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giner ce qu'il nomme des anamorphoses. Ces anamorphoses consistent à substituer aux variables Z, x et y, des fonctions Z' x' y' de ces variables qui soient telles que la fonction Z= f{X -y) se transforme en une fonction Z= » [x - y'), qui soit linéaire.

Dans le cas actuel de la fonction Z = xy, posons Z' = log. Z, x' = log.x, y' r= log. y, la fonction anamorpbosée devient :

Alors, au lieu de porter sur les axes o X et o Y des longueurs égales entre elles et représentant les nombres 1, 2, 3, 4..., on y porte des longueurs inégales mais proportionnelles au\ logarithmes de ces nombres. On dit alors que les coordonnées sont graduées.

On obtient ainsi l'abaque à transversales représentée dans son ensemble sur la figure 464.

On voit (fig. 465) le diagramme figuratif des relations fondamentales entre les cotes des quatre cours de lignes de l'abaque. Une ligne telle que MR, perpendiculaire sur la bissectrice des axes, a pour équation x' + y' = Z'. Elle répond à la relation primitive :

(1 ) Z = xy de la figure 463.

Une droite telle que M C, parallèle à la bissectrice des axes, a pour équation : y' = x' -+- ('. (En appelant V la distance o c, a laquelle elle recoupe l'axe des y', c'est-à-dire l'ordonnée a l'origine de la droite M C.)

Fig. 465

D'où l'on déduit, log. y = log. x -+- log. t, et log. t = log. y — log. x,

et t = — .

Les transversales, telles que C M, seraient les lignes de niveau d'une autre surface topographique, t', traduisant par anamorphose la fonction :

Eliminant de toutes les manières possibles une des quatre quantités x,y,z et t entre les équations 1 et 2, nous obtenons les relations suivantes, répondant aux opérations arithmétiques consignées au tableau ci-dessous :

Produits

Tableau des opérations possibles :

z = tx'-

Quotients

X il '

Racines carrées ... y = [/ zt , x = y j

Soit M (fig. 465) un point qui est la projection horizontale d'un point distinct de chacune des surfaces topographiques t' et Z'. Il passe une ligne de niveau Z' et une autre ligne de niveau f, qui, sauf exception, n'ont pas la même cote.

11 y a donc une verticale, dont le pied est en M, et qui recoupe les deux surfaces t' et Z' à des hauteurs différentes ; mais entre les quantités x' y' Z' et t' il existe des relations qui entraînent pour les quantités X y Z et t dont elles sont les anamorphoses, une quelconque des équations consignées au tableau. C'est ainsi que l'on aura la relation :

î/2 = z t, ou y -- JTÏ.

Ce qui se traduirait en disant que le produit des deux hauteurs de la verticale du point M, est égal au carré de l'ordonnée de ce point.

Par conséquent, soit à trouver la valeur de l'expression ^2X3 : On prend sur la surface t la ligne de niveau cotée 2 [t = 2), sur la surface Z la ligne de niveau cotée 3 (Z = 3), ce qui donne sur l'abaque

(fig. 464) un point de croisement m, dont l'ordonnée y paraît être 2,45; ou a 2,45 = y/g x 3.

Le calcul exact aurait donné 2.449.

x2 = i v/f =Vt- ra

r sensibler

Si l'on prend la relation a;1 que donne pour l'a? du point m, une longueur sensiblement égale à 1,25 ; ce qui est très approximativement la valeur de

M. Lalanne indique dans le mémoire qui accompague l'abaque à transversales, comment cet ingénieux tableau graphique permet de trouver les puissances fractionnaires d'un nombre quelconque.

L'étendue restreinte de ces leçons ne nous permet pas d'entrer dans plus de détails sur cette intéressante question. Nous renvoyons les lecteurs a la note parue sous le titre de Méthodes graphiques dans le catalogue publié par le Ministère des travaux publics, à l'occasion de l'Exposition universelle de Melbourne, en 1880.

Cette notice constitue un véritable traité de la matière, Les ingénieurs et les architectes auront, dans beaucoup de cas, à en tirer un très grand parti.