C. HÉL1C0IDE JtÉVELOPPABLE

§ 357. — Généralités.

(a) Définition. — L'hélicoïde développable est la surface enveloppe d'un plan qui se déplace hélicoïdalement ; ou bien encore, c'est le lieu des tangentes à une hélice.

(b) Construction des génératrices (fig. 442). — Soit ABD... A' B'D'... une hélice construite comme à l'ordinaire; r, le rayon du cylindre sur lequel elle est tracée et H le pas total. Soit A A ' le point de départ de l'hélice sur le plan horizontal. Pour construire la génératrice de front B b\ — B' b'i, il suffit de porter la sous-tangente B6t, égale à l'arc de cercle B C A, ractifié.

Pour avoir une autre génératrice, c C\, — c ' c ' i par exemple, on prend la sous-tangente cc\ égale à l'arc de cerclée A... On rappelle ci en c 'i, sur la ligne de terre, c en c ' , sur l'hélice, et la génératrice, laquelle est tangente à l'hélice, est, en élévation, la droite c ' c ' i .

(c) Section horizontale. — Cette section Ai ci bi J»i d\.. .., par la manière même dont elle est obtenue, est une développante du cercle de base du cylindre noyau. .

(d) Contour apparent vertical. — Au point 6,, trace de la génératrice de front B 6i, la tangente à la développante est la droite ftiô'i, perpendiculaire à x y. Donc en ce point le plan tangent est de bout. Or la surface étant développable, le plan tangent est invariable sur une môme génératrice et, par suite, en tous les points de la génératrice de front les plans tangents

sont de bout. Cette génératrice Bbi - B' b\ constitue donc une partie du contour apparent vertical. (1) Pour plus de détail* sur les surfaces développantes, voir le Complément.

cm. u. mssen.

L'autre partie est formée par la sinusoïde projection de l'hélice, car elle est l'enveloppe des projections de toutes les génératrices. Celte hélice est l'arête de rebroussement de la surface (§ 350).

D'ailleurs ce que nous disons ici est général : le contour apparent perspectif, ou l'ombre portée d'une surface développable se composera toujours : 1° d'une droite, qui sera la perspective, ou l'ombre portée, de celle des génératrices dont le plan tangent passe par le point de vue ou par le flambeau, et 2° de la perspective (ou de l'ombre portée) de l'arête de rebroussement.

Nota. — On devra s'exercer à représenter l'hélicoïde par douze ou seize génératrices équidistantes ; on les limitera à un cylindre extérieur de rayon R, lequel recoupera l'hélicoïde suivant une hélice.

Fig. 443

§ 358. — Développement.

L'hélice est, dans l'espace, une courbe gauche superposable à elle-même dans toutes ses parties. Après le développement il en sera de même, et, par conséquent, les transformées de toutes les hélices tracées sur la surface seront des circonférences, car ce sont les seules courbes planes superposables à elles-mêmes dans toutes leurs parties.

L'hélice de rebroussement ne fait pas exception ; sa transformée sera une circonférence, et comme les génératrices lui étaient tangentes avant le développement, elles lui seront encore tangentes après.

Calculons le rayon p du cercle, transformée de l'hélice de rebroussement.

A cet effet cherchons d'abord la longueur d'une spire complète de cette hélice.

Chacun de ses éléments infiniment petits est incliné à l'angle constant a sur le sol ; il s'y projette en raccourci, et si L est la longueur de l'hélice dans l'espace, sa longueur projetée sur le sol sera : L Cos. a. Mais cette longueur projetée est la circonférence de base du cylindre, ou 2 u r. On a donc :

L Cos. a = 2 t. r d'où 2 ■r r

K ' Cos. «.

Soit (fig. 443) en Ai Bi Ci Di cette circonférence de rayon p inconnu. La spire complète A E de l'hélice (de longueur L) ne donne qu'un secteur A, Ei de ce cercle et de même longueur, L, qu'elle.

Si nous désignons par w l'angle au centre compris entre les rayons extrêmes Oi Ai et Oi Ei de ce secteur, on doit avoir :

(2) L = oj p

D'autre part, si l'on avait développé un cône directeur (fig. 443) de la surface, il aurait donné un secteur de cercle de même angle w, et l'on aurait pour le cône directeur (fig. 443, à droite).

w X S~â = 2 ir X «T. d'°ù a I

io = 2 t: X = 2 71. COS. a.

Substituant dans l'équation (1) après y avoir remplacé L par sa valeur w p tirée de (2), il vient :

p X 2 7r Cos. a = ,

1 Cos. a

d'où

Ce rayon p de la transformée est construit géométriquement en B sur la figure 442. On a pris K T = r ; on a mené K P incliné à l'angle a, et on a évidemment :

KT = KP Cos. a, r

d'où