A. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

Leçon § 349. — Rappel des définitions.

Par définition (§ 160 — <?), une surface développable est l'enveloppe d'un plan mobile. Ainsi déterminée, elle est la limite d'une surface polyédrique dont tous les éléments plans peuvent, successivement, s'appliquer sur un autre plan fixe. C'est en cela que consiste précisément la propriété d'être développable sur un plan.

Les caractéristiques (intersection de la surface mobile dans deux positions infiniment voisines) sont des droites comme intersection de deux plans. La surface est donc réglée ; et comme l'enveloppe et l'enveloppée sont tangentes tout le long d'une même caractéristique (§ 159), il en résulte ce théorème :

Théorème. — Une surface développable est réglée et elle a le même plan tangent tout le long d'une même génératrice.

Elle n'obéit pas à la formule de Chasles, ainsi que nous l'avons montré dans la discussion du § 294.

Réciproquement : Si une surface réglée a le même plan tangent tout le long d'une génératrice et si cela est vrai pour toutes les génératrices, elle est développable. En effet, il est évident que dans ce cas elle est l'enveloppe d'un plan mobile, qui est son plan tangent.

Fig. 437

§ 350. — Tangentes à une courbe gauche.

TnÉORÈME. — Les tangentes à une courbe gauche forment une surface développable (fig. 437).

Soit M ' A ' N ' cette courbe, et A' a' sa tangente en un point quelconque A A ' : Par des rotations ou par des changements de plans, amenons cette tangente à être verticale.

Nous avons vu (§ 152) que, horizontalement, la courbe présente, en A, un rebroussement et que la tangente A Z est la trace du plan osculateur au point A'.

Cela posé : menons en N n — N' n' une autre tangente qui sera une génératrice de la surface étudiée et cherchons en nn' son intersection avec un plan quelconque, par exemple avec le plan horizontal H.

Le lieu des points tels que n serait la courbe d'intersection de la surface par le plan horizontal. Nous la représentons en SwA, en trait pointillé ; elle passe parle point A, pied de la tangente A' a', et la ligne droite n N est une sécante de cette courbe. Je dis qu'au point Aa' elle est aussi tangente à la droite AZ.

En effet : Lorsque N ' tend vers A', la tangente N'»7 tend vers la tangente A' a' et par conséquent les points N et n tendent tous deux, à la fois, vers le point A. Donc : 1° la droite Nn a pour limite la tangente à la courbe S A au point A ;

Mais : 2° Nn est la trace du plan projetant horizontalement la tangente N'n' à la courbe gauche donnée. C'est donc la trace d'un plan qui contenant la tangente N' n' est parallèle à la tangente infiniment voisine A' a ; sa limite est le plan osculateur et, par conséquent, la droite «N a pour limite la droite A Z.

Il résulte de ce qui précède qu'au point Aa1 le plan tangent à la surface est le plan osculateur de la courbe gauche au point A' ; et comme le point a' était quelconque sur

Fig. 438

la génératrice, puisque le plan horizontal, H, pouvait être pris à la hauteur que l'on voulait, le plan tangent est le même en tous les points. C. Q. F. D.

Remarques. — 1° Ce plan tangent est le plan osculateur de la courbe gauche ;

2° Cette courbe gauche porte dans les surfaces développables le nom d'arête de rebroussement ; le théorème suivant justifiera cette dénomination ;

3° Il résulte de ce qui précède qu'une surface développable peut indifféremment être considérée soit comme Venveloppe d'un plan mobile, soit comme le lieu des tangentes à une çourbe gauche.

§ 351. — Arête de rebroussement d'une développable.

(a) Théorème. — Toute section faite par un plan dans une développable présente un rebroussement au point situé

sur l'arête de rebroussement, et la tangente y est l'intersection du plan sécant et du plan osculateur (fig. 438).

Soit (fig. 438) AMB la courbe gauche; xy son plan osculateur, traversé par la courbe (§ 151) quoique tangent; Aa' une tangente quelconque: elle passe d'un côté à l'autre du plan xy. Donc si A est en arrière àexy, sa trace a', sur le plan sécant, sera en avant de xy. De même pour le point B, situé, lui, en avant de xy ; la trace 6' de la tangente Bb' sera en arrière de x y. Donc : 1° La courbe de section b 'Ma' passe d'un côté à l'autre de xy. 2° xy est sa tangente, car la sécante M b' est la trace d'un plan qui, passant par M, contient la tangente infiniment voisine Bb', et sa limite est le plan osculateur ; donc Mb', de même que Ma', ont pour limite xy. Cependant, il pourrait y avoir inflexion. Je dis que :

3° Il y a rebroussement : en effet, considérons un autre plan tangent ZW ; il n'est pas traversé par la courbe, car le plan osculateur est seul dans ce cas. Donc A et B sont tous deux à sa gauche, et par suite a' et b' sont tous deux à la droite du point M. C. Q. F. D.

(b) Remarques. — 1° L'arête de rebroussement divise la surface développable en deux parties, qui se nomment les nappes de la surface.

2° Son plan osculateur est le plan tangent à la surface tout le long de la génératrice MT.

§ 352. — Développement de la surface.

On a déjà parlé de ce développement pour les cônes et les cylindres.

Dans une développable quelconque, on opère ainsi :

Soit (fig. 438 bis) à développer la zone comprise entre deux courbes acfh etbdgk. On mène Fig. 43Sbis (]es génératrices a b — cd — fg — Itk, assez rapprochées pour admettre qu'elles soient deux à

deux dans un même plan. Ainsi ab et cd sont dans un plan, cd et fg sont dans un autre plan, etc. Alors on joint ab — ac — ad — d\g, etc., ce qui revient à décomposer la surface en une série de triangles dont on cherche les côtés en grandeur et que l'on peut ensuite construire les uns à la suite des autres sur un même plan fixe, dit : plan de développement.

Tous les théorèmes relatifs aux transformées des courbes, théorèmes énoncés déjà pour les cônes et pour les cylindres, sont vrais pour une développable quelconque ; on peut les résumer ainsi :

Les longueurs et les angles se conservent dans le développement. § 353. — Modes de génération d'une développable.

(«) Conditions a remplir. — Etre développable équivaut à une condition. Il suffit donc de deux autres conditions pour déterminer une développable ; pour une surface gauche il en fallait trois.

(b) Deux directrices A et B (fig. 439).— Elles peuvent être planes ou gauches. Soit M un point pris sur l'une d'elles A, et soit à tracer la génératrice qui passe par ce point ; soit enfin M ? la tangente en M à la directrice A.

Le plan tangent en M contiendra la tangente Mm, mais il doit aussi contenir une tangente à la courbe B comme tangent en tous les points. Donc, considérons le cône de sommet M et de base B, menons le plan tangent à ce cône par la droite M m ; ce sera le plan tangent à la surface et la génératrice de contact du cône, M N, sera la génératrice demandée.

— 2lo —

(c) Une directrice courbe et un noyau S (fig. 439 bis).

1° Point M pris quelconque sur la directrice.

2° Cône Map, circonscrit au noyau.

3° Tangente Mm à la directrice.

4° Plan tangent mené par Mm au cône Map.

La génératrice de contact M N est la génératrice demandée.

Fig. 439 Fig. 439 bis Fig. 439 ter

(d) Une directrice A et un cône directeur S (fig. 439 ter).

1° Par un point M de la directrice, mener la tangente Mm à cette courbe.

2° Mener au cône directeur un plan tangent Sm'n', parallèle à Mm. À cet effet, on a mené Sm' parallèle à Mm, et la tangente m 'n' à la base du cône a donné en Sw' la droite de contact. 3° La génératrice est MN, parallèle à S?*'.

[B. surfaces d'égale pente

§ 354. — Généralités.

(a) Définition. — On nomme surface d'égale pente toute surface enveloppe d'un cône de révolution qui se déplace, sans •changer de figure et en gardant toujours son axe vertical,

Nous allons démontrer : 1° que cette surface enveloppe est réglée, et 2° qu'elle est développable.

(b) Génératrices. — Soit mn — m' n1, (fig. 440; la trajectoire du sommet. Considérons le cône mobile lorsque son sommet est en m m' et plaçons ensuite Fie- 440 son sommet en nn' au point voisin.

Cherchons l'intersection des deux cônes m et n. Pour mieux la voir, prenons le plan vertical parallèle à la sécante mn — m' n1.

Les deux cônes étant homothétiques ont deux plans tangents communs dont les traces passent par la trace K de la ligne des sommets. Ils se coupent donc suivant une courbe plane, projetée verticalement, à cause de la symétrie, tout entière, suivant la droite a' 9'. Ici, c'est une hyperbole.

Supposons que les points m et n se rapprochent indéfiniment. La sécante devient tangente. Le point a' où se coupent les deux bases, tend vers le point de contact c, de la tangente k d ; le point 0' de l'élévation tend vers le sommet m' du cône, et, par conséquent, l'hyperbole a 8 a tend vers l'ensemble des deux génératrices de contact me et me, lesquelles constituent la caractéristique de la surface.

Donc : 1° la caractéristique est une droite et la surface est réglée ; 2° elle a c même plan tangent que le cône tout le long de cette droite et, comme le plan

tangent au cône ne varie pas sur la génératrice, il en est de même pour la surface, et celle-ci est développable. C. Q. F. D. (c) Application. — Lorsque l'on construit un remblai soit de chemin de fer, soit de route, les terres apportées sont versées au tombereau et s'éboulent en donnant naissance à une série de cônes de révolution, dont l'enveloppe constitue

Quarante-deuxième Le

Fier. 441

7/2 Elévation

le remblai. Si la route est en alignement droit, ce remblai forme un plan ; mais si elle est en alignement courbe, le remblai affectera la forme d'une surface d'égale pente. Nous allons en donner un exemple.

m § 355. — Surface d'égale pente à directrice elliptique. ,

(a) Données. — On donne une ellipse horizontale dont les axes sont A A et BB. Elle est située à une hauteur z audessus du sol. On demande d'étudier la surface d'égale pente (surface de remblai) qui l'aurait pour directrice, sachant que les plans tangents doivent faire un angle a avec le sol.

(b) Tracé d'une génératrice. — 1° On prend en MM' un point quelconque sur la directrice.

2° On considère le cône ayant M M ' pour sommet et dont le rayon de base, R, sur le plan horizontal, est facile à calculer ou à construire, puisque l'on connaît sa hauteur z et son angle à la base a. R — ~ Gotg. a, et a été construit, à gauche, en a' a'i.

3° On mène la tangente Mt à l'ellipse directrice et l'on construit un plan tangent au cône et contenant la droite M t. Comme cette droite Mt est horizontale, la trace de ce plan tangent est la droite N 6, tangente à la base du cône et parallèle h M t.

4° La génératrice de contact est MN, elle est donc perpendiculaire à NO et à Mt, et par conséquent, en plan, elle est normale à l'ellipse; de plus, elle a pour longueur projetée R = z Gotg. a.

(c) Sections horizontales de la surface. — On peut mener des génératrices soit en dehors de l'ellipse, comme M N, mn, nu m, mi m, et aussi en dedans, comme M P...

Le lieu des points N, Ni m...

donne le pied du talus extérieur,

tandis que le lieu des points P (ce lieu est la courbe 1 23456 ) donnerait le pied du talus intérieur.

Géométriquement, ces deux courbes s'obtiennent en menant toutes les normales à l'ellipse et en portant sur ces normales, soit en dehors, soit en dedans, une longueur constante R = z Cotg. a.

(d) Arête de rebroussement. — Si nous menons toutes les normales, elles ont pour enveloppe la courbe a>tp wcp, à quatre rebroussements aux points w», w et cp, courbe que nous avons appris à connaître sous le nom de développée de l'ellipse. C'est, en réalité, la projection de l'arête de rebroussement, c'est-à-dire de la courbe gauche à laquelle toutes les génératrices sont tangentes dans l'espace.

Le pied du talus extérieur a'\ N Ni est une développante externe de cette développée, tandis que le pied (12 3 4 5) du talus intérieur est une développante interne de cette même développée. Cette dernière présente à son tour quatre rebroussements aux points 1 2 3 et 4 où elle rencontre la développée.

[e) Lignes doubles de la surface. — La surface se recoupe elle-même. En effet, considérons sur l'ellipse directrice le point î»2 symétrique de m\ par rapport au grand axe. Les deux génératrices internes nii K et miK se recoupent en K sur l'axe A A, et à ce point K, en plan, répond sur chacune un même point K' en élévation ; cela résulte de l'égalité des lignes nu K et ni2 K et de l'égalité de leurs pentes.

Le lieu des points tels que K 'K est ce que l'on nomme ne ligne double de la surface. On démontre, par la géométrie analytique; que c'est une ellipse dont les foyers FF' etFF/ sont les extrémités du petit axe.

Si l'on prend les points M et mi symétriques par rapport au petit axe, on voit de môme que les génératrices intérieures qu'ils donnent se recoupent en un point G. Le lieu de ces points G, dans l'espace, constitue une autre ligne double. On démontre, par l'analyse, que c'est une hyperbole. D'un autre côté, l'ellipse directrice est aussi une ligne double ; cela fait donc, en tout, trois lignes doubles.

(f) Branches parasites. — Supposons les lignes doubles connues et servons-nous de deux d'entre elles ; par exemple l'ellipse directrice A A BB et l'ellipse de front F 'S 'F ' que nous venons de trouver. Nous pouvons les prendre comme directrices et nous rentrons dans le cas du § 353 — b (développable à deux directrices).

Si du point A' nous menons une tangente A ' to' à l'ellipse de front, un point tel que 3 pris entre w-' et F' ne peut servir de départ à aucune génératrice. Il est facile de s'en assurer en faisant la construction, par cône auxiliaire, indiquée au § 353 — b.

La branche m' A' ainsi inutilisable se nomme une branche parasite. L'espèce de cratère formé par le talus intérieur (voir les coupes, fig. C et D) se limite, au fond, par une gouttière elliptique to'S' — w'i S'i qui vient, en w' w'i, mourir tangenliellement sur la surface (1).

§ 356. — Problèmes sur les plans tangents.

1° Par un point g g', pris sur une génératrice, mener un plan tangent à la surface. Solution. — C'est le plan tangent au cône auxiliaire qui a servi à tracer cette génératrice. 2° Mener à la surface un plan tangent parallèle à une droite donnée.

Solution. — On mène au cône directeur un plan tangent parallèle à la droite donnée ; la ligne de contact donne la direction de la génératrice de la surface. Il ne reste plus qu'à la mettre en place, ce qui se fait en la construisant tangente à Y arête de rebroussement, c'est-à-dire, ici, normale à l'ellipse directrice. C'est le problème : Mener à une ellipse une normale parallèle à une direction donnée, ce qui revient à tracer une tangente perpendiculaire à cette direction.

Nota. — Ce problème est aussi celui de l'ombre au soleil.