A. REPRÉSENTATION D'UN POINT ET D'UNE LIGNE

§ 399. — Avertissement.

Dans le système ordinaire, on projette orthogonalement les figures a représenter sur deux plans distincts, ce qui donne le plan et Y élévation des objets.

Mais on pourrait se contenter du plan donné par une projection orthogonale et, au lieu d'une élévation, donner une projection oblique (une ombre portée par exemple), faite sur le même plan de projection. Cette note a pour but de montrer que ce système de représentation se prête aussi complètement que l'autre à la solution de tous les problèmes.

s 400. — Principes.

(a) Projetantes quelconques. — La position d'un poiut dans l'espace est déterminée au moyen de ses projections dans deux directions quelconques, mais déterminées, sur un même plan.

Soient (fig. 481) ai et al les projections du point A, sur le plan P, obte-

Fig. 481 Fig. 488

nues en menant par le point de l'espace da projetantes parallèles aux directrices^ et D2 ; le couple de points al, ai détermine le point A.

En effet, la droite al ai, qui réunit les projections simultanées de A et que, pour ce motif, je nomme ligne de rappel, est la trace d'un plan parallèle à celui des directrices. Si donc l'on mène par al et a2 des projetantes inverses respectivement parallèles à Di et D2, ces lignes se rencontreront, et leur point d'intersection sera le point A de l'espace projeté en al, a2.

Ainsi, deux points quelconques du plan de projection déterminent un point dans l'espace, pourvu qu'ils soient situés sur une même ligne de rappel, parallèle a la trace dl d2 du plan de deux directrices connues.

L'application, sans restriction, du principe qui vient d'être établi, présenterait dans la pratique quelques difficultés à cause du manque de procédés usuels pour mener dans l'espace des droites de directions déterminées.

(6) Projetantes normales. — Mais aucune hypothèse n'a été faite pour les directrices et V>i, et il est loisible d'adopter pour ces lignes telles directrices particulières qui se prêtent le mieux à des opérations d'une exécution courante.

Or il existe un instrument, d'une remarquable simplicité, qui donne en un point quelconque une droite de direction constante ; c'est le fil à plomb.

(1) Je dois cette noie à l'obligeance de M. Denise, professeur à l'Ecole spéciale d'architecture.

On adoptera donc avantageusement pour l'une des directrices la verticale du lieu D.

Si, d'autre part (fig. 482), le plan de projection a été pris horizontal; la projetante parallèle a I) déterminera sur ce plan (HO) un point a qui sera la projection normale du point A.

Le choix d'un plan de projection horizontal présente, eu outre, cet avantage que la position d'un tel plan dans l'espace est déterminée par un seul point, tandis qu'il en faut deux pour un plan vertical et trois pour un plan oblique .

Cependant, lorsqu'il s'agit de faire le repérage d'une figure tracée sur un plan horizontal, il est nécessaire de connaître les positions do deux points de la figure.

(c) Projetantes a 45 degrés. — La verticale ayant été prise pour l'une des directrices, une direction oblique est la seule qui convienne pour l'autre, puisque les deux directrices doivent rencontrer Ho sans être parallèles.

Or, il est évident (lig. 482) que toute projection oblique ai, ai, ai..., 'à <i5 degrés, d'un point de l'espace sur un plan horizontal, est située a une distance de la projection normale, a, de ce point égale à son ordonnée A a, c'esta-dire a sa hauteur.

Cette propriété détermine le choix a faire de la seconde directrice ; on la prendra inclinée a 45 degrés sur HO, mais quelconque d'ailleurs, telle que Dl, dont la projection normale est di, et la projection correspondante al sera obtenue en traçant sur Ho la ligne aa\, parallèle à dl et égale à la hauteur A a .

Ainsi le pied, a, du fil à plomb, mené par A, donnera la projection normale a, et la longueur du fil servira à déterminer ai comme il vient d'être dit.

Par une opération inverse, on rétablirait le poiut A dans l'espace, connaissant ses projections a et ai.

(d) Points positifs et points négatifs. — On a supposé le point A, situé au-dessus de Ho, c'est-à-dire ayant une hauteur positive. Considérons (fig. 483) un point B. On voit immédiatement que sa ligna de rappel, bbi, est dirigée en sens inverse de la ligne de rappel a ai du point A.

Par conséquent, nous conviendrons d'une direction dite positive pour les lignes de rappel dont les points, tels que A, ont une hauteur positive et d'une direction dite négative pour les autres, tels que B.

Et afin d'augmenter encore la précision dans la notation, nous placerons l'indice —1,-2, — 3. . . (&1 , b2 ..) aux projections obliques des points à hauteurs négatives.

Enfin lorsqu'un point, tel que C (fig. 483), est situé sur Ho, il se confond évidemment avec sa projection normale et ses projeclions obliques ; on notera cO le poiut multiple C, c et cl .

(e) Conclusion. — Un point de l'espace est représenté, sur un plan horizontal déterminé, par sa projection normale et l'une de ses projections obliques à 45 degrés.

§ 40t. — Représentation d'une ligne courbe (fig. 484).

Pour qu'une ligne soit déterminée de figure et de position, il est nécessaire et suffisant que chacun de ses points soit déterminé.

Or, cette condition est évidemment remplie lorsqu'on connaît le lieu géométrique des projections normales des points de la ligne et celui de leurs projections obliques dans un système déterminé.

Donc :

Une ligne de l'espace est représentée, sur un plan horizontal déterminé, par sa projection normale et l'une de ses projections obliques à 45 degrés, ces deux projections étant réunies par une ligne de rappel.

La figure 4S4 donne, en abc -- ai bl ci, l'épure représentative d'une ligne ABC de l'espace.

Le point bl d'intersection de ac et de «ici, divise la ligue AC en deux

Fig. 483 Fig. 484

segnieuts, dont l'un est situé au-dessus et l'autre au-dessous de Ho ; c'est la trace de la ligue .

Toutes les projections obliques que l'on pourrait donner de la droite ABC passeraient par cette trace bl.

Eu résumé, deux lignes quelconques de l'épure représentent une ligue de l'espace, si les points de ces lignes se correspondent deux k deux par des lignes de rappel parallèles.

§ 402. — Propriétés des projections obliques.

Les projections obliques partageât avec les projections normales un grand nombre de propriétés; nous rappellerons ici- les principales :

1° Toute projection oblique d'une ligne droite est une ligue droite ou nu point.

2° Les projections obliques, d'un même système, de deux droites parallèles, sont parallèles ou se confondent.

3° Les projections obliques, d'un même système, de deux droites concourantes, se coupent en un point qui est la projection du point d'intersection des deux droites.

4« Une ligne courbe se projette obliquement suivant une ligne droite, lorsqu'elle est située dans un plan parallèle à la directrice du système.

ô° Les projections obliques de la tangente k une courbe sont respectivement taugeutes aux projections de même système de la courbe.

G0 Toute projection oblique d'une ligue droite ou courbe, parallèle au plan de projection, est une ligne parallèle et égale a celle de l'espace.

7° Une figure plane, horizontale, se projette obliquement en vraie grandeur.

§ 403. — Figure plane verticale, projetée en vraie grandeur.

(a) Théorème. — Une figure verticale se projette en vraie grandeur du us les deux systèmes de projections obliques a 4 y degrés, caractérisés par des lignes de rappel perpendiculaires à la trace du plan de la figure.

11 suffira d'établir celte propriété pour un triangle, puisqu'une figure plane quelconque est décomposable en triangles.

Soit en effet (fig. 48o) le triangle vertical ABC, projeté obliquement en aiblci, dans le système déterminé par la ligne de rappel aai, perpendiculaire a abc.

Les trapèzes aai, clC et a A Ce sont évidemment égaux, et de leur égalité résulte celle des côtés correspondants ai ci et A C ; de même bl cl — BC, etr/lfn = AB. Les triangles albici et ABC ont donc leurs trois cotés égaux et, par suite, sont égaux.

On démontrerait pareillement l'égalité des triangles ai bl ci et ABC.

Nous nommerons projections obliques principales ces deux projections particulières d'une figure plane verticale.

Si nous avons une ligue droite isolée, A C, nous nommerons projection oblique principale de celle droite celle qui répond k des ligues de rappel a al — CCI , perpendiculaires k sa projeetiou normale ac.

(b\ Corollaire. — La projection oblique principale d'une ligne droite reproduit en vraie grandeur sa longueur et son inclinaison sur Ho.

Fig. 485

Cela résulte de l'égalité des triangles a A do et at a d0.

Remarque. — La figure 486 donne, en épure, la solution du problème

Fig. 486

suivant : « Déterminer la longueur et l'inclinaison d'une droite ab, al bl ■ » Sur l'épure ai ï*i était une projection oblique quelconque à 45°. Ou l'a transformée en ai bi en une projection oblique principale. Dès lors al bi donne la grandeur et a donne l'inclinaison de la droite.