B. REPRÉSENTATION D'UN PLAN

§ 404. — Mode de représentation.

(a) Plan déterminé par trois points. — De même que deux points déterminent une droite, de même trois points, non en ligne droite, déterminent un plan ; de sorte que ces trois points, pris convenablement sur l'épure, représentent un plan.

Mais si ce procédé a, en apparence, l'avantage de la simplicité, il présente le grave inconvénient de ne pas exprimer directement les éléments qui caractérisent le mieux la position d'un plan dans l'espace.

[b) Plan déterminé par son profil. — Nous avons montré, k différentes reprises dans les leçons précédentes, que surtout dans les applications k l'art des constructions, un plan n'était jamais mieux déterminé que par sa trace sur un plan horizontal et par l'angle a, qui exprime son inclinaison sur le sol.

Ou bien cet angle a est donné en degrés, minutes et secondes, ou bien il est connu par une de ses lignes trigonométriques ; c'est ordinairement sa tangente ou sa cotangente.

Tangente a est ce que l'on nomme la pente du plan, et colangenle a est ce que l'on nomme le fruit de ce même plan.

Pour mettre graphiquement en évidence cet angle dièdre a, on construit son angle rectiligne, ce qui revient à couper a la fois le plan horizontal et le plan donné par un troisième plan perpendiculaire a leur intersection ; ce plan sera vertical ; il donnera dans le plan donné ce que l'on appelle ordinairement une ligne de plus grande pente.

Fig. 487

L'auteur de cette note propose de substituer à cette dénomination un peu longue le mot profil du plan.

Ainsi donc (fig. 487) un plan quelconque P sera défini : 1° Par sa trace P0 ou par une horizontale, et

2° Par un profil ab0 — 01 ta défini par sa projection normale a b0 et par sa projection oblique principale al b0-

Un plan vertical V sera défini par sa simple trace horizontale V0.

Un plan horizontal sera défini par son ordonnée II'.

Deux plans parallèles ont leur trace et leur profil respectivement parallèles.

S 403. — Droites et plans perpendiculaires.

Il existe pour les projections obliques à 4o°, aussi bien que pour les projections normales, des relations de position entre les lignes qui représentent une droite et un plan perpendiculaires entre eux.

Elles font l'objet du théorème suivant.

(a) Théorème. — Lorsqu'une droite et un plan sont perpendiculaires : 1° La projection normale de la droite coïncide avec celle d'un profil du plan ;

2° Les projections obliques principales de la droite sont respectivement perpendiculaires à celles du même profil (fig. 488, perspective).

Fig. 488

Eu effet, soit P0 la trace du plan, d0C son profil projeté obliquement en

d0cl et soit ACb0 la droite perpendiculaire au plan. Elle a pour projection normale acb0 et pour projection oblique principale al cl b0-

1° Le plan vertical A b0a, perpendiculaire a P0, coupe le plan P suivant le profil Cd0; donc la projection normale coïncide avec celle de la droite A60.

2» Les deux droites A b0 et C d0, qui sont perpendiculaires l'une à l'autre

Fig 489

et situées dans un même plan vertical, out leur projection principale de même système al b0 et cl d0 perpendiculaires puisque (§ 403) leur angle se projette obliquement en vraie grandeur. C. Q. F. D.

(b) Corollaire. — Le point d'intersection de la droite et du plan est situé à la rencontre de la droite et du profil du plan qui a même projection normale.

Voir la solution (fig. 489).