumineux.

(d) Ombres autoportées. — On nomme ainsi les ombres portées par la surface sur elle-même.

On reconnaît, en suivant la branche de courbe si Si sur l'ombre portée horizontale, que les rayons lumineux qui ont touché la surface le long de sa séparatrice intérieure, donnent une ombre autoportée <p S — tp'. S'. Le point de départ de cette ombre autoportée est le point de passage »<p' et le point de brisure Si remonté par un rayon inverse en SS ' sur la séparatrice extérieure en donne le point de perte (avec tangente lumineuse). On fera bien de chercher un ou deux points intermédiaires de cette ombre autoportée, par exemple des points situés sur une caractéristique donnée gg ou ff.

On voit, de même, sur l'ombre portée horizontale, qu'à la branche de courbe Q1P1, répond une ombre PQ — P'Q' portée sur la surface, mais, cette fois, par la séparatrice extérieure. Les points de perte sont Pi et Qi remontés en PP' et QQ'.

( 1) Sur l'épure le rayon est à 45°. Ou obtiendra doue (fig. E) cette ellipse d'ombre propre ainsi que l'ellipse d'ombre portée sur le plan horizontal, par le tracé simplifié indiqué aux ombres usuelles. Mais si le rayon lumineux était quelconque, on ferait, à part, l'épure des ombres (propres et portées) de la sphère centrale.

(2) Pour comprendre le rôle des points de passage, voir au Supplément les Compléments sur la théorie des ombres. ^3) Cette ligue Al Bl Cl... est une courbe connue sous le nom de cydoïde.

Fis. «r>

Nota. — On a supposé qu'au premier point Go, et au dernier G", c'est-à-dire après deux spires d'hélice, le serpentin était terminé par la sphère génératrice. C'est pourquoi on voit en haut et en bas la séparatrice du serpentin se continuer (mais sans raccordement tangentiel) par les séparatrices de ces deux sphères terminales.

§ 347. — Point de la séparatrice situé sur une hélice donnée (flg. 435).

Prenons la sphère dans la position principale CG'. Soit a la caractéristique projetée en ligne droite, et n' un de ses

points. On aura la projection horizontale n du point n' , en traçant le petit cercle 1, 1 ' de la sphère auquel il appartient. L'hélice qui passerait par le point niï a pour projection horizontale le cercle n N S.

Cela posé : Sur une sphère auxiliaire J J ', égale à la sphère génératrice, traçons d'une part l'ellipse d'ombre propre /iW//, et d'autre part le petit cercle m Si Ni, reproduction du petit cercle nlm de la sphère principale.

Le petit cercle ?mMS rencontre la séparatrice en M et S ; à ces points répondent des normales J N et J M sur la sphère auxiliaire.

Or, sur la sphère principale I, la normale ni à cette sphère est aussi normale au serpentin, puisque en n le plan tangent est commun aux deux surfaces.

Déplaçons le point n sur son hélice n N S, la normale se déplacera avec lui et fera toujours le même angle avec le plan horizontal. En réalité, elle engendrera un hélicoïde gauche quelconque, qui aurait pour noyau le cylindre dont la base serait le cercle op, tangent à ni prolongé.

Il y aura un moment où cette normale occupera la position p 'N parallèle à la normale J N de la sphère auxiliaire. Alors, au point N qui lui correspond sur l'hélice le plan tangent au serpentin est parallèle au plan tangent en N à la sphère auxiliaire ; il contient donc des rayons lumineux, et N est le point cherché de la séparatrice du serpentin. Il est facile de voir que l'on obtiendra en N' un deuxième point et [deux autres points, S et S', en menant des parallèles à l'autre normale J S de la sphère auxiliaire.

Nota. — On fera bien de chercher l'intersection de la surface par un plan horizontal, et de résoudre ensuite, à l'aide de la courbe obtenue, le problème suivant : Un point de la surface étant donné par une de ses projections, trouver l'autre projection (1).

(1) L'épure du serpenlin-que nous venons de traiter a été donnée comme épure d'admission aux aspirants à l'Ecole des Beaux- Ai ls, en 1863.