GNOMONIQUE

§ 390. — Notions d'astronomie.

La gnomonique a pour objet la construction des cadrans solaires. Avant ■d'aborder son étude, rappelons quelques notions d'astronomie.

La terre tourne autour de sa ligne des pôles avec la régularité la plus parfaite et, ainsi que le fait remarquer M. Delaunay dans ses leçons d'astronomie, elle constituerait la plus admirable horloge qui se puisse imaginer si l'on pouvait rendre ce mouvement manifeste et si l'on pouvait en apprécier à chaque moment les états divers. C'est le but que l'on se propose en construisant des cadrans solaires.

(a) Mouvement diurne. — Placés sur la lerre, nous nous croyons immobiles et, par un effet de mouvement relatif, ce sont les astres, y compris le soleil, qui semblent tourner autour de la ligne des pôles ; c'est ce que l'on nomme le mouvement diurne. La rotation complète des étoiles s'accomplit en un temps nommé jour sidéral.

(b) Le soleil et l'écliptiqce. — La lerre tourne autour du soleil ; mais, par le même effet de mouvement relatif, c'est le soleil qui semble se déplacer sur la sphère céleste, dans le sens inverse du mouvement diurne.

Ce déplacement apparent du soleil met une année (365 jours environ) a s'effectuer complètement, ce qui représente par jour un retard de 4 minutes sidérales (exactement : 3', 56", 5).

Enfin, ce déplacement annuel du soleil sur la sphère céleste (fig. 466) se

Fi g. 466

p|(A/ ord)

P'.tScuij

fait sur un grand cercle D ABC que l'on nomme ïécliptique et dont le plan fait avec le plan de l'équateur un angle de 23°, 28'.

Le soleil est aux équinoxes lorsqu'il est aux points A et C où l'écliptique coupe l'équateur E E'. Nous avons en A l'équinoxe de printemps (21 mars) et en B l'équinoxe d'automne (23 septembre).

Le soleil est aux solstices lorsqu'il est aux milieux B ou D des demi-circonféreuees A B C ou C D A ; on dit alors qu'il est aux solstices.

B est le solstice d'été (22 juin) et D est le solstice d'hiver (22 décembre).

Quelle que soit sa position, m par exemple, sur son écliptique, dans une

journée il fait un tour complet et semble décrire un parallèle m m' de

la sphère céleste.

Si nous considérons le rayon lumineux mo qu'il envoie sur la terre, supposée placée au centre, ce rayon décrira dans le même temps un cône de révolution, que nous nommerons le cône de lumière, qui est important à considérer en gnomonique.

Lorsque le soleil est aux équinoxes, ce cône se réduit au plan même de l'équateur. Lorsqu'il est en B, au solstice d'été, ou en D au solstice d'hiver, son angle au sommet passe par un minimum (en B... il est de 90° — 23°, 28' = 66°, 32') ou par un maximum (en D il est de 90» -+- 23°,28' = 113°,28').

(c) La terre (fig. 467). — Le tracé d'un cadran solaire plan ou l'orientation qu'il faut lui donner, si c'est un cadran cylindrique ou sphérique, dé-

Fig. 407

pend essentiellement du point M ou N de la terre où il est placé. Soit M ou N un de ces points; soit oM ou oN le rayon de la terre qui y passe. Cette ligne o M Z ou o N Z' est la verticale du lieu. Le plan tangent MH à la surface terrestre est le plan d'horizon du lieu. Le grand cercle P M P' ou P N P' qui y passe et qui contient la ligne des pôles PP' est le méridien du lieu. Le plan méridien du lieu est donc le plan Z M Q ou Z' N Q', qui contenant la verticale du lieu contient aussi la parallèle M Q ou N Q' à la ligne des pôles (ou axe du monde).

Lorsque le soleil, dans sa rotation, passe dans le plan méridien, il est midi vrai pour le lieu considéré. C'est à ce moment qu'il paraît le plus haut au-dessus de l'horizon.

La latitude d'un point M est l'angle MOE que fait sa verticale MZ avec le plan de l'équateur. Elle se mesure par l'arc EM ou nN de mériden compris entre l'équateur et le point. Désignons cet angle par X. Elle est dite boréale, du côté du pôle Nord, ou australe, du côté du pôle Sud.

Si l'on prend l'angle HMQ que fait la parallèle M Q à la ligne des pôles avec le plan d'horizon, cet angle se nomme la hauteur du pôle (sous-eutendu au-dessus de l'horizon) pour le lieu considéré ; cet angle est égal à la latitude X comme ayant ses côtés perpendiculaires à l'angle MOE.

Sur une carte géographique, bien faite, on peut trouver la latitude d'un lieu quelconque. La hauteur de l'étoile polaire au-dessus de l'horizon, hauteur mesurée angulairement, la donnerait très sensiblement, pour un point de l'hémisphère nord.

La latitude de l'observatoire de Paris est de 48° 50' 11".

(1) La gnomonique ou construction des cadrans solaires esl une application immédiate de la géométrie descriptive. Elle est particulièrement intéressante pour les architectes auxquels la construction de ces cadrans peut èlre demandée.

§ 391. — Cadrans solaires cylindriques (fig. 46?).

Prenons un cylindre de révolution creux, plaçons une tige de fer, très fine, à la place de son axe Z Z ; inclinons cette tige parallèlement k la ligne des pôles (ou axe du monde).

Cet axe Z Z, dans la gnomonique, prend le nom de style ; il portera ombre dans l'intérieur du cylindre et le mouvement de l'ombre suivra symétriquement celui du soleil.

Prenons le plan M qui, contenant l'axe, contiendra aussi une verticale ; ce plan sera le plan méridien du lieu et la génératrice suivant laquelle il coupera le cylindre sera la ligne horaire de midi (XII — XII).

Dès lors si nous traçons en a b un cercle de section droite du cylindre et si nous le divisons, a partir du point XII, en douze parties égales de chaque

côté, aux points I, II, III, IV et XI, X, IX , les génératrices qui

passent par ces points recevront successivement l'ombre du style aux heures qu'elles indiquent.

On nomme ces génératrices les lignes horaires du cadran.

Au lieu d'un style on emploie souvent un gnomon. C'est une plaque

Fig. 468

mince, de métal, G', percée d'un petit trou, o. que l'on place sur l'axe en G, en ayant soin de la mettre bien en face du soleil a midi.

Elle portera une ombre curviligne, présentant un centre lumineux que l'on nomme le point d'ombre.

("est le point d'ombre qui donne l'heure en passant sur les lignes horaires.

Quand le soleil est k l'équaleur, c'est-à-dire aux deux équinoxes, le point d'ombre décrit ce que nous nommerons la trajectoire d'équinoxe. Elle n'est autre que la section droite G A B du cylindre passant par le gnomon.

Au solstice d'été, le rayon solaire E qui passe par le centre du gnomon décrit un cône au lieu d'un plan qu'il décrivait aux équinoxes. Le point d'ombre décrit encore une section droite CD, mais elle est au-dessous de la précédente et en est distante d'une longueur, a, comptée sur la génératrice et égale k R tg. 22°,28', (22°, 28' étant l'inclinaison de l'écliptique sur l'équateurh

Cela fait environ : a = 0,434 R.

Au solstice d'hiver, le soleil étant au-dessous de l'équaleur, eu H, le point d'ombre décrira une autre section droite EF symétrique de la première, par rapport a l'équaleur. C'est la trajectoire du solstice d'hiver.

De telle sorte que (fig. 469) si l'on voulait creuser une pierre en forme de cylindre, pour y tracer un cadran solaire, et si l'on voulait ne prendre que ce qui est strictement nécessaire, on limiterait le cylindre d'une part aux deux trajectoires CDK (fig. 469) et EF, XII, des solstices, et, d'autre part, k l'ellipse CDEF, section du cylindre par le plan horizontal qui contient le gnomon.

Un pareil cadran cylindrique peut servir en n'importe quel lieu de la terre, k la condilion de bien le placer.

Cette mise en place se fait de la manière suivante :

1° On place le plan médian m" w oj' . . . dans la direstion du méridien MM. Nous indiquerons plus loin, aux cadrans plans horizontaux, comment il est facile, expérimentalement, de déterminer la ligne M N.

2° On incline le solide de telle sorte que les lignes horaires soient parallèles à la ligne des pôles, c'est-à-dire fassent avec l'horizon un angle égal a la lalitude du lieu.

Néanmoins il vaut mieux construire le cadran pour la latitude même du

Fig. 461

lieu. Par exemple s'il est fait pour Paris, dont la latitude est X — 48°, 50', le plan de section droite RSTU doit être incliné sur l'horizon, an complément de cet angle, soit k 41°, 10'.

Les explications qui précèdent suffiront pour permettre de faire tailler dans une pierre, par les procédés ordinaires de la stéréotomie, un cadran solaire cylindrique pour une latitude déterminée.

§ 392. — Cadrans solaires sphériques.

Les anciens, et principalement les Grecs, étaient très habiles dans la construction des cadrans solaires. Ils les établissaient sur des surfaces sphériques, cylindriques, coniques (1) ou planes.

Imaginons que dans une sphère creuse, qui nous représenterait en petit la sphère céleste, nous ayons figuré les deux pôles P et P' ; l'équateur EE' et tracé 24 méridiens équidistanls numérotés XII, I, II, III, etc. Ces méridiens seront les lignes horaires de la sphère. (Suivre l'explication sans figure).

Supposons maintenant qu'un soleil fictif. S, circule sur cette sphère en décrivant, en 24 heures, un parallèle S m ; nous aurons en petit la reproduction de ce qui se passe en grand avec le soleil.

Si maintenant nous plaçons très exactement au centre O, de la sphère, un gnomon, il donnera une ombre sur la partie de la sphère creuse symétrique de celle où se trouve le soleil. Le centre de l'ombre sera occupé par le petit rond lumineux, que nous avons nommé le point d'ombre. II est évident que ce point d'ombre sera tou jours symélrique du soleil fictif S, et qu'il passera sur les cercles horaires en même temps que lui ; en un mot, il donnera l'heure.

Les trajectoires des solstices seront deux parallèles situés k 22°, 28' de part et d'autre de l'équaleur.

§ 393. — Cadran horizontal avec style.

(a) Tracé de la méridienne. — La construction de tout cadran solaiic

Fig. 470

comporte une parlie expérimentale pour la mise en place, et une partie théorique pour le tracé des lignes horaires et des trajectoires.

(1) On peut voir au musée du Louvre un cadran solaire conique en marbre, restitué par le colonel Laussedat, d'après un trament, antique découvert à Héraclée du Latmos, près de Milet f Asie-Mineure), par M. O. Rayet.

La plaque AB, en pierre, en ardoise ou en métal, sur laquelle le cadran doit être tracé, étant scellée bien horizontalement et orientée, nord-sud, aussi exactement que possible avec une boussole, ou procède, expérimentalement, au tracé delà méridienne NpG (fig. 470).

A cet effet : 1° une tige M G, percée d'un trou a sa partie supérieure M, est scellée provisoirement en G sur le côté sud de la plaque ; c'est ce que l'on nomme le faux style ; 2° à l'aide d'un fil à plomb, on prend en p la projection du trou ; 3° du point p, comme centre, on trace deux ou trois cercles abc — a'b'c' ; 4° on marque en aa', avant midi, les passages du point d'ombre sur les cercles, et, en ce', les passages après midi. En abaissant ensuite, du point p, les perpendiculaires sur les cordes des arcs a'c' — ac, on aura la trace f)N du méridien du lieu, c'est-à-dire la ligne horaire de midi.

(b) Tracé des lignes horaires — Cela fait, on choisit en C (fig. 471 — A), sur la méridienne, ce que l'on nomme le centre du cadran, et on découpe dans une plaque de métal (fig. 471 — B) un angle Z'C'Q', égal a la latitude k

Fig. 471

du lieu. Cette plaque sera scellée dans le cadran, et, une fois mise en place, son arête Z'c' sera parallèle a la ligne des pôles ; ce sera donc le style du cadran.

Ce scellement ne se fait qu'une fois le tracé achevé. L'épure préalable s'exécute comme suit :

1° Ou rabat le style en Co' sous l'angle 1. Pour suivre plus facilement, on peut imaginer que M C représente une ligne de terre et que Co' est une projection verticale.

2° On prend un plan A MO', perpendiculaire au style ; on rabat eu O'I le point où il perce le style et on imagine, tracé dans ce plan, un cadran solaire,

que l'on nomme un cadran e'quatorial (lï. Ses lignes horaires font entre elles des angles égaux, obtenus en divisant en 24 parties égales, aux points XII, 11, 10, 9, 8, etc., la circonférence décrite avec O'i M comme rayon.

En réalité, nous avous 24 plans passant tous par le style ; ce sont les 24 plans horaires, et les lignes Ot XII, 0, 11, Oi 10.. ., définissent les rectilignes des dièdres formés par ces plans entre eux ; ce sont des dièdres de 15 degrés chacun.

Les lignes horaires du cadran seront les intersections de ces plans horaires avec le plan du cadran.

Par exemple, la ligne O'i 10 vient percer en /"la trace A M du plan équatorial ; la ligne horaire u° X est la ligue C f.

La ligne n" 8 irait rencontrer trop loin la ligne A M pour employer la même construction. Alors on cherche son intersection avec le plan de front A B ; à cet effet :

L'intersection de la ligne n» 8 avec ce plan AB est le point mi m\ relevé en m'.

Le plan horaire n° 8, passanl par le style qui est de front, coupe le plan de front AB suivant une parallèle m'n' au style, ce qui donne, en prenant la trace horizontale «' — n, un point de la ligne horaire n° VIII. Celte ligne est donc n C.

Ou opère de même pour avoir toutes les autres.

Nota. — Nous n'avons tracé qu'une moitié du cadran ; l'autre est symétrique par rapport à la méridienne.

§ 394.— Cadran horizontal à gnomon. — Tracé expérimental.

Le faux style MG, de la figure 470, pourrait être fixé définitivement; alors nous aurions une plaque M au lieu d'un style MC.

On peut tracer les lignes horaires, sans même connaître la latitude X du lieu. Cette latitude se déduira d'un tracé combiné avec une expérience que nous allons indiquer :

Soit CM (fig. 472) la méridienne ; p la projection du trou de la plaque

obtenue a l'aide du fil a plomb, et P le rabattement, de ce trou obtenu en portant de p en P la hauteur Mp, longueur du fil à plomb de la figure 470.

On a observé le midi vrai et on a réglé une montre sur ce midi vrai.

Cela posé, on observe, à la montre, le passage du point d'ombre a dix heures du malin et on le marque en a ; on l'observe ensuite a deux heures après midi, et on le marque en c.

Nous prenons dix heures et deux heures parce que l'angle dièdre des plans horaires correspondants est un angle de 60 degrés facile à construire saus rapporteur.

On joint ac; cette droite doit être perpendiculaire sur la méridienne, et y avoir son milieu M.

Cela posé : si, par «f, nous faisions passer uu cadran équatorial, comme celui qui passait en A M sur la figure 471, son centre O' devrait être sur le style (inconnu) PC, et, une fois rabattu en Ol, l'angle sous-tendu a Ole devrait être de 60 degrés.

Par conséquent :

1<> On construit sur a c comme côté un triangle équilatéral et l'on obtient le point Ol .

(1) En un point de l'équateur terreslrp, un cadran solaire serait en effet tracé comme ce cadran équatorial ; c'est ce qui justifie celte dénomination.

GÉOM. DESCR. 30

2» Avec M Ol comme rayon on décrit un arc de cercle et du point P on lui mène une tangente P o' C.

La trace C de cette tangente est le centre du cadran ; l'angle o' C M donne la latiiude X du lieu, et on achève le tracé comme fig. 471.

§ 395. — Cadran vertical déclinant.

(a) Données. -- Les cadrans verticaux sont ceux que l'on construit le plus fréquemment. Dans nos climats, on doit choisir autant que possible une façade exposée au midi. Mais comme il est rare de rencontrer des bâtiments exactement orientés, nous traiterons le cas plus général d'un cadran à tracer sur un mur dont la direction fait un angle avec la ligne Est-Ouest.

Cet angle du mur avec le plan vertical Est-Ouest, est ce que l'on nomme la déclinaison du cadrau. On dit que le cadran ou le mur déclinent à l'Est ou à l'Ouest selon que leur exposition se rapproche de l'une ou de l'autre de ces deux parties de l'horizon (1).

Les données du problème sont ordinairement la latitude du lieu (prise sur une carte géographique) et la déclinaison du mur que l'on pourrait trouve]', a la rigueur, au moyen d'une boussole. Mais nous verrons plus loin que l'on peut se dispenser de la chercher directement.

Nous supposons que le cadran est à gnomon, c'est-à-dire à plaque. Celleci peut être fixée à la distance voulue du mur par un procédé quelconque. Mais il faut imaginer que par le centre de la plaque passe un style fictif, c'est-à-dire une droite parallèle à la ligne des polos.

La trace, C, de ce style sur le mur est ce que l'on nomme le centre du cadran.

(b) Centre du cadran. — Cela posé, soit P (fig. 474) le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la plaque sur le mur (voir au § 398 la manière d'obtenir expérimentalement ce point) et soit T P la distance du trou au mur rabattue en Ti P autour de l'horizontale du point P. Soit encore O le centre de l'image du soleil ou point d'ombre, au moment précis du midi vrai, moment que nous avons appris à déterminer expérimentalement (§ 393). Soit enfin À la latitude du lieu.

La méridienne ou la ligue de midi est verticale, car elle est l'intersection du plan méridien et du plau du mur qui sont tous les deux verticaux.

Or nous venons de déterminer le point O qui lui appartient. Nous pouvons donc la tracer et l'on aura ainsi une droite OM sur laquelle est situé le point de concours C de toutes les lignes horaires. Le point C est le centre du cadran ; c'est aussi la trace au mur du style fictif qui passerait par le centre de la plaque.

Déterminer graphiquement le point C revient à résoudre le problème suivaut déjà traité (1™ partie, § 108).

Par un point P de l'espace (ici le centre du trou) mener une droite (ici le style inconnu) qui fasse un auglc donné (ici ), latitude du lieu) avec le plan horizontal et qui soit contenue dans un plan donué (ici CMTl , vertical).

(c) Solution descriptive (fig. 473). — Considérons un cône qui aurait pour axe la droite MC du plan vertical, dont la base passerait par le point il,

Fig. 473

projection horizontale du trou, et dout l'angle à la base serait À, latitude du lieu. Son sommet sera le point C cherché.

({) Cette rédaction a été. empruntée, en grande partie, au cours d'astronomie professé en 1861 à l'Ecole polytechnique par le colonel Laussedat, actuellement directeur du Conservatoire des arts et métiers.

On voit sur l'épure (fig. 474) la réalisation de cette construction. La droite C P est donc la projection verticale du style ; c'est ce que l'on nomme la sous-stylaire, très importante à considérer en gnomonique.

(d) Lignes horaires. — Cela fait, on procède, pour faire le tracé, exactement comme pour le cadran horizontal.

CT" est le rabattement du style sur le mur.

On a pris T" P égale à Tl P, distance du trou au mur.

X E T" est un plan perpendiculaire au style et dans lequel on va tracer un cadran équatorial.

A. cet effet le centre T" do ce cadran est rabattu en T'" sur le mur par une rotation autour de X E V comme charnière, et on trace du point T'" comme centre un cercle que l'on divise en arcs de lo degrés chacun aux

points 12—1 — 2 — 3 et 11 — 10 — 9 C'est le cadran équatorial

rabattu.

Nota. — Le point de départ, 12, est sur le rayon T'" — XII qui passe par la ligne de midi.

On prend les points X — XI — I, II, III, IV, où les rayons T'" 10 — T"'ll ,

etc , rencontrent la trace XEV du cadran équatorial et, joignant ces points

au centre C du cadran, on a les lignes horaires.

(e) Limites dd cadran. — Ordinairement on ne dispose que. d'un espace limité, dans le sens horizontal aussi bien que dans le sens vertical. On doit donc déterminer la distance du trou au mur par cette considération en s'attachant particulièrement à pouvoir trouver l'heure toute l'année dans le voisinage du méridien.

Les courbes ap et yo que décrit l'image du soleil aux deux solstices servent naturellement de limite à la partie supérieure et à la partie inférieure.

La courbe, a [î, du solslice d'hiver doit être elle-même arrêtée aux deux points a et [î oii elle rencontre l'horizontale du point P, car il est évident qu'au moment oii le point d'ombre serait en a ou en [3, le soleil serait à l'horizon et par conséquent à son coucher ; ce serait le commencement de la nuit.

§ 396. — Trajectoires de l'ombre ou courbes de déclinaison.

(a) Courbe du solstice d'été. — Pour tracer les courbes des solstices et, plus généralement, celles qui correspondent à l'entrée du soleil dans chacun des signes du zodiaque (1) que l'on nomme les courbes de déclinaison, on conçoit à l'une des dates choisies le cône décrit autour de l'axe du monde (ici le style) par le rayon lumineux qui va du centre du soleil au centre de la plaque.

Ce cône est droit et la courbe décrite par le poiut d'ombre sur le plan du mur est l'intersection de la seconde nappe du cône par ce plan.

Toutes ces trajectoires sont donc des coniques et l'on démontre facilement que sous nos latitudes moyennes ce sont des hyperboles.

Si l'on se reporte au chapitre des sectious coniques (§ 218), on se rappellera que les courbes d'intersection d'un cône par un plan ont toujours pour axe de symétrie la projection de l'axe du cône sur le plan sécant. Ici cette projection et par suite l'axe de toutes les trajectoires est la sous-stylaire C P E.

On construira ces courbes par points de la manière suivante : Soit à tracer la courbe y k o du solstice d'été.

Par le point T" (fig. 474), rabattement du centre du trou, menons une droite T" Sa faisant avec l'équateur l'angle de 23°, 28', inclinaison de l'écliptique sur l'équateur. Cette ligne est la généralrice du cône contenue dans le plan projetant du style ; par conséquent le point S2 où elle rencontre la sousstylaire est le sommet de l'hyperbole.

Cherchons le point, k, qui sera sur une ligne horaire quelconque, sur celle de XI heures par exemple, et pour plus de clarté faisons une figure à part (fig. 475).

p est la projection du trou ; C T" le rabattement du style sur le mur, etc. . ., etc. . . Le problème revient à trouver l'intersection d'une droite C n k

(1) L'écliptique est partagé en 12 parties égales qui répondent aux 12 mois de l'année. A chacune de ces parties répond un signe du zodiaque qui est aussi celui de la constellation d'étoiles dans laquelle le soleil paraît se trouver. Voici les noms des signes rangés suivant l'ordre dens lequel le soleil les parcourt en partant de l'équiuoxe du printemps :

Le Bélier, le Taureau, les Gémeaux (printemps).

Le Cancer, le Lion, la Vierge (été).

La Balance, le Scorpion, le Sagitlaire (automne).

Le Capricorne, le Verseau et les Poissons (hiver).

(ici, dans le plau vertical) avec un cône, de sommet T", d'axe T"C et de génératrice méridienne T"S2.

Fig. 475

De plus la droite C K rencontre l'axe du cône, en C.

Considérons le triangle de l'espace C p K ainsi que la droite p n qui y est contenue et rabattons-le sur le plan de bout CSaen prenant l'axe C T" du cône comme charnière.

Le côté Cp de l'espace est rabattu en C T" sur l'axe.

La droite intérieure p n appartenant au plau de t'équateur est rabattue en T"E, et comme On la donne en vraie grandeur, en décrivant de C comme centre l'arc de cercle nn', on aura en C n' le rabattement de Cnr

D'autre part P K est, dans l'espace, une génératrice du cône ; elle se rabat donc suivant la géuératrice méridienne T'* S2 , laquelle est rencontrée en K' par la droite C n'. Par conséquent C K' est la vraie grandeur de C K et l'arc de cercle décrit du point C comme centre avec C K' comme rayon, donne par recoupement avec la ligne horaire n° XI le point cherché.

Ou voit cette coustruclion réalisée sur la grande figure 474. Les mêmes points y sont marqués des mêmes lettres que sur la figure 475.

(b) Autres courbes de déclinaison. — La courbe que nous venons de tracer répond au solstice d'été (22 juin) ; à cette époque, l'angle S que le soleil fait avec le plan de l'équateur et qui se nomme la déclinaison du soleil, est de 23°, 28', boréale, c'est-a-dire du côlé du pôle nord. Sur un cadran précis on devra tracer les courbes de déclinaison répondant aux dates indiquées dans le tableau ci-dessous.

Ou opérera de même, seulement on prendra pour les valeurs de S (déclinaison du soleil) les valeurs indiquées dans la colonne déclinaison.

Pour faciliter la construction des angles 8, sans le secours d'un rapporteur, nous avons ajouté les tangentes trigonométriques des angles o. (A, signifie australe, et B, boréale).