AE CF
1 égalité gg= 5p.
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DEIIXlKIMæ P4BTIE.
(^tte pj’opriété a son analogue dans l’hyperboloïde à une nappe. Supposons que les droites AB, CD, GII (fig. 26) , non parallèles à un même plan , soient les directrices d’un hyperboloïde. Prenons deux génératrices particidières ACG, BDH, et ensuite une génératrice ([uelconque EFI : en désignant par a une quantité constante, laquelle est déterminée poür chaque hyperbo-
loide , on devra avoir -^ = ^Xa.
Pour démontrer cette proposition, on peut se servir du plan mené par la droite AB parallèlement à CD, lequel coupe GH au point Q. Toutes les constructions sont indiquées sur la figure, et je laisse au lecteur le soin d’y appliquer le raisonnement.
Sur les plans tangents aux surfaces gauches.
74. Théorkme. Si deux surfaces gauches ont une génératrice commune , et les mêmes plans tangents en trois points de cette génératrice , elles se raccordent j)arfaitement : cest-à-dire qu'elles ont le même plan tangent en tout autre point de cette génératrice.
Soient, sur la génératrice commune, les trois points Jj, M, N (fig. 27), pour lesquels les plans tangents sont les mêmes. Puisque le plan tangent au point L est commun aux deux surfaces, en menant par ce point un plan tjuelconque, il les coupera suivant des courbes LA. et LA', (|ui auront pour tangente commune l’intei’section LR de ce plan avec le plan tangent (48), et qui par conséquent, dans une portion infiniment petite LL' de cette tangente, doivent être regardées comme coïncidentes. Siunblablement, en menant un plan par le point M, on
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 105 trouvera deux courbes MB, MB', qui auront un élément commun MM'; et, en menant un plan par le point N, deux courbes NC, NC, qui auront aussi un élément commun NN'. En faisant glisser la dx’oite LN, d’abord sur les trois courbes LA, MB, N(', et ensuite sur les trois courbes I^', MB', NC, on i-eproduit les deux surfaces proposées; donc ces deux surfaces sont coïncidentes, dans toute la partie comprise entre les génératrices inllniment voisines T.N et LW; donc en chaque point de LN ces surfaces ont le même plan tangent (47).
Scolie. .Si les deux surfaces gauches sont engendrées par une droite qui demeure parallèle au même plan, il suHit de deux plans tangents communs en deux points d’une même génératrice, pour qu’il y ait raccordement. En effet, supposons ces conditions remplies, et, par chacun des deux points, menons un plan qui coupe les surfaces. On obtient ainsi, sur chaque surface, deux courbes qu’on peut prendre pour les deux directrices de cette surface, et qui ont respectivement un élément commun avec les courbes de l’autre surface ; donc, (|uand la génératrice parcourt ces éléments communs en restant parallèle au plan directeur, on peut la considérer comme étant sur les deux surfaces .à la fois, et par consé- (juent ces surfaces se raccordent.
En général , pour détenniner le mouvement d’une droite qui décrit une surface gauche, trois conditions sont nécessaires. Si, pour deux surfaces gauches qui ont une génératrice commune , les trois conditions sont différentes, il faut trois plans tangents communs en trois points de cette génératrice, pour que les surfaces se touchent dans les autres points de la génératrice com-
i 06 DEUXIÈME PARTIE,
mune. Mais, s’il y a une condition coniiuuue, deux plans tangents communs sufTiseut; et s’il y a deux conditions communes, il n’en faut plus qu’un seul.
73. Théorème. Quand on doit construire un plan tangent en un point donné d' une surface gauche quelconque, on i>eut toujours remplacer cette surjace par une surface gauche à directrices rectilignes , et alors la construction du plan tangent est facile.
Soient donnés une surface gauche quelconque , une génératrice appartenant à cette surface, et un point, sur cette génératrice , par lequel on propose de mener un plan tangent à la surface D’après le théorème précédent, on peut remplacer cette surface par toute autre surface gauche qui se raccordera avec elle suivant la génératrice donnée : c’est-à-dire que les deux surfaces doivent avoir trois plans tangents communs en trois points de cette génératrice. Et toutefois, les trois plans tangents communs ne sont nécessaires que dans le cas où , pour engendrer la nouvelle surface , on ne conserve aucune des trois conditions qui déterminent le mouvement de la génératrice de la première : car, si on ne change que deux conditions, deux plans tangents communs sufTisent; et même il n’en faut plus qu’un seul, si on ne change qu’une seule condition.
Il est évident qu’il existe une inhnité de surfaces gauches à directrices rectilignes (hyperboloïdes et paraholoïdes) qui peuvent remplir les conditions du raccordement. Une fois le choix arrêté, la construction du plan tangent est facile. En effet, on sait qu’il est possible de mener par chaque point d’une pareille surface
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SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 107 deux droites qui y soient situées tout entières (7 1-73) 5 et coinnie ces dioitcs sont à elles-mêmes leurs propres tangentes, elles doivent être dans le plan tangent, qui dès loi-s se trouve déterminé.
Par exemple, supposons que les trois courbes IA, MB, NC (fig. 28) soient les directrices d’une surface gauche, que LM soit une génératrice qui les coupe en L, M, N, et qu’on demande le plan tangent au point G, situé sur cette génératrice. Menez les tangentes LO, MP, NQ aux trois courbes, et prenez ces tangentes pour directrices d’une nouvelle surface gauche. En chacun des points L, M, N, le plan tangent sera le même pour les deux surfaces : car, au point L, par exemple, le plan tangent à chacune d’elles doit contenir la génératrice LM et la tangente LO. Il y a donc raccordement complet suivant TJM , et par conséquent le plan tangent en G est le même pour les deux surfaces.
Pour déterminer ce plan tangent, il suffira donc «le chercher la seconde droite passant en G, qui est contenue sur la seconde surface. Comme on connaît déjà une génératrice LM de cette surface, on en construira deux autres OP et RS : alors, considérant les lignes IJVI, OP, RS comme les directrices de cette surface, ce qui est permis (71 , 73), on déterminera la génératrice GH qui les rencontre toutes les trois; et le plan passant par les droites GL et GH sera le plan tangent demandé.
Il est bien clair maintenant qu’on peut choisir la surface auxiliaire d’une infinité de manières différentes, sans cesser de lui donner des droites pour directrices : car, au lieu des tangentes LO, MP, NQ, on peut prendre
lOS DSrXI^ME PARTIE,
pour directrices trois droites quelconques menrés respectivement, par les points L, M, N, dans les plans qui touchent la surface donnée en ces trois points. Le mieux, en général, est de prendre pour directrices les intersections de ces pians avec trois plans perpendiculaires à la génératrice LM. Alors la surface auxiliaire est un paraboloïde tout à fait déterminé (73, scolie II), et la construction du plan tangent se simplifie. Pour ne pas changer la figure , supposons que IX), MP, NQ soient les trois diiTjctrices perpendiculaires à LM. On cherchera une droite OP qui les coupe toutes trois; et, par le point G, perpendiculairement à LM, on mènera un plan, qui rencontrera OP en H. D’après une propriété connue (73, scolie I), on est assuré que la droite GH est sur le paraboloïde; et par conséquent le plan LGH est le plan tangent demandé.
Problèmes sur les plans tangents aux surfaces développables.
76. Problème I. Connaissant la trace horizontale (Vun cylindre et la direction des génératrices , trom>er le plan tangent en un jyoint donné sur ce cylindre.
Soit «eç/'(prob. 2' part., fig. I) la trace horizontale du cylindre, c’est-à-<lire, la cotirbe suivant laquelle il rencontre le plan horizontal. Pourfendre les constinctions plus faciles , je supposerai que cette courbe est un cercle; mais l’explication n’en sera pas moins générale.
Puisque la direction des génératrices est donnée , on peut mener à la courbe aecf les tangentes ah , cd , parallèles à la projection horizontale des génératrices; et ces tangentes seront la limite de la projection horizontale du cylindre , car il est évident que toutes les géné-
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 109 ratriccs doivent sc projeter entre ces deux lignes. Me* nons les tangentes eé ff perpendiculaires .à xy^ et les droites fH parallèles à la projection verticale des génératrices : il estclair encore que ces dernières droites seront les limites de la projection verticale du cylindre.
Maintenant supposons qu’on donne l’une des projections d’un point du cylindre , la projection horizontale m, par exemple, et déterminons l’autre projection. A cet effet, on mène par le point m un plan vertical parallèle aux génératrices , lequel ne peut coupelle cylindre que suivant une ou plusieurs génératrices ; et les intersections de ces génératrices avec la verticale élevée par le point m donnent les points de la surface qui sont projetés en m. Les traces de ce plan sont la droite mq menée parallèle à ah par le point m, et la droite qrf perpendiculaire à xy. La première rencontrant la courbe aeef en i et en A-, il s’ensuit que le plan coupe le cylindre suivant deux génératrices, qui ont toutes deux leur projection horizontale dirigée suivant mq^.cX. dont les pi-ojections verticales s’obtiendront en abaissant les perpendicidaires kU ^ sur xy, et en
menant les parallèles i'fl, ^ Alore on mène la
ligne mni perpendiculaire aussi à xy, et les point m' et m", où elle rencontre les lignes i'f/ et sont les projections verticales des points du cylindre, qui repondent à la projection horizontale m.
Cela posé, supposons qu’on demande le plan tangent au point [m,m']. On remarque d’abord que ce plan doit contenir la génératrice dont les traces
sont f et et, ensuite, qu’il doit être tangent au cylindre en chaque point de cette génératrice (S6). Or,
110 DEUXli:ME PARTIE.
le plan tangent à une surface doit contenir les tangentes à toutes les courbes tracées sur cette surface par le point de contact : donc , si on mène la tangente h à la courbe aec, elle sera dans le plan tangent cherché; et comme elle est dans le plan horizontal , elle est la trace horizon^ taie du plan tangent. Prolongez jusqu’à sa rencontre a avec xjr, et tirez *(/ : la droite sera la trace verticale de ce plan.
Remarques. Quelquefois le point est trcs-éloigné et serait peu commode pour déterminer (uj . Dans ce cas, on prend un point de la génératrice le
point par exemple; et on conçoit par ce point
une parallèle à la trace horizontale Ut- Cette parallèle a pour projections mr parallèle à ta., et mV parallèle à .xjr‘, et comme elle est dans le plan tangent, sa trace verticale appartient à la trace verticale de ce plan. Donc le point r' peut servir à déterminer cette dernière trace, ou à la vérifier, si elle est déjà connue. On pourrait encore, pour le même objet, mener une parallèle aux génératrices , par un point quelconque 4e la trace horizontale ta.
Si on menait un second plan tangent au cylindre, il y aurait alors une nouvelle vérification; c’est que son intersection avec le premier devrait être parallèle aux génératrices. Cette propriété résulte de ce que chaque plan tangent contient une génératrice , et que toutes les génératrices sont parallèles entre elles (Intr. 23). Dans l’épure, on a détei-miné le plan tangent au point [w.,m"] : ses traces sont et les projections de son intei'section avec l’autre plan tangent sont les droites tu et lesquelles doivent être parallèles à ab
La manière dont on a déterminé les projections ni, ni', correspondantes à m, doit être remarquée, parce qu’elle peut servir à construire les intersections d’un cylindre par une droite quelconque. Il est clair en effet que si on mène par cette droite un pian parallèle aux génératrices, la trace horizontale de ce plan doit rencontrer celle du cylindre en des points qui appartiennent aux génératrices suivant lesquelles le plan coupe le cylindre. Dès lors il est facile d’avoir les projections de ces génératrices, et par suite celles des points cherchés.
77. Problème II. Mener un plan tangent à un cylindre par un point extérieur.
Un plan tangent à un cylindre doit contenir une génératrice, et, dans le problème précédent, on a vu que sa trace horizontale est tangente à celle du cylindre; donc, si on imagine, par le point donné, une, droite parallèle aux génératrices, elle sera tout entière dans le plan ; et si , après avoir construit les traces horizontale et verticale de cette parallèle, on mène par la première des tangentes à la trace horizontale du cylindre , ces tangentes seront les traces horizontales des différents plans tangents qui passent par le plan donné. On aura ensuite les traces verticales de ces plans, en joignant les points où leurs traces horizontales rencontrent la ligne de terre, avec la trace verticale de la même parallèle.
Les détails de construction sont représentés dans la fjg. IL Les projections du cylindre y sont tracées comme dans la précédente; les projections du point donné sont m et ni, celles de la parallèle à la génératrice sont mt et nié, et les traces de cette parallèle sont t^Xii \
par conséquent les tangentes t<x, menées a la trace horizontale du cylindre, seront les traces horizontales des plans tangents, et les droites aii, ^ en seront les traces verticales.
Remarque. Pour avoir des vérifications, on a mené par le point donne des parallèles aux traces horizontales 1% et : les points r' et J, où ces parallèles percent , le plan vertical, doivent se trouver sur les traces verticales oui et Les génératrices suivant lesquelles les deux plans touchent le cylindre fournissent aussi des vérifications. L’une d’elles, qui a pour projections ip et «''//, rencontre le plan vertical en//; et l’autre qui a pour projections Avjr et les rencontre en Or, il est évident que la trace a.ié doit passer au point //, et la trace au point <f.
78. Problème III. Mener à un cylindre un plan langent parallèle à une droite donnée.
Un plan tangent parallèle à une droite donnée doit contenir une génératrice du cylindre et une parallèle à la droite donnée; donc, si on mène par un point de cette droite une parallèle aux génératrices, le plan tangent sera parallèle au plan déterminé par ces deux droites. En conséquence, on construira les traces de ce dernier plan ; on mènera , parallèlement à sa trace horizontale , des tangentes à la trace horizontale du cylindre; et ces tangentes seront les traces horizontales des plans tangents qui satisfont au problème. Quant aux traces verticales, elles sont faciles à construire, puisqu’on connaît les poinLs où elles coupent la ligne de terre, et une droite à laquelle elles sont parallèles.
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 1l3
Dans la fig. III, le point [o, c/], pris sur la droite donnée , est celui par lequel on a mené une parallèle aux génératrices du cylindre; et les traces du plan passant par ces deux lignes sont ye et yi/. Parallèlement à la trace horizontale ye, on a mené les tangentes ra. et et parallèlement à la trace verticale yi'', on a mené les droites a/^ et ; les plans rcu\ .fP/ sont les plans tangents cherchés.
Comme vérification, on remarquera que les génératrices [ÿ, üp'^ et \kq, doivent rencontrer le plan vertical sur les traces ar* et p/.
79. Problème IV. Connaissant la trace horizontale d’un cône et les projections du sommet, trouver le plan tangent en un point donné sur la surface.
Ija marche à suivre est la même que pour le cylindre. Soient flce/ ( fig. IV) la base ou trace horizontale du cône, et O, </, les projections du sommet. Pour avoir les limites entre lesquelles se projettent toutes les génératrices de la surface, on mène dans le plan horizontal les tangentes oa et ob, puis après avoir mené aussi les tangentes cd, ddJ, perpendiculaires à ay, on tire, dans le plan vertical , les droites dé, dd' .
Commençons par détenniner les points de la surface qui correspondent à une projection donnée, par exemple, à la projection verticale rri. Menons la droite dm' qui coupe .ryen d, et élevons de perpendiculaire à .vy: les droites dd et de sont les traces d’un plan qui est perpendiculaire au plan vertical , qui contient les points cherches, et qui passe au sommet du cône. Ce plan ne peut rencontrer le cône que suivant des génératrices;
114 DEUXiiME PARUS,
et comme sa trace horizontale ée rencontre la base acd aux points e et /, il est évident que les projections horizontales de ces génératrices sont oe et of. Il est facile alors de trouver les projections horizontales m et n des points cherchés.
Supposons qu’on veuille avoir le plan tangent au point [/«, /?/]. On remarquera que ce plan doit contenir la génératrice [oe, dé\, et être tangent au cône dans toute l’étendue de çette ligne (36). Donc, si on mène la tangente ta. aq point e, et si ensuite on joint le point a au point //, ou la génératrice perce le plan vertical , les traces du plan tangent seront toi et «y/.
Remarques. Les observations à faire ici sont les mêmes qu’à l’égard du cylindre. D’abord, si d’un point quelconque de la génératrice [oe, dé\, du sommet, par exemple , on mène une parallèle à la trace ea. , le point d, où elle perce le plan vertical, doit être sur la trace a.jJ. Ensuite, si ou construit le plan tangent au point [«, m'], son intersection avec le premier devra passer au sommet du cône , et par suite les projections tu et de cette intersection devront passer, l’une au point o, et l’autre au point d.
Pour avoir les points d’un cône qui répondent à une projection donnée , ou , ce qui est la même chose, pour trouver les intersections d’un cône avec une di’oite perpendiculaire à l’un des plans de projection , nous avons employé plus haut une construction qu’on peut appliquer à une droite quelconque. C’est-à-dire que par cette di’oite et par le sommet on fait passer un plan qui coupe le cône suivant une ou plusieurs génératrices , et qu’on prend les intersections de ces génératrices avec la droite donnée.
SUBTACES COURBES ET PLAKS TANGENTS. H5
80. Problème V. Mener un plan tangent à un cône par un point extérieur.
Tout plan tangent à un cône passe par le sommet, et a pour trace horizontale une tangente à la base. En conséquence , on joindra le point donné avec le sommet par une droite , puis on mènera , du point où cette droite perce le plan horizontal, des tangentes à la base du cône ; et ces tangentes seront les traces horizontales des plans tangents demandés. Pour avoir leurs traces verticales , il n’y a qu’.à unir la trace verticale de la même droite avec les points où les tangentes à la base rencontrent la ligne de terre.
Sur l’épure (fig. V) les projections du sommet sont o,</; celles du point donné sont m, rrl celles de la droite qui passe par ces deux points sont ont, dni\ les traces de cette droite sont t et li-, et enfin les plans tangents , sont taii, t^il.
Pour vérification, on a cherché les traces verticales, P et ij/, des génératrices de contact , et aussi les traces verticales, / et J, des parallèles, menées par le point donné , aux traces horizontales des deux plans tangents.
81. Problème VI. Mener un plan tangent à un cône, parallèlement à une droite donnée.
Le plan tangent, devant passer par le sommet du cône et être parallèle à une droite donnée , contient la parallèle menée à cette droite par le sommet. Ce peu de mots suffisent pour montrer qu’après avoir tracé les projections ot, dé, de cette parallèle , les constructions à effectuer sont exactement les mêmes que dans le problème précédent. Elles sont représentées sur l’épure VL
OBUXIÈME PARTIE.
ilG
ProLli-mes sur les plans tangents aux surfaces de révolution.
, 82. Etant donnes l’n.re et le mer i-
dien d'une surface de révolution, mener le plan tangent h un point de la surface.
Dans cette question et dans les suivantes, j’adopterai pour les données les dispositions que je vais faire connaître.
Pour plus de simplicité, je prendrai l’axe de révolution parallèle au plan vertical (fîg. VII) : alors sa projection horizontale est un point unique a, et sa projection verticale dd’ est perpendiculaire à xy. Concevons qu’un plan parallèle au plan vertical soit conduit par l’axe , il coupera la surface suivant un méridien qui se projette en vraie grandeur sur le plan vertical : c’est la courbe dUd', que nous supposons connue. La projection horizontale de cette courbe se confond avec la trace horizontale du plan <jui la contient : cette trace est la droite uv, parallèle à xj et passant au point a. Sur la figure , la courbe dÜd' est une ellipse , et le cercle décrit du centre a, avec le rayon ab, est la projection horizontale du parallèle décrit par le petit axe.
Il faut d’abord expliquer, ainsi qu’on l’a fait pour les cylindres et les cônes, comment on détermine les points de la surface, qui ont pour projection un point donné du plan horizontal ou du plan vertical. Soit m cette projection, que nous prenons sur le plan horizontal : il est évident que le plan vertical qui a pour trace la droite tr, menée par les points a et //î , coupe la surface suivant un méridien égal à dUd'\ et que les points de la surface, projetés en appartiennent à ce méridien.
Pour les déterminer facilement, faisons tourner le plan de cette courbe autour de l’axe jusqu’à ce qu’il soit parallèle au plan vertical. Alors la courbe sera projetée sur riüd' ^ la trace tr se confondra avec «c, le point ni, après avoir décrit un arc de cercle autour du centre a , sera placé en n sur u\>, et par suite les intersections «'et n" de la courbe riUd’ avec la ligne de projection nd, seront les projections verticales des points cberclu's, considérés dans leurs nouvelles positions. Mais pendant la rotation , ces points sont restés à la même bauteur au-dessus du plan horizontal ; donc leurs véritables projections doivent être sur les horizontales dni, d'id' •, donc enfin elles sont aux intersections ni et m" de ces horizontales avec la ligne de projection mni*.
Actuellement proposons-nous de trouver le plan tangent au point [/«, «i'J. 11 doit contenir les deux tangentes menées en ce point, l’une au parallèle, l’autre au méridien; et par là il est facile à déterminer. La première tangente est horizontale; elle a pour projections les droites nip' et mp, dont l’une est parallèle à xy, et l’autre perpendiculaire \xam-, et elle l’encontre le plan vertical en pi . De là on conclut que la trace horizontale du plan tangent est parallèle à mp, et que sa trace verticale passe au point y/.
Pour avoir la tangente au méridien du point de contact, on mène d’abord la tangente drj à la courbe Les droites uv, d(f sont les projections de la tangente
Si , au lieu de la projection horizontale m , on eût pris pour donnée la projection verticale m' , la construction eut été eiu'ore plus simple ; car alors on connaît sur-le-champ le parallèle <jui contient les points correspondants de la surface.
DEUXIÈME EARTIE.
au point [«, n'] du méridien an et cette tangente rencontre le plan horizontal au point q. Or, quand on revient du méridien an au méridien am, le point q décrit un arc de cercle autour du centre a et vient se placer en r; donc le point r est le pied de la tangente menée par le point [/n, rri\ au méridien de ce point; donc la trace horizontale du plan tangent passe en r. On a vu plus haut qu’elle doit être parallèle à mp, et que la trace verticale doit passer en //; donc, en menant la parallèle ra. à nip et en tirant a//, le plan tangent sera A*//.
Remarques. Il n’a pas été nécessaire de chercher les projections de la dernière tangente; mais il est facile de les avoir. En efï'et, lorsqu’on revient au méridien am, comme la tangente au point [n, «'] rencontre toujours l’axe de révolution au même point, la projection verticale de cette tangente doit toujours passer au môme point cl de la ligne t/o"; donc, en tirant une droite par les points m' et cl, les lignes cun et drrl seront les projections de la seconde tangente. On peut employer ces projections pour déterminer les traces de cette tangente, lesquelles devront être sur les traces du plan tangent rctjJ et pourront servir à les vérifier.
Que si on demande le plan tangent au point [m, ni'], il y aura à faire des constructions analogues. Après les avoir effectuées , on remarquera que les deux tangentes au méridien am doivent se couper à la même hauteur que les tangentes aux points «'et «"de la courbe riUri' ,
* Par le méridien an , il faut entendre celui qui est situé dans le plan vertical élevé suivant an.
SUBFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 119 et que par suite les plans tangents eux-raêmes se coupent suivant une horuontale située à cette hauteur. Ainsi on aurait encore ces vérifications : que l’intersection des tangentes en n' et ri'^ celle des projections verticales des tangentes au méridien am, et celle des traces verticales des plans tangents, sont- trois points situés sur une même parallèle à xy.
83. Problème VITI. Alerter à une surface de révolution un plan tangent parallèle h un plan donné.
Tout plan tangent à une surface de révolution doit être perpendiculaire au plan du méridien qui passe au point de contact (39), et contenir la tangente menée par ce point à ce même méridien. Or, le plan tangent demandé doit être parallèle à un plan donné; donc, si on conduit par l’axe de révolution un plan perpendiculaire au plan donné , il coupera la surface suivant le méridien sur lequel est situé le point de contact , et en même temps il coupera le plan donné suivant une droite à laquelle doit être parallèle la tangente au méridien. De là résulte la solution du problème proposé. D’abord, par l’axe de révolution et perpendiculairement au plan donné, on conduit un plan qui coupe le plan donné suivant une droite , et la surface suivant un méridien : ensuite , on mène à ce méridien des tangentes parallèles à cette droite ; puis enfin , on mène par ces tangentes des plans perpendiculaires au plan méridien, lesquels seront les plans tangents cherchés.
Les données relatives à la surface étant disposées comme dans le problème VII , supposons que le plan donné soit bvi) (fig. Mil). La perpendiculaire «c.
420 DEITXIÈMK PARTIE,
abaissée sur ha. , est la trace du plan méridien qui contient les points de contact. Ce plan coupe le plan bal) suivant une droite qui passe en c, et dont je vais chercher un second point. A cet effet, par un point quelconque \d, d!^ appartenant à la trace aU, j'imagine une parallèle \de , d'd\ à la trace ba ; et l’intersection e àeac avec de , est la projection horizontale d’un second point de la droite dont il s’agit. Si alors on fait tourner le plan méridien ac autour de l’axe, pour le rendre parallèle au plan vertical , il sera facile d’avoir les positions f g que viennent prendre les points c et e ; et par suite la projection verticale , de la droite dans sa nouvelle position. ’a
Concevons qu’avant la rotation on ait mené , parallèlement à cette droite , des tangentes au méridien situé dans le plan ac. Pour avoir leurs projections verticales après le déplacement du plan ac , il suffit de mener à la coui’be HdU., donnée dans le plan vertical , les tangentes /éi', Ul\ parallèles Quant à leurs projec-
tions horizontales elles sont alors sur uv ; et leurs traces horizontales sont aussi sur uv en i et /. Lorsqu’on remet le méridien et les tangentes dans leur vraie position , ces points se placent sur ac en p et q : or, les plans tangents demandés doivent contenir les tangentes dont les traces horizontales sont petq , et de plus ils doivent être parallèles au plan bad ; donc , si on tire p ^ , y y» parallèles à ba, et ensuite ^f), yçi', parallèles à al), les plans tangents seront p^c/, q'(f/.
Quant aux points de contact , on remarquera qu’après la rotation leurs projections verticales H, U sont connues; et de là il est facile de revenir aux vraies pro-
Dic i-c-by
jections de ces points , lesquelles sont m et //{', n et rJ. Alors on peut avoir des vérifications en menant, par ces points, des horizontales parallèles à b<x, lesquelles doivent percer le plan vertical en des points r' et y, placés sur les traces Pyt/ et ytf.
84. Prorlème IX. Par un point donné hors d'une surface de révolution, mener un plan tangent à cette surface de manière que le contact ait lieu sur un parallèle donné.
Le moyen de solution consiste à remplacer la surface de révolution par une autre surface qui la touche dans tous les points du parallèle donné , et pour laquelle le problème soit facile à résoudre. Pour remplir ces conditions, on peut choisir un cône ou une sphère, ce qui donne lieu à deux solutions.
Première solution (fig. IX). Imaginons qu’une tangente soit menée à un méridien par un point du parallèle donné , et qu’elle tourne en même temps que ce méridien autour de’ l’axe de révolution. Il est évident qu’elle engendre un cône droit qui contient le parallèle donné : or, je dis qu’en chaque point de ce parallèle le plan tangent est le même pour le cône que pour la surface donnée. En effet , pour qu’un plan passant par un point du parallèle soit tangent au cône , il doit contenir la tangente à ce parallèle et une génératrice du cône : or, pour être tangent à la surface donnée, il doit contenir la tangente au même parallèle , et la tangente au méridien , laquelle n’est autre que la génératrice du cône ; donc les deux pians tangents n’en font qu’un seul. Ainsi , il ne s’agit que de mener un plan tan-
422 DKUXiisUI PARTIE.
gent au cône par le point donné, et ce problème est déjà connu ( 80 ).
Mais , dans la solution exposée au numéro cité , on se sert de la droite qui passe par le sommet du cône et par le point donne , et comme il peut arriver que ce sommet soit fort éloigné sur l’axe , il sera bon d’apprendre à s’en passer. C’est ce qu’on fera en remarquant cjue le plan horizontal mené par le point donné rencontre le cône suivant un cercle , et ses plans tangents suivant des tangentes à ce cercle : de sorte qu’en menant par le point donné deux tangentes à ce cercle , et ensuite un pian par chacune dé ces tangentes et par la génératrice correspondante du cône , on aura les deux plans tangents qui satisfont à l’énoncé. Les constructions à effectuer sont maintenant faciles à suivre.
Soient d et d ' les projections du point donné , et bmc , Ud, celles du parallèle donné. Je mène la tangente Ud, qui est la projection verticale de la génératrice du cône auxiliaire, et l’horizontale qui est la trace verticale du plan horizontal passant par le point donné. Je détermine les projections e , e', du point où la génératrice rencontre ce plan; je décris un cercle avec le rayon ae, et je lui mène les tangentes dgeidh, ou plutôt , sur ad, comme diamètre, je trace un cercle, lequel coupe le premier aux points de contact ^ et h, dont on a besoin. Ces points sont en effet les projections horizontales de deux points appartenant aux génératrices de contact des plans tangents avec le cône ; et par suite les projections horizontales de ces génératrices sont les droites aget aJi. Il est visible alors que les intei'sections m et n, de ces droites avec la projection bmc du parallèle donné , sont
SURFACES COURBES ET PUATfS TANGENTS. 123 les projections horizontales des points de contact de la surface donnée avec les plans tangents demandés. Ensuite on trouve facilement les projections verticales m' et tJ de ces points.
Revenons à la détermination des plans tangents. La trace horizontale de la tangente projetée en Ué est p, et, pendant que cette tangente engendre le cône , le point p décrit autour du: centre a un cercle qui coupe agenq^ et ah ea r X d’où je conclus que les points q et r sont les traces horizontales des génératrices suivant lesquelles les plans tangents touchent le cône auxiliaire. D’ailleurs, ces plans tangents doivent contenir les tangentes horizontales projetées en dg et dh. En conséquence, on construira les traces verticales d et U de ces tangentes , on mènera les lignes çix et respectivement parallèles à ces tangentes, puis on tirera les droites at' et pA'; et alors les plans tangents demandés .seront qa.d et r^U *.
85. Seconde solution (fig. IX). Au lieu d’un cône, on peut se servir d’une sphère qui , en chaque point du parallèle donné, ait même plan tangent que la surface. Pour remplir cette condition , on mène par un point de ce parallèle la tangente et la normale au méridien qui passe en ce point; et la portion de la normale comprise
* Les constructions qu’on vient d’expliquer peuvent encore être présentées d’une manière fort simple comme il suit. Menez en un point quelconque du parallèle donné un plan tangent à la surface de révolution ; faites tourner, atitour de l’axe , le méridien auquel ce plan est perpendiculaire , et imaginez qu’il emporte avec lui le plan tangent. Il sera facile de trouver la position de ce dernier plan dans laquelle il passe au point donné , et alors le problème sera résolu. , ,
entre Taxe et la surface , sera le rayon de la sphère auxiliaire. Il est clair, en effet , que si on fait tourner en même temps le cercle et le méridien autour de l’axe , le point qui leur est commun décrit le parallèle donné , et qu’en chaque point de ce parallèle ils ont une tangente commune ; or, le plan tangent à chaque surface doit contenir cette tangente, et aussi la tangente au parallèle : donc il est le même pour les deux surfaces. La question est donc réduite à mener par le point donné un plan qui touche la sphère sur le parallèle donné.
Menons une droite du centre de la sphère au point donné; par cette droite conduisons un plan qui coupe la sphère suivant un grand cercle; du point donné menons des tangentes à ce cercle ; et enfin , concevons que ce cercle et les deux tangentes tournent autour de la droite qui joint le centre au point donné. Il est clair que les points de contact décrivent un cercle dont le plan est perpendiculaire à cette droite, et sur lequel se trouvent les points de contact de tous les plans tangents qu’on peut mener à la sphère par le point donné ; donc les points où ce plan rencontre le parallèle donné sont les points de contact des plans tangents cherchés. Ces points une fois connus , les plans tangents sont faciles à déterminer.
Supposons que le cercle générateur de la sphère auxiliaire soit tracé dans le méridien bc. Pour avoir sa projection verticale , il suffit de mener la normale Ud et de décrire un cercle du centre d avec le rayon dU . Le plan vertical élevé par la droite ad contient le point donné et un grand cercle de la sphère ; et , si de
ce point on mène deux tangentes à ce cercle , le plan conduit par les deux points de contact , perpendiculai-
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SUM'ACES COURBES ET PLANS TANGENTS. ' 12.1 rement au plan des tangentes , est celui qui , par son intersection avec le parallèle donné, détermine les points de contact dont il faut trouver les projections. Pour y parvenir, faisons tourner le plan des tangentes autour de l’axe, afin de l’amener à être parallèle au plan vertical. Alors le cercle dU est la projection verticale du grand cercle; on obtient celles du point donné dans sa nouvelle position, en décrivant l’arc d$ , en menant l’horizontale d^, et en élevant la perpendiculaire à enfin , les projections des tangentes seront les droites d'/! et , tangentes au cercle dd.
Si le point donné avait réellement pour projections les points S et Sf, il est clair que le plan conduit par la corde , perpendiculairement au plan vertical de projection , serait celui dont il faut prendre les intersections avec le parallèle donné. Il est clair aussi que ces intersections seraient projetées verticalement <à la rencontre e de X'y' avec Ud, et horizontalement aux points de rencontre fz et V , de la circonférence ab avec la ligne de projection pt' : de sorte (|ue les points cherchés seraient projetés, l’un en p et e', l’autre en v et f'. Il ne s’agit donc plus que de trouver ce que deviennent ces points quand on ramène le plan des tangentes à sa véritable position. Or, dans ce mouvement rétrograde, la droite qui unit ces points ne cesse pas d’être dans le parallèle donné, et d’être coupée perpendiculairement en son milieu par le plan des tangentes ; donc la projection horizontale de cette droite s’obtient en menant la corde mn perpendiculaire à ad^ et à la même distance du centre que pv. De cette manière, on aies projections horizontales m et n des points de contact de la surface avec
126 DÏUXrtME PARTIE,
les plans cherchés , et on en conclut ensuite les projections verticales /w' et n'.
Puisque les points de contact sont connus , la détermination des plans tangents rentre dans une question déjà résolue(82). Mais comme ces plans doivent être tangents à la sphère , on peut encore les déterminer en menant par le point deux plans respectivement perpendiculaires aux rayons \amydnf\ et \an,o'rf\. Ces constructions sont suffisamment indiquées par la figure.
86. Problkme X. Par un point donné /lors d’une surface de révolution, mener un pUui qui soit tangent a cette surface sur un méridien donné.
Imaginons un cylindre engendré par une droite qui se meut sur le méridien donné, en restant toujours perpendiculaire au plan de ce méridien. En chaque point du méridien , le plan tangent est le même pour les deux surfaces. En effet, le plan tangent à la surface donnée contient la tangente au méridien et la tangente à un pai'allèle ; le plan tangent au cylindre contient une génératrice de ce cylindre , et aussi la tangente au méridien : or la génératrice , étant perpendiculaire au plan du méridien , n’est autre chose que la tangente au parallèle; donc les deux plans tangents n’en font qu’un. Ainsi, il ne s’agit que de conduire par le point donné des plans tangents au cylindre (77). En conséquence, on mènera par ce point une parallèle aux génératrices du cylindre ; du point où elle rencontre le plan du méridien, on mènera des tangentes à ce méridien ; puis on fera passer des plans pai’ cette parallèle et par chacune des tangentes. Ces plans seront les plans tangents cherchés.
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Soient d et d' (fig. X) les projections du point donné, et aq la trace du plan vertical qui fenferme le méridien donné. Les génératrices du cylindre auxiliaire devant être perpendiculaires à ce plan , les projections de la parallèle menée à ces génératrices par le point donné seront les lignes d^et d'^', l’une perpendiculaire à aq, et l’autre parallèle à Le point ^ est la projection horizontale du point où cette parallèle rencontre le plan du méridien , et par lequel on doit mener des tangentes à ce méridien.
Faisons tourner ce plan autour de l’axe de révolution pour le rendre parallèle au plan vertical. Dans ce mouvement , le point g se porte en c ; et comme le point d’où partent les tangentes ne change pas de hauteur, sa projection verticale sera en d, à la rencontre de d'g' avec la ligne de projection ed. Par suite , les projections verticales des tangentes seront les tangentes dU et dd ; et celles des points de contact seront ü et d, d’où l’on conclut les projections horizontales b et c. Il faut maintenant ramener le méridien à sa position primitive ; et comme les points de contact décrivent des arcs horizontaux , il n’y a aucune difficulté à obtenir les projections qui répondent à la véritable situation de ces points.' Celles du premier sont m et tri, et celles du second sont n et tL Quant aux plans tangents, leur détermination est également facile, puisqu’on connaît les points de contact : c’est le problème VII (82).
87. Problème XI. Mener parallèlement a une d/vite donnée , un plan qui soit tangent à une surface de révolution sur un parallèle donné.
BELXIÈMK PABTIK.
Ici , comme dans le problème IX (84) , on remplace la surface de révolution par un cône ou par une sphère, qui ait les mêmes plans tangents que cette surface dans tous les points du parallèle donné.
Première solution (tig. XI). Soit dé la projection verticale du parallèle donné. La tangente rA// sei’a la projection verticale de la génératrice d’un cône droit qui a même axe que la surface , et qui a avec elle les mêmes plans tangents dans toute l’étendue du parallèle dé . Ainsi , la question est réduite à mener des plans tangents k ce cône parallèlement à la droite donnée ; et , suivant ce qui a été dit n° 81 , on y parvient en menant d’abord par le sommet du cône une parallèle à la droite donnée , et ensuite , par la trace horizontale de cette parallèle , des tangentes à la trace horizontale du cône. Mais le sommet du cône pouvant être fort éloigné , on obvie à cet inconvénient en faisant glisser le cône, sans le faire tourner, de façon que son sommet aille se placer en tel point de l’axe qu’on jugera commode. Après ce déplacement , les plans tangents sont encore parallèles à la droite donnée, et les génératrices de contact ont les mêmes projections horizontales : or , il suffit de connaître ces projections pour que le problème soit résolu.
Plaçons le sommet du cône au point \a, d\. Si on mène les droites a/, respectivement parallèles à xjr et .1 d'j), on aura les projections de la génératrice ; et si ensuite on construit la trace horizontale f de cette génératrice , la base du cône sera le cercle décrit du centre a avec le rayon af. Soient bc et Vé les projections de la droite donnée , at et dé celles de la paral-
SÜRFACBS COURBES ET PLANS TANGENTS. 129 lèle menée par le sommet tlu cône , et T la ti-acc hoiâzontalc (le cette parallèle. On mènera les tangentes tg et th, ou plutôt on décrira sur le diamètre at uu cercle qui rencontre la base du cône en g et /;; puis on tirera les droites ag et ah : ces droites seront les projections horizontales des génératrices suivant lesquelles le cône est touché par les plans tangents parallèles .à la droite donnée. D’après ce qui a été expliqué plus haut, ces projections contiennent celles des points de contact qui sont à déterminer sur le parallèle donné. Or , ce parallèle a pour projection horizontale le cercle arl', donc les intersections m et n sont les projections horizontales des points de contact cherchés , et on en conclut sur-le-champ les projections verticales rr^ et n'.
11 n’y a plus qu’à déterminer les plans tangents en ces deux points. En suivant les constructions du problème VII (82), on trouve les plans /jfa/' et Toutefois on pourrait aussi employer, pour trouver les traces de ces plans , les parallèles à ia droite donnée menées par les points de contact : car ces parallèles doivent être respectivement , l’une dans le premier plan , et l’autre dans le second.
Deuxième solution (fig. XI). Avec la normale diP on décrit un cercle , qui sera la projection d’un cercle situé dans le plan vertical m< , et dont la rotation autour de l’axe produira une sphère tangente à la surface donnée , dans toute l’étendue du parallèle d!d. Concevons qu’on ait mené à cette sphère tous les plans tangents qui peuvent être parallèles à la droite donnée, il est clair que le lieu de tous les points de contact sera
un grand cercle perpendiculaire à cette droite , et qüe par conséquent les points communs à ce grand cercle et au parallèle donné seront les points de contact de la surface de révolution avec les plans tangents demandés.
Pour déterminer plus commodément ces points communs , imaginons par un point quelconque de l’axe une parallèle à la droite donnée, et soient at et di les projections de cette parallèle. Faisons-la tourner autour de l’axe pour l’amener à être parallèle au plan vertical , de manière que ses projections deviennent «9 et d^ . Alors le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite donnée vient se projeter suivant le diamètre li.ll? perpendiculaire à a'9', et les points qui lui sont communs avec le parallèle dé sont projetés verticalement en e', et horizontalement en [/. et v. £n remettant a9 dans la position at , la corde pv prendra la position nin , perpendiculaire à et à la même distance du centre a; donc les points cherchés , placés dans leur véritable situation , ont leurs projections horizontales en m et « , d’où résultent ensuite les pj ojectious verticales ni et d.
Dans cette seconde solution , les plans tangents peuvent se déterminer par la condition de passer aux points de contact, et d’être perpendiculaires aux rayons menés de ces points au centre de la sphère.
89. Problème XII. Mener à une surface de révolution un plan tangent qui soit parallèle à une droite donnée, et dont le contact soit sur un méridien donné.
Ici encore, comme dans le problème X, on substitue à la surface de révolution un cylindre perpendiculaire au plan du méridien donné , et ayant pour base ce mé-
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. I3t ridien ; puis on cherche les plans tangents à ce cylindre parallèles à la droite donnée. En conséquence, et d'après ce qui a été vu n“ 78, on mènera par un point de la droite une parallèle aux génératrices du cylindre , c’est-à-dire une perpendiculaire au plan du méridien ; par cette parallèle et par la droite donnée , on conduira un plan, dont on déterminera l’intersection avec le plan du méridien; puis, au méridien, on mènera des tangentes parallèles à cette intersection : les points de contact de ces tangentes sont ceux des plans tangents demandés. Il est clair, en e0et , que les plans élevés suivant ces tangentes, perpendiculairement au plan méridien, satisfont aux conditions de l’énoncé.
La droite donnée a pour projections , Ud (fig. XII), mais il est évident qu’on peut la reinplacer par une droite [a^, qui lui est parallèle et qui passe par un point de l’axe. Soient ? la trace horizontale de cette parallèle, et td une perpendiculaire à la trace horizontale aq du plan méridien donné, dans lequel l’énoncé exige que se trouvent les points de contact. La droite qui , dans l’espace , joint le point d au point [a,of] est celle à laquelle doivent être parallèles les tangentes qu’il faut mener à ce méridien; et pour cela nous ferons encore tourner ce plan autour de l’axe , afin de le rendre parallèle au plan vertical. Alors le point «/vient en e, et par suite la droite dont il s’agit vient se projeter en a'e'; donc , si on mène les tangentes parallèles
à dé , puis les droites f'f , perpendiculaires à xj,
les projections des points de contact seront / et Mais il faut établir ces points dans leur vraie situation ; à cet effet, il faut porter sur les projections horizon-»
132 DKUXlàME PARTIE,
taies f et g au moyen des arcs de cercle frn et gn , puis élever sur xj- les perpendiculaires mni et nd qu’on termine aux horizontales yWet^/î'.
On trouve ainsi les projections m et rnl, n et des points de contact. Ensuite , les plans tangents qo.i' et se détenninent facilement au moyen des tangentes /"'y/ et^/^, comme dans le problème "VU (82).
90. Problème XIll. Déterminer les projections de la courbe formée par les points de contact dune surface de révolution avec les différents plans tangents qu'on peut mener h cette surface par un point extérieur : ou , en d'autres termes , trouver la courlte de contact d’une surface de révolution avec un cône circonscrit dont le sommet est donné.
Considérez une suite de parallèles ou de méridiens, et, au moyen des problèmes IX et X, cherchez les points de contact des plans qui passent par le sommet donné, et qui touchent la surface sur ces parallèles ou sur ces méridiens. Tous les points de contact appartiendront à la courbe demandée ; et comme on peut les multiplier autant qu’on veut, cette courbe doit être regardée comme déterminée.
Dans la fig. XIII , les projections du sommet donné sont d etd', et pour trouver les points de contact \fn,m’\ et [«,«’], situés sur le parallèle b'd, on y a rapporté la construction exposée n® 84. Mais on y a détaillé aussi celle de plusieurs points remarquables dont la connaissance facilite le tracé des projections de la courbe. Nos explications seront accommodées au cas où le méridien est une ellipse , mais il sera facile de les modifier dans 1rs autres cas.
1* Pour avoir les points situés sur V équateur , on remarquera que la tangente menée au méridien par un point de ce cercle est verticale , et qu’elle décrit , en tournant autour de l’axe , non un cône , mais un cylindre. De là il résulte qu’en menant les tangentes dfy dg, à la projection de l’équateur, et ensuite les perpendiculaires ff^, g^, à la ligne de terre , les points dont il s’agit seront ceux dont les projections sonX. f et f , gelg\ 11 est d’ailleurs évident à posteriori que les plans verticaux élevés sur df et sur dg réunissent à la condition de passer par le sommet \d,d'^ , celle d’être tangents à la surface , l’un au point [fxf% et l’autre au point [g,^^ : car chacun d’eux contient une tangente à l’équateur et une tangente au méridien.
2“ Dans le plan vertical menez les tangentes d'/i, d'i', puis les ligues de projection ii/i , i'i : les points [A, //] et [/,/'] appartiendront à la courbe des contacts. En effet , si on veut connaître les points de cette courbe situés sur les parallèles qui passent aux points ci-dessus, et si on emploie la même construction (84) que pour le parallèle dd, il est facile de voir qu’on trouve ces deux points eux-mêmes. Et d’ailleurs on aperçoit surle-champ que les plans perpendiculaires au plan vertical , conduits suivant les droites d'/i et d'i', sont tangents à la surface en ces points , et qu’ils passent au sommet donné \(l, rf'].
3® IjC plan méridien élevé sur da contient le sommet donné et partage la courbe des contacts en deux parties symétriques. Si on veut avoir les points de cette courbe qui sont dans ce plan , il suffit de mener, par le sommet donné , des tangentes au méridien qui y est contenu :
<^434 DEUXliME PARTIE.
car les plans conduits suivant ces tangentes, perpendiculairement au plan de ce méridien , sont évidemment tangents à la surface. Pour mener les tangentes dont il s’agit , on fera tourner ce plan autour de l’axe , afin de le rendre parallèle au plan vertical. Supposons que les projections du sommet donné deviennent alors S, S': on mènera les tangentes S'i', ÿl'; au'moyen des points .et l', on déterminera les points 4 et l, qu’on ramènera, par des arcs de cercle , enpetq sur la ligne da ; puis , on tirera les lignes de projection pjJ et q(^, qu’on terminera aux horizontales et Vf/. On aura ainsi les projections P et jJ, q et <j^, des points de contact cherchés.
Ces derniers points offrent des particularités sur lesquelles je dois insister : c’est que l’un est le point le plus haut de la courbe de contact , et l’autre , le point le plus bas. Pour le démontrer, imaginons qu’on veuille appliquer les constructions faites sur le parallèle Vé, à des parallèles supérieurs au point 4', ou inférieurs au point V . Alors la tangente Vé, menée en l), et qui passe en deçà du point ÿ, serait remplacée par une tangente passant au delà. Par suite le cercle ae , qui par ses intersections r et j‘, avec le cercle décrit sur sert à déterminer les points //i et n , est lui-même remplacé par un cercle qui enveloppe le cercle tid, et qui n’a plus de point commun avec lui. Donc, par le sommet \d,(F\., on ne peut mener aucun plan tangent dont le contact avec la surface soit au-dessus de fJ, ni au-dessous de
Revenons pour un moment aux points déterminés sur le parallèle Ud. L’horizontale passant par ces points a pour projection horizontale la droite mn, et devient tangente à la courbe des contacts lorsque les points m et n
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SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 135 se l’éunissent en un seul. Or, ce cas arrive quand les points rets viennent se confondre avec d, ce qui exige que la tangente üé aille se placer sur ou sur . Ainsi , on revient encore aux points extrêmes p et quand on cherche ceux où la tangente à la courbe de contact est horizontale.
Remarque. Dans chacune des projections de la courbe de contact on a distingué deux parties , dont l'une est pleine et l’autre ponctuée , selon la région de la surface à laquelle elle appartient. Dans la projection horizontale, la partie pleine fpg répond à la portion de la courbe qui est au-dessus de l’équateur, et la partie ponctuée fqg à celle qui est au-dessous. Dans la projection verticale , la partie pleine HpV vient de la région antérieure au méridien èc , et la partie ponctuée H fi' vient de la région postérieure.
91. Problème XIV. Trouver les projections de la courbe formée par les points de contact de tous les plans tangents menés à une surface de révolution parallèlement à une droite ; ou, en d’autres mots , déterminer la courbe de contact de cette surface avec un cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles à une droite donnée.
Prenez une suite de parallèles ou de méridiens; puis , au moyen des constructions connues (87-89), cherchez sur chacun de ces parallèles ou de ces méridiens, les points de contact de la surface de révolution avec des plans tangents parallèles à la droite donnée. I^a ligne qui joint tous ces points est la courbe demandée.
Dans l’épure XIV, les projections de la droite donnée
13(i UEI XIÈME PARTIE,
sont bc et /A*', et on a appliqué au parallèle d'e! les constructions du n® 87. On a déterminé ainsi les projections m et /I , ni et de deux points de la courbe.
Pour obtenir les points placés sur l’équateur , on mène, parallèlement .î hc, des tangentes à la projection horizontale de cet équateur : on trouve ainsi les points / et qui sont les projections horizontales de ces points , et dont on conclut les projections verticales /’ etg^.
En menant des tangentes parallèles à Ud, on trouve les points // et desquels on déduit les points h et /.
1 .es points [/<,//] et [z,i'] sont ceux où la courbe de contact rencontre le méridien parallèle au plan vertical.
Enfin , pour connaître les points de cette courbe , qui sont sur le méridien parallèle à la droite donnée, il suflfit de mener des tangentes à ce méridien parallèles à la droite donnée. A cet effet, on mène par un point de l’axe une parallèle [or^, ;i la droite; et comme cette parallèle est dans le plan du méridien dont il s’agit , on amène ce plan .à être parallèle au plan vertical , on cherché la projection verticale c/ÿ de cette parallèle dans sa nouvelle position , et on mène des tangentes parallèles à r/ô'. Ces tangentes déterminent les points k et P, et par suite A’ et /. Aloi-s, pour obtenir les projections des points cherchés, tels qu’ils sont dans leur vraie situation, on décrit les arcs kj> et l(f , puis on mène les lignes de projection pp' et qcf^ qu’on termine aux horizontales et Vrf.
Les deux points \p, //] et [q, c/~\ qu’on vient de déterminer sont, l’un , le point le plus haut, et l’autre , le point le plus bas de la courbe de contact. En ces points , les tangentes .à cette courbe sont horizontales.
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Dans la figure , on a eu soin encore de distinguer par la ponctuation les parties de la courbe de contact, qui répondent aux diverses régions de la surface,
92. Problème XY. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface de révolution.
Après les deux problèmes précédents , celui-ci ne saurait offrir de difficulté. On prend à volonté un point sur la droite donnée , et on détermine la courbe de contact de la surface avec le cône circonscrit qui a ce point pour sommet (90) : il est clair que les plans tangents à la surface, conduits parla droite, doivent être tangents à ce cône ; par conséquent les points où ils touchent la surface de révolution sont sur la courbe de contact. En prenant un second point sur la droite donnée , on détermine une seconde courbe qui contient encore ces points ; donc ces points sont aux intersections des deux courbes.
On pourra , sur la droite donnée , choisir pour sommets des cônes les points qu’on voudra : les constructions devront s’effectuer comme dans le problème XIII. On pourra aussi remplacer un des deux cônes par un cylindre circonscrit à la surface , et parallèle à la droite donnée : alors la courbe de contact se détermine par le problème XIV.
Dans l’épure XV, les projections de la droite donnée sontéc et dd, le point [c, c'] de cette droite est celui qu’on a choisi pour le sommet du cône circonscrit , et on a trouvé que les projections de la courbe de contact sont dmen , frrifri. La seconde courbe est celle du contact d’un cylindre circonscrit parallèle à la droite : les projections de cette courbe sont hmin, KniVji\ et,
138 DfcUXlèMB PA.BTr8. ^
afin d’éviter la confusion , on a tracé en points ronds
toutes les constructions qui servent à les déterminer.
On a eu aussi l'attention de distinguer par la ponctuation les parties des courbes qui appartiennent aux diverses régions de la surface ; et par ce moyen toute incertitude disparait quand on veut reconnaître, dans les intersections des projections , les points qui répondent aux intersections des courbes sur la surface. Par exemple , le point m doit venir d’une véritable intersection , parce qu’il est la rencontre des projections horizontales de deux portions de courbe situées au-dessous de l’équateur. On trouve ainsi qu’il y a sur la surface deux points d’intersection : l’un a pour projections m et nê\ l’autre , « et ni.
Le plan tangent au point [m, m'jestroy. Sa trace ra est perpendiculaire à la droite am, et passe au point /où la droite donnée perce le plan horizontal ; et ^ pour avoir sa trace verticale ou', ou s’est servi de la parallèle [//w, menée à <tr par le point de contact. Les traces du second plan tangent se déterminent de la même manière , mais la trace verticale sort des limites du cadre.
Scolie. Le moyen de solution dont on vient de faire usage n’est pas le seul qu’on puisse employer. En général , quelle que soit la surface à laquelle on propose de mener un plan tangent par une droite donnée , la question se réduit à trouver, sur cette surface , un point pai' lequel on puisse mener deux tangentes qui rencontrent la droite. De là on conclut que, si l’on considère deux surfaces différentes , dont chacune soit engendrée par une droite assujettie à rencontrer toujours la droite donnée , et à toucher la surface proposée , les points com-
SURFACES COURBES ET PLAITS TANGENTS. 139 muns aux deux courbes suivant lesquelles elles touchent cette surface seront les points de contact qu’il s’agit de trouver.
Il est bien évident , d’ailleurs , que la loi suivant laquelle se meut la génératrice des deux surfaces circonscrites peut varier d’une infinité de manières , sans que cette génératrice cesse de rencontrer la droite donnée et d’être tangente à la surface proposée. Si on la fait passer toujours par un même point de cette droite , elle engendre un cône ; et si ce point est situé à l’infini , c’est un cylindre. On peut encore couper la surface proposée par une suite de plans horizontaux , et mener des tangentes aux sections par les points où ces plans rencontrent la droite donnée , ce qui déterminerait un conoïde. En prenant des plans assujettis à une autre loi, on aurait d’autres surfaces.
Ce qui vient d’être dit s’applique à une surface quelconque (pourvu cependant qu’elle ne soit pas développable). S’il s’agit d’une surface de révolution dont l’axe soit vertical , les sections horizontales sont des cercles , auxquels il sera facile de mener des tangentes par les points ou les plans de ces sections rencontrent là droite donnée ; et on a ainsi une première courbe. Pour en trouver une seconde on pourrait faire des sections parallèles au plan vertical , mais il faudrait construire les •courbes provenant de ces différentes sections , ce qui est peu commode. Il vaudra mieux assujettir les plans coupants à passer par l’axe , parce qu’ils couperont tous la surface suivant des méridiens : on mènera , par le point où chaque plan rencontre la droite donnée , des 'tangentes au méridien qu’il renferme; et la nouvelle
i 40 DEITXI^JIK PARTIE.
courbe de contact étant construite, ses intersections
avec la première donneront la solution du problème.
Plan tangeut i la iphère , par une droite donnée.
93. Problème XVI. Par une droite donnée mener un plan tangent à une spfu're.
Quatre solutions vont être expliquées. Pour plus de simplicité, on supposera que la ligne de terre passe par le centre de la sphère ; de sorte que les intersections de cette sphère par les plans de projection seront deux grands cercles, lesquels, sur l'épure, sont confondus en un seul.
Première solution (fig. XVI-1 ). La question se réduit à trouver les points de contact, et on y parvient au moyen de deux cônes, ainsi qu’il a été expliqué au commencement du n” 92 : mais on choisit , pour sommets de ces cônes, les traces mêmes de la droite. Imaginons, par sa trace horizontale , deux tangentes au grand cercle situé dans le plan horizontal; puis faisons-les tourner autou r de la droite qui unit le centi’e au sommet de ces tangentes. Il est clair qu’elles décrivent un cône droit qui touche la sphère suivant une circonférence dont le plan est vertical , et dont le diamètre est la corde menée entre les deux points de contact. Pareillement , imaginons qu’on ait mené, par la trace verticale de la droite, deux tangentes au grand cercle situé dans le plan vertical , et une droite allant au centre ; la rotation des tangentes autour de cette dernière droite engendre un autre cône ; et ce cône touche encore la sphère suivant une circonférence dont le plan est perpendiculaire au plan vertical , et qui a pour diamètre la corde menée entre les deux points de contact. Os deux circonférences,
SURFACES COURBES ET FLANS TANGENTS. 14t que je nommerai les bases des cônes , devant contenir les points de contact des plans tangents demandés, il faut déterminer leurs intersections. A cet effet, on cherchera d’abord la droite suivant laquelle se coupent les plans de ces circonférences, et ensuite les points où cette droite rencontre l’une d’elles. On comprend que ces constructions exigeront qu’on ait recours à un rabattement.
Soient ab et dU les projections de la droite donnée, rt et A* ses traces : je mène les tangentes qui déterminent les cordes cd et dd'. circonférence décrite sur cd, dans un plan perpendiculaire au plan horizontal , est la base du cône qui a son sommet en «; et la circonférence décrite sur dd\ dans un plan perpendiculaire au plan vertical , est la base du cône qui a son sommet en fJ. II est donc évident que les projections horizontales des points cherchés doivent être sur cd, et les projections verticales sur dd'', de sorte qu’on peut encore considérer les lignes cd et dd' comme les projections de la corde qui unit ces points dans l’espace.
Rabattons la base du second cône sur le plan vertical ; pour cela il suffit de décrire la circonférence dM(F^ sur le diamètre dd'. Pour avoir la position que prend alors la corde dont il s’agit , je construis les points e et /*, où elle perce les plans de projection , et je remarque qu’après le rabattement le point^^ n’a pas changé, et que le point e se place, perpendiculairement à dd', à une distance Æ égale A de’, donc, en tirant une droite par les pointsy'ctE, on aura le rabattement de la corde. Cette droite coupe la circonférence aux points M et N, qui sont les rabat-
tements des points cherchés : or, quand on remet cette circonférence dans sa vraie position, les perpendicu-
142 DSUXIÈMü PABTIE.
laires N«', abaissées sur d(F, deviennent perpendiculaires au plan vertical; donc les points ni et ri sont les projections verticales des points cherchés. On trouve ensuite les projections horizontales /n et n , au moyen des lignes de projection mrri et nri, qu’on termine à la ligne cd. Remarquez, comme vérification, qu’on doit avoir aw=M/«' et Prt=Nn'.
Il ne reste plus qu’à mener les traces des deux plans tangents, ce qui est facile; car chacun d’eux passe par la droite donnée, et est perpendiculaire au rayon mené au point de contact. En conséquence, sur les projections o/n, o/n', du premier rayon , on abaisse les perpendiculaires ap, UjJ et on a les traces du premier plan tangent, lesquelles doivent se croiser sur la ligne de terre au même point. Pareillement sur les projections on, on', du second rayon , on abaisse les perpendiculaires aq, V<f, lesquelles sont les traces du second plan tangent. ,. , 4 ^
94. Deuxième solution (même fig.). Au lieu du cône, acd, on emploie un cylindre. A cet effet, on mène par le centre de la sphère un plan toi perpendiculaire à la droite donnée, puis on regarde le grand cercle d’intersection , de ce plan avec la sphère , comme la hase d’un cylindre parallèle à la droite donnée. Il est clair que les points de contact cherchés doivent être sur ce grand cercle , et que par conséquent l’intersection du plan tot\ avec le plan de la base du cône UdcP sera la corde qui joint ces points de contact. La projection verticale de cette intersection est déjà dd!, et sa projection horizontale cd est facile à trouver (19). Alors on fait le rabattement c'IVL/'N de la base du cône , et les constructions s’achèvent comme précédemment. ,,, 1 , ,
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. f43 Remarque. Puisque le plan tôt' contient la corde qui joint les points cherchés, il s'ensuit que les traces ot et ot' doivent passer aux points e et f', déterminés dans la première solution , comme étant ceux où cette corde rencontre les plans de projection.
95. Troisième solution (fig. XVI-2). Un des cônes suffît à lui seul pour résoudre le problème. Eu elTet, si on cherche le point où la droite rencontre le plan de la base de ce cône, et que parcepointonmène des tangentes à cette base , les plans conduits par la droite donnée et par ces tangentes, étant tangents au cône et à la sphère, seront les plans demandés.
Servons-nous du cône Udd', dont la base est dans un plan élevé suivant perpendiculairement au plan vertical. En prolongeant dU et dd', l’intersection^ sera la projection verticale du point où la droite rencontre le plan du cercle, et on aura la projection horizontale de ce point par l’intersection g de ab avec ^À, perpendiculaire à xjr. On voit donc que la rencontre de la droite avec le plan a lieu, dans l’espace, sur une horizontale passant en et dont la gi andeur à partir de est égale Agi. Par conséquent , en rabattant la base du cône sur le plan vertical , ce point se portera sur une perpendiculaire à dd’, à une distance g^G égale à gl-^ et les tangentes, menées de ce point à la base du cône, se rabattront sur les tangentes GM et GN. Alors , comme précédemment, on abaisse les perpendiculaires M/n', N/z', à dd', et ensuite des perpendiculaires à xy, sur lesquelles on prend am — ’iUni, et P/z = N/i' : les projections des points de contact cherchés seront m, ni, et n, ri.
En menant, par les points a et U, des perpendicu-;
f 44 DEUXliMS PARTIE,
laires aux projections des rayons , on aura les traces des plans tangents. Mais ici il faut observer que si on pro-» longe les tangentes GM et GN jusqu'aux points r et où elles rencontrent dd, ces points ne doivent pas changer quand les tangentes reviennent à leur véritable position, et que par suite ils appartiennent aux traces verticales des plans tangents : c’est-à-dire que la trace Up' doit passer en r, et la trace en s.
96. Quatrième solution (même fig.). Enfin , l’emploi du cylindre parallèle à la droite donnée, ou plutôt , du grand cercle dont le plan est perpendiculaire à cette droite , suffit aussi pour résoudre le problème. Il faut alors déterminer le point où ce plan rencontre la droite , et mener, par ce point, deux tangentes à ce grand cercle : elles feront connaître les points de contact ; et , en conduisant des plans par la droite donnée et par ces tangentes, on aura les plans tangents.
On peut démontrer à posteriori, en s’appuyant sur les propositions de la géométrie élémentaire, que chacun de ces plans est tangent à la sphère. Pour abréger, désignons-les par T et T, et le plan du grand cercle par C. Puisque le plan T contient la droite donnée , il doit être perpendiculaire au plan C; et puisqu’il contient une tangente au grand cercle , il est évident que cette tangente est l’intersection des plans T et C. Or le rayon mené au point de contact est , dans le plan C , perpendiculaire à cette tangente ; donc le rayon est perpendiculaire au plan T ; donc le plan T est tangent à la sphère. Même raisonnement pour le plan T.
Maintenant voici les constructions. On mène par le certtre , perpendiculairement à ah, (W, les lignes ot, ot\
SI RFACES rOlîRBES ET PEAIVS TANGENTS. 1 4iî qui seront les traces du plan perpendiculaire à la droite donnée ; on détermine les projections , h et //, du point d’intersection de la droite avec le plan; on cherche la distance de ce point au point t, au moyen du triangle rectangle Mv, dont th est la base, et la hauteur; puis on fait tourner le plan toi autour de sa trace ot, pour le rabattre sur le plan horizontal. Alors le grand cercle, situé dans le plan toi , vient se confondre avec celui qui est déjà tracé dans le plan horizontal : et , d’un autre côté , le point [4,//] étant sur une verticale élevée en h, et étant perpendiculaire àof, il est clair que la droite dans l’espace , est perpendiculaire à ot {Intv. 19). Il suit de là que, pour avoir le rabattement du point [4, A'], il faut prendre fil = tv sur le prolongement de ht, et que , pour avoir celui des deux tangentes qui vont de ce point au grand cercle , il faut mener les tangentes TllVr, TIN'.
Remettons les choses à leur place , c’est-à-dire, ?‘amenons ces tangentes à la position qu’elles occupaient dans le plan toi avant le rabattement. La tangente IIM' rencontre la trace ot en un point i qui ne varie pas; donc la projection horizontale de cette tangente sera ih. En abaissant ii perpendiculaire à xy, et tirant Hi, on aura sa projection verticale. Ainsi, on connaît déjà les projections d’une droite qui contient l’un des points de contact. Mais le point M', en tournant , reste dans un plan perpendiculaire à ot, et par conséquent sa projection horizontale est sur la perpendiculaire à ot\ donc la projection horizontale du premier point de contact se trouve à la rencontre de M'/?i avec ih, et par suite sa projection verticale est à l’intersection de /'//avec la ligne de projection mni. On obtient de la même manière les
446 DEUXiit.WE PARTIE.
projections hk , h'/^, de la seconde tangente , et ensuite
les projections n, /i', du second point de contact.
corde M'N^ donne lieu à une vérification. Quand elle est remise à sa vraie position, ses projections sont mn et //?'//'. Mais le point e, où elle coupe of, restant fixe, est la trace horizontale de la corde qui joint les points de contact; donc il doit être sur la ligne mn, et sa projection verticale e' doit être sur m'n!.
Du reste , les traces des plans tangents se déterminent comme dans les autres solutions. Mais ici on remarquera que les deux tangentes rencontrant le plan hoi'izontal en i et en k, sur la trace o/, les traces horizontales des plans tangents doivent passer respectivement par ces points. Pareillement, les points où les tangentes rencontrent le plan vertical, doivent être à la fois sur la trace ot' et sur les traces verticales des plans tangents : c’est pour cela que les lignes ot' et Uy vont se croiser au même point.
Plans tiingents à la surface gauche de révolution.
97. Problème XVII. Etant donnés l’axe et la génératrice d’une surface gauche de révolution , mener un plan tangent à un point de cette surface.
Dans ce problème et dans les suivants , ce n’est plus un méridien de la surface qui est donné; et, pour la détermination du plan tangent, c’est de la droite génératrice qu’il faut faire usage. De là résultent quelques modifications dans les constructions exposées précédemment (82-92). Je continuerai de prendre le plan horizontal perpendiculaire à l’axe de révolution , et je supposerai toujours que la génératrice est donnée dans la position oîi elle est parallèle au plan vertical.
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 147 Soient a (fig. XVII) la projection horizontale de l’axe, dd' sa pi*ojection verticale , et 4c, //c', les projections de la génératrice. Tl est évident que hc doit êtie parallèle à la ligne de terre, que la perpendiculaire (d>^ abaissée sur 4c, est la projection de la plus courte distance entre la génératrice et l’axe, et que le cercle hdc, décrit du rayon «4, est la projection horizontale du collier de la surface. Quant à la projection verticale du collier, elle se trouve sur la parallèle à xy^ menée par l’intersection ti de dd^ avec Ud .
Le plan horizontal coupe la surface suivant un cercle qui a son centre au point a : or on trouve un point de ce cercle en déterminant la trace horizontale c de la génératrice; donc on pourra décrire ce cercle, qui est cfg. Toutes les génératrices de la surface ont leurs traces sur ce cercle. '
Soit w la projection horizontale d’un point delà surface. Toutes les génératrices doivent se projeter sur le plan horizontal tangentiellement au cercle 4r/c (G4) ; par conséquent , si on mène les tangentes md et me au cercle hde , elles seront les projections horizontales des génératrices qui , sur la surface , passent aux points projetés en //?.
Pour avoir les projections verticales de ces génératrices , remarquons d’abord que les points d et e sont les projections horizontales des points où ces génératrices rencontrent le collier, et<jue par .suite on trouve les projections d' et d de ces points, en menant dd' et eé perpendiculairement à xy. En second lieu , rcmarquons que les traces horizontales des mêmes génératrices doivent êtrc aux intersections y’et^'-du cercle c/»- avec les deux tangentes. Toutefois , pour ne passe tromper sur la vraie
\ V8 DULXIF.MK PARTIE,
position de ces traces, il faut suivre le mouvement de la génératrice pendant qu’elle engendre la surface; et c’est ainsi qu’on reconnaît que le contact h venant se placer en d et en <? , le point c se transporte en / et en g. Projetons f et g en /’ et ^ sur xy, puis tirons les droites /V' et : elles seront les projections verticales des deux génératrices; et, par conséquent, si on mène du point m une perpendiculaire à xj^ les points ni et ni' , où elle rencontre /W' et seront les projections verticales des points de la surface, correspondants à la projection horizontale ni.
Le plan tangent en chacun de ces deux points est facile à déterminer : car il doit contenir la génératrice et la tangente au parallèle qui passe au point de contact. La droite nip, perpendiculaire à am, est la projection horizontale des tangentes aux deux parallèles ; les droites nij] et ni'^1', parallèles à sont les projections verticales de ces tangentes ; et par suite leurs traces verticales sont y/ et [J' . Mais les traces horizontales des plans tangents doivent passer aux points f et g, et être parallèles à ces tangentes; donc, si on mène les |>arallèles yà et à mp , et si on tii-e les droites «yo' et p//, les plans tangents seront /àyy et^^y/'.
liemarques. Observez <jue les traces verticales tles deux génératrices devront être respectivement sur les traces ayy, Py>", et que la droite projetée en de, d'd, étant commune aux deux plans tangents, sa trace verticale o' est aussi commune aux traces verticales de ces plans.
D’autres vérifications, plus remarquables, résultent de ce que la surface peut être engendrée de deux manières par une droite (63). Si ou prolonge jusqu’en h.
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 149 la droite dont la trace horizontale est //, et qui rencontre le collier au point , est la génératrice du second mode. Alors , on voit que la rotation de cette génératrice amène hb en /'e, et de là on conclut la projection verticale /V, qui doit pa.sser au point m : et pareillement , hb venant en kd , la projection verticale correspondante e%\.Kd!, dont le prolongement doit passer en td' .
Si on eût commencé par chercher, dans les deux modes, les génératrices qui passent par chaque point de contact, elles eussent suffi pour déterminer le plan tangent en ce point : car il n’est autre (|ue le j)lan de ces deux lignes (50).
98. Problème XVIII. Par un point donne, hors d'une surface gauche de révolution, mener un plan (/ui soit tangent à cette surface sur un méridien, ou sur un parallèle , dont le plan est donné.
Je supposerai d’abord que le contact doive se faire sur un méridien dont le plan est donné. Les constructions seront fondées sur ce que le plan tangent doit à la fois être perpendiculaire au plan donné, et contenir une génératrice de la surface.
•Soient w/(fig. XVIII) la trace du plan méridien, et o, les projections du point donné. Le plan tangent devant être perpendiculaire au plan méridien, sa trace hoi'izontale sera perpendiculaire à ad-, et par suite, si on imagine qu’un plan horizontal soit mené par le point [o,o'J, l’intersection de ce plan avec le plan tangent aura pour projections la perpendiculaire oe à ad, et la parallèle dé à jcj. La droite [oe , o'e'] appartient donc au plan tangent , et par conséquent le point é , où elle
150 DEUXIÈME PAKTIK.
perce le plan vertical , est sur la trace verticale de ce
plan tangent.
Le même plan horizontal coupe la surface gauche suivant une circonférence , dont on détermine facilement la projection horizontaley^Vi, en cherchant le point [/,y^ ou il rencontre la génératrice donnée \bc , U(T\ ; et cette circonférence est coupée par la droite \oe, c/e'] en deux points et \h,ff]. Mais le plan tangent doit contenir une généiatrice de la surface, et cette génératrice doit rencontrer la circonférence projetée Gnfgh', donc, si l’on mène les tangentes et M à la projection du collier, on aura les projections de deux génératrices, dont chacune est dans un plan tangent qui doit satisfaire à l’énoncé (on ne considère pour le moment que les génératrices qui appartiennent au même mode de génération que la droite donnée). Toutes les génératrices allant rencontrer le plan horizontal sur une circonférence connue cpq , on prolonge gi et hk jusqu’en ju et ^ , et on connaît ainsi un point de la trace horizontale de chaque plan tangent. Alors on conclut qu’en menant pa. et parallèles à oe , et tirant les droites a.é et (3e', les plans tangents cherchés seront paé et q^ •
Les points de contact ne sont pas encore déterminés, mais ils le seront facilement en construisant les génératrices du second mode, qui doivent respectivement appartenir aux deux plans tangents. La tangente kl est la pi’ojection horizontale de celle qui appartient au plan />ae', et doit rencontrer la trace ptt et le cercle cpq au même point r; la tangente g’wz est la projection horizontale de la génératrice située dans le plan q^<, et doit passer par le point.»- commun au cercle cpq et à la trace q^. Main-
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. <51 tenant faites les projections verticales /•'/', ijU , Jni , correspondantes à pi, rl, qk, sm\ et il est clair que les points de contact des plans pa.é, seront détermines, l’un, par la re'ucontrc des droites
l’autre, par la rencontre des droites \qk, et [a/«, yW],
Les projections du pi-einier point tombent en dehors de la figure , celles du second sont n et ni.
Quelques vérifications s’offrent d’elles-mèmes , et sont suffisamment indiquées sur l’épure.
99. Quand le contact doit avoir lieu sur un parallèle donné, la solution du problème est fort simple. Elle se reduit à mener un plan tangent .Ma surface en un point (|uelconque de ce parallèle, et .à faire tourner le méridien de ce point , ainsi que le plan tangent, qui lui est perpeiidicidaire, jusqii’.à ce que ce plan tangent vienne passeï’ au point donné. Les constructions ne peuvent offrir aucune difficulté, et je laisse au lecteur le soin de les développer.
100. Problème XIX. Mener à une surf ace de résolution un plan tangent parallèle à un plan donné.
Quand la génératrice d’une surface de révolution n’est pas un méridien, et qu’on propose de mener un plan tangent à cette surface parallèlement à un plan donné , il faut, en général, déterminer préalablement un méridien de la surface, au moyen des méthodes qui seront expliquées dans la troisième partie; après quoi les constructions du n" 85 peuvent recevoir leur application. Mais, dans le cas particulier de la surface gauche de révolution, cette détermination est inutile, ainsi qu’on va le voir.
Alow, à cause des deux modes de génération dont la
Dinil.- hy(;
surface est susceptible, chaque plan tangent doit contenir deux génératrices de cette surface. Or, on sait(68) qu’en transportant au centre du collier, parallèlement à ellesmêmes , toutes les génératrices de la surface , elles y forment un cône droit à base circulaire qui a le même axe que la surface. Ue là je conclus qu’un plan conduit par le sommet de ce cône, parallèlement au plan donné, doit couper ce cône suivant deux droites respectivement parallèles aux génératrices qui passent aux points de contact; et dès lors ces génératrices sont faciles à déterminer.
Soient (fig. XIX) cImV le plan donné , et ic , Ud les projections de la génératrice de la surface. Si on inène^e parallèle à hc, les droites ue, Ud seront les projections d’une parallèle à cette génératrice. Cette parallèle passe au centre du collier, et en tournant autour de l’axe elle décrit le cône asymptote dont les génératrices sont parallèles à celles de la surface gauche (68). Si on construit sa trace horizontale e, et si on décrit du centre a le cercle <|ui passe en <?, on aura la base du cône sur le plan horizontal. V
Par le sommet de ce cône, il faut conduii'e un plan parallèle au plan f/sci/'; et à cet effet on mène par ce sommet une horizontale [q/j UJ'^ parallèle à la trace f/a, on construit son intersection /' avec le plan vertical , puis on mène les ti-aces f '^ et ^/f , respectivement parallèles à d'a. et cul. La trace rencontre la base du cône en g et en h] et de là résultent les droites ag et ah , qui sont les projections horizontales de deux génératrices suivant lesquelles le plan h’^f’ coupe le cône. Or , ces génératrices sont parallèles à celles qu’on cherche sur la surface gauche ; donc je connaîtrai les projections hori-
■ Digi'' '■
SURFACES COURBES ET PLASS TANGENTS. 153 zontalcs de celles-ci en menant des tangentes an cercle ah^ parallèles à et à
Dans ces quatre tangentes , il y en a deux , pk et qi, qui répondent à deux génératrices dont les intersections avec le plan horizontal sont p ci q , et dont les projections verticales sont p'IJ et r/i'. Ces deux génératrices, appartenant à deux modes de génération différents , se rencontrent en un point [«?,/«'], et déterminent le plan lequel est tangent en ce point à la surface et parallèle au • plan donné. Les deux autres tangentes, si ci to, répondent à deux génératrices qui doivent aussi se rencontrer en un point [«, «'], et qui déterminent un second plan tangent, parallèle au plan donné.
101 . Problème XX. Par une droite donnée, mener un plan tangent a une surface gauche de résolution.
Pour résoudre ce problème de la manière la plus simple, on détermine le point où la droite rencontre le plan du collier; on considère ce point comme le sommet d’un cône circonscrit à la surface gauche ; puis on mène un plan tangent à ce cône par la droite. Mais avant de développer les constmetions , il est bon de rappeler quelques propriétés sur lesquelles elles se fondent, et qui appartiennent à la Géométrie analytique.
D’abord , la courbe de contact du cône avec la surface gauche est une ligne plane du second ordre ; et comme le sommet du cône est dans le plan du collier, et que le collier coupe la surface symétriquement, il est évident que le plan de cette courbe est perpendiculaii'c à celui du collier.
En second lieu, cette courbe est une hyperbole dont
1 54 oeiixiIme pabtie.
il est facile d’avoir un axe et les asymptotes. En effet , supposons, pour fixer les idées, que le sommet du cône soit hora du collier, et par ce point menons deux tangentes au collier : la corde qui joint les points de contact sera évidemment l’axe transverse; et, pour avoir les asymptotes , il suffira de mener par le milieu de cette corde, dans le plan de l’hyperbole, deux droites qui forment avec une parallèle à l’axe de révolution des angles égaux à ceux des génératrices de la surface gauche avec cet axe.
En troisième lieu , connaissant un axe et les asymptotes, on trouvera l’autre axe, et ensuite les foyers. Alors on pourra, au moyen d’une construction géométrique, et sans tracer l’hyperbole , mener des tangentes à cette courbe et déterminer les points de contact.
Revenons à la question : elle se réduit à mener , par la droite donnée , des plans tangents au cône qui a pour base l’hyperbole dont il a été mention tout à l’heure. A cet effet, on détermine , comme on vient de l’expliquer, le plan, l’axe transverse, les asymptotes et les foyers de l’hyperbole; on prolonge la droite donnée jusqu’à son point de rencontre avec le plan de cette courbe; puis on mène, par ce point, des tangentes à cette courbe, et on construit les points de contact de ces tangentes. Ces points sont ceux où la surface gauche doit être touchée par les plans tangents cherchés , et le problème n’a plus aucune difficulté.
Conservons toujours la disposition des épures précédentes , et soient ej , éf les projections de la droite donnée (fig. XX). D’après ce qui est dit plus haut, je détermine le point où elle rencontre le plan du
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 1 5|> ( ollii'r , je mène les tangentes gh , gi , au collier , et je tire la di'uite hi par les points de eoatîict. I^s points h et / sont les projections horizontales de deux points (jui appartiennent à l’hyperbole suivant lacjuclle la surface gauche est touchée par le cône circonscrit dont le sommet est au point ; et comme cette hyperbole est partagée symétri(iuenient par le collier, il s’ensuit cjue ih est à la fois la projection du premier axe de cette courbe et la trace du plan vertical qui la contient. Ce plan est rencontré par la droite en un point dont il est facile d’avoir les projections k et k, et c’est de ce point qu’il faut mener des tangentes à l’hyperbole.
Pour y réussir, je ramène ce plan à être parallèle au plan vertical en le faisant tourner de manière qu’il reste toujours à la même distance de l'axe : alors les constructions qui doivent se faire dans ce plan pourront s’exécuter dans le plan vertical de projection. .Soit TH la position que prend la corde 4/ : si on traçait la projection verticale de l’hyperbole , on aurait une hyperbole <le même grandeur , dont le premier axe 11'1'est égal à III ou hi, dont les asymptotes sont Ud et Utl, et dont il est facile d’avoir les foyers ç et j/. Le point [A‘, décrit un cercle autoiir de l’axe, et vient se placer dans une position dont il est facile d’avoir les projections R et K'. On a représenté dans l’épure les lignes nécessaires pour construire les tangentes (|ui vont du point R' à l’hyperbole; ces tangentes sont R'M', R'N', et les points de tangence sont M', N', (les points doivent être regardés comme les projections verticales de deux points, dont les projections horizontales , M et N, sont sur HI ; et il faut chercher ce que deviennent les pii>jections de ces points quand le plan
(le l’hyperbole retourne à sa vraie position. Or, il est évident ([u’alors M et N se portent en m et n sur /«', après avoir décrit les arcs M/?i , N« , autour du centre a , et (jue les projections verticales doivent se placer aux intersections ni , ri, des lignes de projection mni, nn\ avec les horizontales M'niy NV. Ainsi se déterminent les projections m et ni, n et ri des points de contact de la surface gauche avec les plans tangents demandés.
Les traces de ces plans sont faciles à construire. Je cherche les traces e, f, de la droite donnée; et comme tout plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au méridien cpii passe au point de contact , je tire ani, an, et j’abaisse sur ces lignes les perpendiculaires er, es, qui seront les traces horizontales des plans tangents. On aura leurs traces verticales en joignanty^ avec les points où ces perpendiculaires vont couper xy.
Quand ces derniers pointssont trop éloignés, on peuty suppléer de diverses manières. Par exemple, on peut mener, parles points de contact, des parallèles \nip, ryijJ\ {jif/, ti'j\ à la droite donnée, ce qui fera trouver les points // et fj.
Remarques. Il peut se faire que le point soit
intérieur au collier. I.,a courbe de contact de la surface gauche avec le cône circonscrit est encore une hyperbole située dans un plan vertical , mais alors son axe transverse est vertical. Pour obtenir cet axe , il faut mener un plan méridien par le point , qui dans le cas
actuel est intérieur au collier : ce plan coupe la surface suivant une hyperbole dont on connaît un axe ainsi que les asymptotes, et à laquelle il sera facile de mener des tangentes par ce même point IjR droite qui unit
SUnFACES COIKPES ET PLANS TANGENTS. i 57 les doux points de tangence ainsi détermines est l’axe transverse qu’il s’agit de trouver. Du reste , les constructions difièrent peu de celles qui ont été développées dans l’épure.
Le cas où la droite donnée est horizontale n’est pas compris dans ce qui précède. Pour le traiter , il suffît de mener un plan méridien perpendiculaire à cette droite, et, par le point où il la coupe , des tangentes à l’hyperbole suivant laquelle il rencontre la surface gauche. Les points de contact de ces tangentes seront ceux des plans tangents cherchés. Il est clair d’ailleurs qu’il y a des cas où le problème proposé est impossible.
Plans tangents h quelques surfaces gauclios qui ne sont pas de révolution.
102. PnoBLitME XXL Étant données trois droites que l’on prend pour directrices itune surface gauche, on propose de construire d’abord une génératrice quelconque de la surface, et ensuite le plan tangent en un point qiielconque de cette génératrice.
En général , la surface dont il s’agit est un hyperboloïde (62). Quand les directrices sont parallèles à un plan, elle est un paraboloïde (73, scolie II); mais la solution suivante convient à tous les cas. Prenez à volonté un point sur l’une des directrices, conduisez un plan par ce point et par ruiic des deux autres, déterminez le point d’intersection de ce plan avec la troisième, et menez une droite par ce dernier point et par celui qui a été pris sur la première directrice. Cette droite rencontre évidemment les trois directrices, et est par conséquent une génératrice de la surface. La question exige ensuite qu’on prenne un point quelconque sur
cette génératrice , et qu’on mène par ce point un plan tangent à la surface. Or, ce plan devant contenir la génératrice, il suffit tic trouver une seconde droite qui y soit contenue. Pour y parvenir, on détermine doux auti’es génératrices, et on mène par le point de contact une droite qui les rencontre toutes deux ; d’après une proposition connue (71), on est sûr que cette droite appartient à la surface , et par conséquent aussi au plan tangent.
Nommons (fig. XXI) A et A', R et IV, C et (1, les projections des trois directrices données; et soient a et n! celles d’un point quelconque de la première. Je mène par ce point une parallèle à la seconde, et je construis sa trace liorizontale b. Je construis aussi les traces c, d, de la seconde directrice, puis je tire les droites^caet a.d, (]ui sont les traces d’un plan passant par le point [a, a/] et par la droite [B, B']. Enfin je cherche (20) les projections e, d, de l’intersection de ce plan avec la troisième directrice [C, C]'], et je tire les droites ne, tid . I.ia ligne dont ces droites sont les projections est une génératrice : car, d’après la construction , elle contient un point de la première directrice et un point de la troisième; et en outre elle doit rencontrer aussi la seconde [B, B'], puisqu’elle est située avec elle dans le plan botd (c’est pourquoi ldi est perpendiailaire à xf). Je détermine de la même manière les projections^ et hi et Hü , de deux autres génératrices.
Soit pris sur la première génératrice un point quelconque [w, /«'], par lequel on propose de mener un plan tangent à la surface gauche. D’après ce qui a été rappelé plus haut, il faut chercher une droite qui passe
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 159 par ce point et qui s’appuie sur les deux autres génératrices : c’est ce que je vais faire au moyen des constructions expliquées dans la première partie (50), prob. XIII, 3° solut. En conséquence , par le point de contact et par deux points pris arbitrairement sur la génératrice \fgt je mène les droites [/««, et \/no, toV], puis je cherche les points \p, //], [y, ^], où elles rencontrent le plan vertical qui renferme la génératrice [/«', //«'] : alors je connaîtrai l’intersection [r, /■'jdela droite [ 7 ^ 7 , avec cette génératrice, et par suite je connaîtrai aussi la droite \rnr, Or, c’est cette
ligne qui, avec la génératrice [ae, dé\ détermine le plan tangent; donc, en construisant les traces de ces deux lignes, on aura facilement le plan tangent svt.
Observez que la droite [ne, «V] est dans le plan htd, et que par conséquent elle doit avoir sa trace verticale U sur la trace verticale de ce plan.
103. ProblIcmf. XXII. Trois ellipses données sont semblables, semblablement situées, et ont leurs centres sur la même verticale. On suppose en outre que les deux plus grandes sont égales entre elles, et placées dans des plans également distants du plan de la plus petite. Ces trois courbes étant considérées comme les directrices et une surface gauche, on propose de mener un plan tangent à cette surface par un point pris à colonté sur une génératrice quelconque .
Supposons qu’on connaisse les trois points par lesquels une génératrice s’appuie sur les directrices , imaginons en ces points trois tangentes à ces courbes, et prenons ces tangentes pour directrices d’une nouvelle surface gauche,
DEUXIÈMK PARTIE.
]j3l généralricc donl il s’agit appartiendra aussi à celte surface, et, d’après ce qui a été démontré (74), le plan tangenten chaque point de cette génératrice sera le même pour les deux surfaces. I^es trois tangentes directrices étant horizontales, la seconde surface est un paraboloïde (75, scolie 11), et eu la coupant par des plans horizontaux on doit trouver des droites (75, scolie l). En conséquence , pour avoir le plan tangent à la surface proposée, en un point donné de la génératrice, on déterminera une seconde génératrice de la dernière surface, on mènera par le point donné un plan horizontal qui coupera cette génératrice en un point , et on fera passer une droite par les deux points : cette droite sera tout entière sur le paraboloïde, de sorte <|ue le plan déterminé par cette droite et par la première génératrice sera le plan tangent demandé. Tout cela a déj.'i été dit n° 7 O.
11 est permis de prendre l’une des grandes ellipses , acb (fig. XXll), dans le plan horizontal de projection, et son grand axe où parallèle à la ligne de terre : alors la projection verticale de cette ellipse est une portion (iU, égale à ab, de :rj. D’après l’énonce, les centres des trois ellipses données ont pour projection horizontale commune le centre o de l’ellipse ncb\ l’autre grande ellipse a pour projection horizontale cette même ellipse neb, et pour projection verticale une droite d'U' parallèle à XJ et égale à dU ; enfin la petite ellipse a pour projection horizontale une ellipse semblable à acb, dont le grand axe de est placé sur nb, et elle a pour projection verticale une horizontale d'd, égale à de- et équidistante de dU et de d'U' .
~ Potirun moment, considérons à part (fig. b) les deux
StnFACJES COLBfiES ET PLANS TANGENl’S. '
ellipses acb, âfe. En un point quelconque ^de la petite menons la tangente /«' qui coupe la grande en h et tirons les demi-diamètres oh, oi, qui rencontrent la petite en 9 et I; tirons aussi !j>'| et o^^qui se couperit en p. Puisque les deux ellipses sont concentriques, semblables et semblablement situées , on doit avoir oh ; oi ; ; oy ; 0'| ; donc^'^est parallèle à hi. Or, dans toute ellipse, les cordes parallèles à une tangente sont rencontrées en leui-s milieux par le diamètre qui passe au point de contact; donc 'yû=i|;p, et par suite gh=gi : c’est-à-dire qu’une droite tangente à la petite ellipse, et comprise dans la grande, est divisée pai' le point de contact en deux parties égales.
Revenons à la question. Pour obtenir les projections d’une génératrice quelconque, je prends à volonté le point g (fig. XXII) sur l’ellipse elfe, je mène la tangente hi qui est divisée au point g en deux parties égales, et je mène aussi les lignes de projection h/ig^, ii', qu’on termine respectivement à eiU, ePé, a''U' . Les projections h et H, g et i et i', seront celles de trois points appartenant respectivement aux trois courbes directrices: or il est facile de reconnaître que H, ^ , i' sont en ligne droite; donc les droites hgi et h!^i' sont les projections d’une génératrice de la surface, et la trace horizontale (le cette génératrice est en h. Il est d’ailleurs évident <[u’il existe une autre génératrice qui a encore hi pour projection , mais dont la trace horizontale est en i ; et alors la projection verticale correspondante à i serait sur eiU, tandis que celle qui répondrait à h serait sur
Maintenant, soit proposé de trouver le plan tangent à la surface en un point quelconque [/«, ///] de la première génératrice [A/, //<"'] . Il faut, avons-nous dit, rem-
162 OEUXliME PAJITIE.
placer la surfaee gauche de l’énoucé par le paraboloïde dont les directrices sont tangentes aux trois ellipses dans les points [A, A^], [g, ^], [/, /']. C’est pourquoi je mène les tangentes hk, ik ; et les ti’ois nouvelles directrices seront les droites indéfinies qui ont respectivement pour projections hk et dU, ih et ik et d'U' . Le plan vertical élevé sur hk contient la première de ces lignes ; je détermine ses intersections [A, A'] et [A, avec les deux autres, et je tire la droite kW . De cette manière, on est certain <|ue la ligne [AA, A"A'] rencontre les trois tangentes directrices, et que par conséquent elle est une génératrice du paraboloïde. Alors j’imagine par le point [//i, rd\ un plan horizontal, dont je détermine l’intersection [n, n'] avec cette génératrice; puis je mène l’horizontale \nin, rdd\ dont je construis la trace verticale//. Le plan tangent devant contenir l’horizontale \inn, rdd\ et la génératrice [A/, AV'], je mènerai Aa parallèle à mu , ensuite je joindrai ût// ; le plan tangent sera Aa//.
On obtient des vérifications en menant des parallèles à Aa par des points quelconques de la génératrice [Ai', ///']; et c’est ainsi qu’on a trouvé les points d et J sur la trace verticale.
104. Autre solution. Par la projection /«, menez une seconde tangente srt à l’ellipse dfe. Elle sera la projection horizontale de deux génératrices de la surface, lesquelles diffèrent en ce que l’une perce le plan horizontal en J, et l’autre en t. Je considère seulement la première, qui a pour projection verticale , et je dis qu elle passe au point [z/i, ni]. En effet, nommons X et H les hauteurs auxquelles les verticales élevées en m et r cou-
Digitizod by Googlt
SUBPACES COURBES ET PLARS TARGENTS. 163 pcnt cette gënéi'atrice ; il est clair qu’on a X ; H : : sm'.sr. Nommons Y l’élévation du point [w, «/], et remarquons que celle du point \g, g'] est égale à H ; on aura Y : H ; : hm ; /ig. Mais, par les propriétés de l’ellipse, il est aisé de voir que les triangles grnr et /uns sont semblables ; donc sm ’.sr y. hm ; hg. Par suite on a X ; H ; ; Y ; H , d’où X=Y, ce qui démontre la proposition.
On a donc, sur la surface gauche, une seconde génératrice qui passe au point de contact; et le plan tangent se trouve ainsi complètement déterminé. Cette deuxième solution est beaucoup plus simple que la première; mais aussi est-elle fondée sur des considérations moins générales.
Remarque. De ce que les hauteurs X et Y sont égales, il s’ensuit qu’il y a sur la surface gauche dont il s’agit, deux systèmes différents de génératrices , et que chaque génératrice de l’un d’eux rencontre toutes celles de l’autre. Cette surface peut donc être décrite par une droite qui s’appuie sur trois autres, et dès lore on voit qu’elle est comprise dans celle du problème XXI.
103. Problème XXIII. Mener un plan tangent à une surface gauche qui a pour directrices une dmite horizontale et deux courbes situées dans des plans verticaux parallèles.
La méthode à suivre dans cet exemple est encore une application des propositions établies précédemment (n“ 74 et 73) : c’est-à-dire qu’on remplace la surface gauche par un paraboloïde hyperbolique , qui se raccorde avec elle suivant la génératrice sur laquelle est donné le point de contact.
D J =i. !!?l i . i .rîn^I
1 64 DEUXltfllK PAATIE.
Soit ub (6g. XXJII) la directrice horizontale, et soient cdy ef, les traces horizontales des plans verticaux parallèles qui contiennent les deux courbes données. En prenant cd pour ligne de terre, ces courbes seront projetées en vraie grandeur sur le plan vertical • je supposerai que ce soient deux demi-cercles égaux, tels que c^d, éi'J' . Pour trouver une quelconque des génératrices de la surface, je mène par la directrice ab un plan ob^. 11 coupe les plans des cercles suivant des droites parallèles projetées en bg et 4^, hi et A'/'; et ces parallèles coupent les cercles aux points projetés en^et^, i et ü. Donc, en tirant les droites gi et^t', on aura les projections d’une génératrice.
Je détermine le point où cette génératrice ren-
contre la directrice «4, et je remarque que le plan ab^, contenant ces deux lignes , doit être tangent à la surface au point a. Je mène dans ce plan la droite \am, dn£~\ parallèle à hs^, et je mène aussi les tangentes [^4, ^4], [il, aux deux cercles. On a ainsi trois droites parallèles au plan vertical; et le paraboloïde qu’on engendre en les'preuant pour directrices , a les mêmes plans tangents que la suiface proposée , en tous les points de la génératrice commune (74).
Maintenant cherchons une autre génératrice de ce paraboloïde. A cet effet, on conduit un plan par la pi-emière de ces trois droites et par la trace horizontale l de la seconde tangente : il est clair que la trace horizontale de ce plan est nln , et que sa trace verticale est une parallèle nd à dnil. Il rencontre la première tangente au point [ü, <y], et en tirant ol et dl’ on a les projections d’une droite qui doit rencontrer la ligne [a//^, dnf\ : cette
SITHFACES COCBBES ET PLANS TANGENTS. 165
droite est une nouvelle génératrice du parabolorde. Alors on peut encore engendrer cette surface en faisant glisser une droite parallèlement au plan vertical sur les deux génératrices connues (73) : c’est-à-dire que tout plan parallèle au plan vertical coupe ces lignes en deux points qui déterminent une droite située sur le paraboloïde.
Cela posé, soit le point de contact donné sur
la première génératrice : par ce point, parallè-
lement au plan vertical, je conduis un plan qui coupe la seconde [o/, o'/'], en un point [<y, (f\. I^a droite passant par ce point et par le point donné , doit êti-e dans le plan tangent cherché : or , la droite {ag, doit y être aussi ; donc les traces horizontales , a et r, de ces droites, déterminent la trace horizontale ta. du plan tangent : et quant à la trace verticale ad elle doit passer en et de plus être parallèle h p'cf.
106. Problème XXIV. Mener un plan tangent nu cotioïde décrit par une horizontale , qui se meut en s’ appuyant sut' une droite verticale et sur une courbe sitaee dans un plan vertical.
La projection horizontale de la dirtîctrice verticale est un point a(fig. XXIV), et sa projection verticale est une perpendiculaire dd’ à xy : je supposerai que la courbe donnée bdc est dans le plan vertical de projection. Ayant pris le point p sur le plan horizontal, tirez apd, élevez sur xy la perpendiculaire d!r/, qui coupe la courbe en d et menez l’horizontale rf'// ainsi que la ligne de projection pi) . Il est clair que dp et dj) sont les projections d’une génératrice, et que p et // sont celles d’un point
166 DEUXlàME FAATU.
de cette génératrice. C'e«t le plan tangent en ce point
qu’on va déterminer.
Menez la tangente J!e. Le paraboloïde décrit par une horizontale qui glisse sur cette tangente et sur la verticale donnée se raccorde parfaitement , dans toute l’étendue de la génératrice [d/7, d'//], avec la surface proposée. En tirant ae on a une seconde génératrice de ce paraboloïde; et en menant par le point [/;, //] un plan parallèle au plan vertical, il coupe cette surface suivant une droite y (|ui doit être dans le plan tangent. Or, l’horizontale [dp, d'f/^ doit y être aussi, et dès lors ce plan est déterminé. Sa trace horizontale ta. doit passer en q et être parallèle à dp’, sa trace verticale a^doit passer en d et être parallèle à
Iji tangente ed! va couper dd' en un point d', qui est évidemment la projection verticale d’une génératrice du paraboloïde : or, cette génératrice, aussi bien que toutes celles qui appartiennent au même mode de génération , doit être rencontrée par la droite [j^q^}J<f\', et c’est pour cela que la projection passe au point d'^
107. PnoBLiMB XXV. Mener un plan tangent à une surface engendre'e par une droite horizontale, qui est assujettie à rencontrer toujours une courbe tracée sur un cylindre vertical, et à rester constamment ou tangente ou normale à un autre cylindre vertical.
Je supposerai que la directrice tracée sur le premier cylindre vertical est une hélice, comme cela arrive dans plusieurs applications de la géométrie descriptive à la coupe des pierres et à la charpente. C’est pourquoi je vais rappeler d’abord la construction et les propriétés de cette courbe.
Digiltzed by Cooglc
1® Soit cd (fig. c) l’intersectiou d’un cylindre vertical par un plan horizontal : sur cd prenez une origine quelconque o, et sur les génératrices du cylindre, au-dessus des ' différents points de cd, portez des hauteurs drl, d'rl', d"nl",.., proportionnelles aux arcs od, od', od",... Le lieu des points rl n" n'",... ainsi déterminés , est une Müce. Par exemple , on peut supposer les arcs égaux entre eux, et dri égal à une hauteur donnée H ; alors il faudra prendre o"n"=2H, o"'n"'=3H, etc.
2* Si on développe le cylindre sur un plan, je dis que l’hélice deviendra une droite. Pour le démontrer, considérons la courbe cd comme un polygone d’une infinité de côtés, et le cylindre comme un prisme dont les faces sont infiniment étroites; puis concevons que ces différentes faces tournent autour des arêtes pour venir s’appliquer dans un seul plan. Il est évident que les côtés de la base, ne devant pas cesser d’être perpendiculaires à > ces arêtes, se placeront sur une droite ef, de telle sorte t[ue les arcs od, od ', . . . deviendront des parties « ", . . .
tie cette droite. D’un autre côté, il est clair que dans le développement ces arcs conservent les mêmes longueurs, et que les hauteurs dri, d'ri',... ne font que prendre de nouvelles positions irri, iJ'rti ', . . .; donc ces hauteurs sont proportionnelles aux distances if, donc l’hélice
est développée en ligne droite.
3® Cette droite ih , suivant laquelle s’est développée l’hélice , forme des angles égaux avec toutes les généra- ' ti’ices : or ces angles sont les mêmes que formaient, avant le développement , les côtés ou éléments de l’hélice avec les arêtes qui leur étaient contiguës ; donc ces derniers angles sont aussi égaux; donc les tangentes à l’hélice, qui
1 68 UKi:XlÈME PARTIE. - .
ne sont autre chose que ces côtés prolongés, sont toutes
l'igalement inclinées sur les génératrices du cylindre.
4“ On peut supposer que le développement a été fait dans un plan tangent au cylindre, par exemple, dans celui (|ui aurait été mené par l'arête Alors il est fa-
cile de voir que les droites io'" et iW", sur lesquelles se développent la base oo'" et l'hélice on'", sont respectivement tangentes à ces courbes; et de l.à résulte une construction bien simple de la tangente à l’hélice. Supposons qu’on ileniande la tangente au point n'" : sur la tangente eo'" à la base cd, on prendra la distance io'" égale à l’arc oo'" rectifié, et en joignant m'" on aura la tangente demandée.
Revenons au problème proposé. Soit (fig. XXV) ab la trace horizontale d’un cylindre vertical auquel les génératrices doivent être normales ; ces génératrices auront pour pi ojections horizontales des normalesà cette courbe. t )r ces normales , par leurs intersections successives, foi’ment une courbe efl\ laeiuelle elles sont tangentes, et par suite les génératrices de la surface gauche sontelles-mêmes tangentes au cylindre vei tical élevé sur cette courbe; on voit donc par là comment il se fait que la question à r<*soudre est absolument la même quand les génératrices sont normales à un cylindre vertical, et quand elles lui sont tangentes. Soit c/id la trace d’un autre cylindre vertical, sur lequel est tracée l’hélice directrice, construite en prenant des verticales proportionnelles aux ai'csoo', od' au-dessus des différents points d, d',... Pour déterminer cette courbe , il suffira de connaître la hauteur II correspondante à un arc donné od.
.Supposons qu’on demande le plan tangent au point dont la projection horizontale esty>. D’après ce qui pré-
SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 169 cède, on aura la projection horizontale de la génëratric-e sur laquelle ce point est situé en menant pk tangente à la courbe ç/*; et la hauteur de cette génératrice sera connue par la proportion od ; ohg : ; II ; x. Mais, pour plus de commodité, je rapporterai les constructions à un plan horizontal placé au-dessous de la génératrice à une distance 3H. Quant au plan vertical, je le prendrai perpendiculaire à cette génératrice ; par conséquent la ligne de terre xy sera perpendiculaire à pk. Alors, en prolongeant yjX- jusqu’en /«, et élevant sur xy la perpendiculaire mqz=zZ\l, le point q sera celui où la génératrice rencontre le plan vertical. Or, le plan tangent doit contenir cette génératrice; donc sa trace horizontale sera parallèle à et sa trace verticale passera en q.
Si on prend l’arc p,h triple de oc/, le point h sera celui où l’hélicTî directrice est rencontrée par le plan horizontal. Si on mène^'’/ tangente à chd et égale à l’are gh rectifié, le point i sera, sur ce plan, le pied de la tangente h l’hélice au point projeté en g. Enfin si on tire ik, cette droite et celle qui est projetée en gk seront des génératrices du paraholoïde engendré par une horizontale qui glisserait sur la tangente à l’hélice et sur la verticale élevée en k. Or, je dis (|ue ce paraholoïde se raccorde exactement avec la surface gauche proposée , dans toute l’i'*tendue de la génératrice commune.
D’abord , dans les deux surfaces la génératrice est horizontale, et au point projeté en g le plan tangent est évidemment commun ; il suffit donc de prouver qu’il en est de même du plan tangent au point projeté en k (74, scolie). Et en effet, le plan tangent en ce point, à la surface proposée, doit contenir la génératrice hori-
1 70 3* PART. - — SURFACES COURBES ET l*tANS TAWG.
zontale tangente au cylindre ef^ ainsi que U tangente à la courbe décrite sur ce cylindre par la génératrice de la surface ; donc ce plan est tangent aussi au cylindre ef, et par conséquent il contient la verticale élevée en ki Mais le plan tangent au paraboloïde doit aussi contenir cette verticale ainsi que la génératrice horizontale; dono les deux plans tangents n’en font qu’un. Donc, suivant la génératrice commune, le paraboloïde se raccorde avec la surface proposée.
Tous les plans parallèles aux deux directrices du para» boloïde doivent couper cette surface suivant des droites. Si on conduit un tel plan par le point donné y], sa trace horizontale est une parallèle pr à gi, laquelle rencontre A’/en r. Le point r appartient au plan tangent mené au paraboloïde par le point donné : or, ce plan est aussi tangent à là surface gauche ; donc, si on mène ra. parallèle à pk et si on joint aq, le plan tangent cherché sera ntq: '
Si on .avait h déterminer d’autres plans tangents à la même surface , en des points situés sur différentes génératrices, il faudrait effectuer des constructions toutes semblables. Par exemple , que la projection horizontale d’un point de la surface soit donnée en s, on mènera la tangente st, on prendra une nouvelle ligne de terre m> perpendiculaire à cette tangente , etc. L’épure dispense d’entrer dans de plus amples explications.
Üigilized iiy Googk
Comidérations générale!.
108. Une ligne est déterminée au moyen d’une propriété qui la caractérise, ou par le mouvement d’un point, ou enfin quand on connaît deux surfaces sur lesquelles elle est contenue. C’est comme intersections de surfaces que les lignes se présentent dans la plupart des applications de la Géométrie descriptive ; et c’est principalement sous ce point de vue qu’elles seront considérées dans cette troisième partie. Cependant je proposerai l’hélice et l’épicycloïde sphérique comme exemples des deux premiers modes de détermination.
Dans les autres exemples , la question à résoudre sera toujours comprise dans cet énoncé général : deux surfaces étant données, trouver les projections de la courbe (t intersection et celles de la tangente en un point quelconque de cette courbe. Quand l’une des surfaces sera plane , il faudra en outre construire V intersection dans ses vraies dimensions ; et quand l’une des surfaces sera développable , on cherchera ce que devient f intersection dans le développement de cette surface.
109. Commençons par le cas le plus simple, et supposons qu’il s’agisse de l’intersection d’un plan et d’une surface courbe. La génération de la surface étant connue , on considérera la génératrice dans diverses posi-
172 TROisiiarE partie.
tions, et pour chaque position on déterminera sa rencontre avec le plan. On aura ainsi les projections d’autant (le points qu’on voudra, appartenant à la section cherchée; et, pour avoir les projections de œtte section , il n’y aura plus <[u’.à joindre par un trait continu les points trouvés sur chaque plan de projection.
I 10. Dans le cas où il faut trouver l’intersection de deux surfact's courbes, voici le procédé général. On les coupe en inèine temps par une suite de plans; chacun de ces plans détermine, dans les surfaces, deux lignes courbes dont on construit les projections; et les points communs à ces projections appartiennent à celles de l’intersection demandée. En répétant ces opérations pour différeuts plans , on aura les projections de la courbe d’intersection avec autant d’exactitude qu’on voudra.
II semble au premier coup d’œil que les déterminations auxquelles donne lieu chaque plan auxiliaire exigent le tracé de quatre courbes, deux sur le plan horizontal et deux sur le plan vertical. Mais il n’y en a réellement que deux à construire : car, par exemple, après avoir trouvé les deux courbes de la projection horizontale, les inter- .sections de ces courbes sont les projections horizontales de points qui appartiennent à l’intersection des deux surfaces; et comme ces points sont dans le plan auxiliaire , on aura facilement leurs projections verticales au moyen de leurs projections horizontales , sans employer aucune autre courbe (20).
Au reste , comme les plans auxiliaires sont entièrement arbitraires , on peut les prendre parallèles à un des plans de projection , au plan horizontal par exemple. Alors, les .sections des deux surfacc^s, par chacun de ces
LIGNES COL'RBES AVEC LEURS TANGENTES. 173 plans, se projetteront verticalement sur une ligne droite parallèle à la ligne de terre, et les constructions seront considérablement simplifiées.
i 1 1 . Mais il y a des cas particuliers qui se présentent fréquemment, et dans lesquels le choix des plans auxiliaires est indiqué par la nature même des surfaces dont on cherche l’intersection.
Si l’une des surfaces est un cylindre, on pi'cnd des plans parallèles aux génératrices du cylindre , parce qu’alors on est assuré que les intei-sections des plans avec le cylindre seront des lignes droites. Si les deux surfaces données sont cylindriques , les plans auxiliaires devront être à la fois parallèles aux génératrices de l’une et de l’autre Quand l’une des surfaces est un cône, on fait passer les plans par le sommet; et, quand l’autre surface est aussi un cône, on les fait passer par la droite qui joint les deux sommets. De cette manière, les sections faites dans ces cônes se réduisent à de simples lignes droites.
Si l’une des surfaces est un cône, et l’autre un cylindre, les plans doivent passer par le sommet de la première , et être parallèles aux génératrices de la seconde.
Si l’une des surfaces est de révolution , les sections auxiliaires seront perpendiculaires à l’axe de cette surface, ce qui donnera des cercles.
112. Pour trouver l’intei^section de deux surfaces, on a prescrit de couper ces surfaces par une suite de plans : cependant on con^;oit qu’au lieu de plans, on pourra employer d’autres surfaces , pourvu qu’il soit facile d’obtenir leurs intersections avec les surfaces proposées. Ce cas sera celui de deux surfaces de l'évolution dont les axes se rencontrent. Alors on fera usage de sphères qui
174 TROmiME PARTIE,
oot toutes pour centre commun la rencontre de deux axes : Il est clair que chaque sphère coupe les deux sur* faces de révolution suivant des cercles faciles à déterminer, et que les points communs à ces cercles appartiennent à l'intersection des deux surfaces. .
113. Parlons maintenant de la tangente. Il faut d’abord rappeler que le plan tangent en un point d'une surface renferme les tangentes menées en ce point à toutes les courbes qu’on peut tracer, parce même point, sur la surface. De là il suit que, si une ligne résulte de l’intersection d’une surface courbe avec un plan donné , pour avoir la tangente en un point de cette ligne, il faut construire le plan tangent à la surface au point dont il s’agit, et déterminer l’intersection de ce plan avec le plan donné. En général, si une ligne est l’intersection de deux surfaces quelconques, on mènera, par le point que l’on considère sur cette ligne, les plans tangents aux deux surfaces; et l’intersection de ces pians sera la tangente demandée.
IIA. Cette tangente se détermine encore par une autre considération D’après la définition (31), les normales menées aux deux surfaces , par un point de leur intersection , sont respectivement perpendiculaires aux deux pians qui seraient conduits par ce même point tangentiellement à ces surfaces; donc la tangente cherchée, qui est l’intersection des plans tangents , est perpendiculaii'e au plan des deux normales; donc cette tangente s’obtiendra en menant par le point de contact une perpendiculaire au pian des normales.
Dans le cas des surfaces de révolution, ce procédé est préférable au premier, parce qu alors les normales sont plus famles à déterminer que les plans tangents.
LIGNES COURBKS A.VEC LEURS TANGEIirTES. 17&
1 15- Toutes les constructions devant s’effectuer par la méthode des projections^ il est bon d’observer que les projections de la tangente à une courbe quelconque seront elles-mêmes tangentes aux projections de cette courbe. Cette conséquence s’obtient immédiatement quand on l'egarde la tangente comme le prolongement indéfini de l’élcment d’une courbe En effet, alors il est clair qu’en projetant, par exemple sur le plan horizontal , un élément de la courbe , on aura un élément de la projection de cette courbe , et que par conséquent , si on prolonge ces deux éléments, on aura deux droites dont la seconde sera la projection de la première : c’est-àdire que les projections de la tangente à une courbe sont tangentes aux projections de cette courbe.
116. 11 peut y avoir , sur l’intersection de deux sui'^ faces , des points où les constructions précédentes soient en défaut. D’abord, il peut s’y ti-ouver un point tel que les plans tangents aux deux surfaces se confondent , de sorte que, au lieu de deux plans qui contiennent la tangente, on n’en a plus qu’un seul. Dana ce cas, il y a rarement d’au^ méthode à suivre pour déterminer la tangente, que de mener mécaniquement, au moyen de la règle, des tangentes aux projections de l’intersection. En second lieu , un point de l’intersection peut être tel que les deux plans tangents qui déterminent la tangente soient perpendiculaires à l’un des plans de projection. Alois la tangente est elle-mcme perpendiculaire à ce plan, et s’y projette en un point unique. La taqgente à la projection de l’intersection reste donc tout à fait indéterminée , et le plus souvent elle ne pourra être construite que d’une manière mécanique.
n6 ' TH01S1ÈME PABTIÊ.
Cependant il sera bon, dans ces cas particuliers, de considérer la tangente à l’intersection, en un point trèsvoisin de celui dont il s’agit ; de supposer ensuite que le second point se rapproche indéfiniment du premier, et d’examiner s’il n’existe pas une droite facile à construire vers laquelle tende la tangente , et avec laquelle elle se réunisse à la limite : cette droite ne sera autre que la tangente cherchée.
Sections des surfaces courbes par des plans.
117. Problème 1. Intersection <tun cylindre per~ ]>endicnJmre au plan horizontal par un plan perpendiculaire au plan vertical.
La solution contiendra trois parties. Dans la première, on déterminera les projections de la courbe d’intereection et celles d’une quelconque de ses tangentes ; dans la seconde , on trouvera cette courbe en vraie grandeur et on construira sa tangente ; enfin , dans la troisième , on développera le cylindre sur un plan , on cherchera ce que devient alors la courbe d’intersection, et quelle est la tangente à la nouvelle courbe.
Projections. D’après l’énoncé, la trace horizontale du cylindre peut être telle courbe qu’on voudra abc... (Prob. 3“ part. fig. I), et ses génératrices sont verticales; la trace verticale du plan coupant est une droite quelconque qjj y et sa trace horizontale qp est perpendiculaire à la ligne de terre .vy. Toute ligne située sur le cylindre a pour projection horizontale la courbe abc . . . , et toute ligne située dans le plan pqjl a pour projection verticale la droite qpl : ainsi , on connaît déjà les projections de la courbe d’intersection. Prenons un point m
LIGNES COI RBKS AVEC LEURS TANGENTES. 177 à volonté sur abc...^ et perpendiculairement à menons mm” tri qui coupe prf en ni. 11 est clair que nini' est la projection verticale de la génératrice qui passe en m , et que le point où cette génératrice rencontre le plan p/jf/i a pour projections m et m' : donc m et ni sont les projections d’un point de la courbe d’intersection. En répétant cette construction , on peut obtenir les projections d’autant de points qu’on voudra.
La tangente en un point quelconque est facile à obtenir. (Àjnsidérons le point [/«, ni\. Le plan tangent au cylindre, en ce point, est vertical, et a pour trace horizontale la tangente mn à la base abc... : or, la tangente eberebée est l’intersection de ce plan avec le plan donné; donc les projections de celte tangente sont mn et qji .
J raie grandeur. R.abattons le plan pqii am l’un des plans de projection. Si on le bût tourner autour de la trace y//, on remarquera que le point [/«, ni^ est, dans l’espace, sur une perpendiculaire h qii, à une distance de ni égale à mni' \ de sorte qu’en élevant sur (pj la perpendiculaire m'M égale à nwi', le point M appartiendra à la courbe cherchée. La môme construction fait connaître autant de points qu’on veut , et on trouve ainsi la courbe ABC... Pour avoir la tangente à cette courbe au point M , il suffit d’obsei’ver que dans le rabattement la ligne qn se place , sans changer de grandeur, en perpendiculairement à qf}\ de sorte qu’en tirant MN on a la tangente au point M.
Si on veut faire tourner le plan /;</// au tour de sa trace horizontale pq^ on mène mr perpendiculaire à pq^ puis on imagine, dans l’espace, une droite entre le point r et le point \pi^ni\ : cette droite est per|>eadiculaire à pq,
et elle est projetée en vraie longueur sur donc on prolongera mr d’une quantité r^=qrri, et le point M' sera un point de la courbe rabattue sur le plan horizontal . Une construction semblable peut se faire pour tous les points. Quant à la tangente, elle ne cesse point de passer en n, et on l’obtient en tirant la droite ;tM'.
On n’a pas toujours un espace assez étendu pour opérer l’un dos deux rabattements ci-dessus : voici un moyen de parer à cet inconvénient. Par un point d}, convenablement choisi sur concevez une perpendiculaire au plan vertical , laquelle sera tout entière dans le ^À^npqjf, et aura pour projection horizontale une droite d(P perpendiculaira à xjr. Faites tourner le plan pqiJ autour de cette droite jus(|u’à ce qu’il soit horizontal, et alors la courbe située dans ce plan se projettera en vraie grandeur sur le plan horizontal . Or, cette projection est facile à construire. En effet, après la rotation du plan pqf^y la ligne qjJ se place en m> parallèlement à xy, et en même temps le point \m,rd] décrit parallèlement au plan vertical un arc dont la projection verticale est l’arc m’m^ tracé du centre et, et dont la projection horizontale est sur rnr parallèle à .ry; donc en menant sur xy, par le point m„ une perpendiculaire terminée à mr, on
aura la projection du point [m , ni\ , tel qu’il est situé quand la courbe est devenue horizontale. En appliquant la même construction aux autres points , on trouve la courbe . . . .
Le point de contact est maintenant en IVT'. Pour avoir la tangente, on peut, au moyen de la meme construction, en déterminer un second point, N". Mais on peut encore remarquer que le point ou elle coupe l’axe , au-
LIGinS COURBES AVEC LEURS TAirGENTES. 179 tour duquel se fait la rotation , n'a pas dû changer de position. Or, il était d’abord projeté en o, à la rencontre de mn avec rfW; donc la tangente au point M" doit passer en o.
Développement. En considérant un cylindre comme un prisme d’une infinité de faces, on voit sur-le-champ que si on développe cette surface sur un plan, toute section pei'pendiculaire aux arêtes devient une droite à laquelle les arêtes restent encore perpendiculaires, et que les longueurs comprises sur ces arêtes , entre la section perpendiculaire et la section oblique , ne doivent pas changer. Donc, après avoir divisé la courbe abc... en plusieurs arcs ab, bc , cd, ... on prendra sur une droite les distances , Py, yô, . . . respectivement égales à ces arcs , puis on élèvera sur cette droite les perpendiculaires aa\ PP^, y/, . . . égales aux portions d’arêtes dont les véritables longueurs sont dans le plan vertical en d'd, U'U , d'd ,... La courbe ainsi produite par le développement du cylindre sera a^PY---
Supposons que le point [rn, id~\ soit devenu p', et remarquons que dans le développement les éléments de la courbe , et par conséquent les tangentes , ne changent pas d’inclinaison à l’égard des arêtes. Or la tangente au point [w, w'] passe en n, et l’angle de cette tangente avec l’arête du cylindre fait partie d’un triangle rectangle dont mn est la base et ni'td la hauteur; doncsi on prend, du côté convenable, fiv = mn, et si on joint p'v, on aura la tangente à la nouvelle courbe a'P'y'. . . .
Remarques. Dans l’épure , la courbe abc. . . est un cercle; mais l’explication précédente n’en est pas moins générale. Par conséquent, quelle que soit la courbe
1 80 TROISIÈMI PARTIE.
ttbc..., il devra toujours arriver que les tangentes en rn et M', aux courbes abc... et A'B'C'. coupent la trace pq au même point n, ou bien , ce qui est la même chose , que les tangentes en m et M", aux courbes abc... et coupent la droite (ï”d au même point o. De là ce théorème remarquable :
ai on coupe un cylindre quelconque par plusieurs plans passant par une droite perpendiculaire aux gêne'ratrices, et qu'on rabatte toutes les sections sur un seul plan en les faisant tourner autour de cette droite, les tangentes à ces diff erentes courbes, aux points sitiuis sur une perpendiculaire a la droite commune, iront rencontrer cette droite au même jjoint.
Cette propriété est analogue à celle qui est si connue pour les ellipses décrites sur un axe commun; et elle n’a lieu à l’égard de ces ellipses que parce qu’elles sont les intersections d’un même cylindre par des plans disposés comme l’exige l’énoncé ci-dessus.
118. Problème II Intersection un cylindre quelconque par un plan perpendiculaire à ses génératrices.
Projections. Supposons que la trace horizontale du cylindre soit abc. . . (fig. II), et qu’on ait déterminé les limites des projections de ce cylindre comme dans le n° 78. Le plan coupant étant perpendiculaire aux génératrices , ses traces doivent être perpendiculaires aux projections de ces lignes ; supposons que ce soient pq et qpl . La question est d’abord de trouver les projections de la section faite dans le cylindre , laquelle prend ici le nom de section droite à raison de ce que le plan coupant est perpendiculaire au cylindre.
LIGNES COIIBBES WEC LEÜBS TANGENTES. 181
11 faut, selon ce qui a été dit n“ 109, chercher les intersections des génératrices du cylindre avec le plan (Considérons, par exemple, lagénératrice[«e, a'e'], et imaginons un plan vertical par cette droite. I-a projection horizontale de l’intersection de ce plan avec pqjJ est c/c, et on a un point de la projection verticale en abaissant hli perpendiculaire à xjr. Pour en avoir un autre , je mène, par un point quelconque [j, z'], de la trace fjji, une parallèle [zo, z*//] h pq-, il est évident que la rencontre O, de zo avec ae, est la projection hoi izontale d’un point commun aux deux plans. De là on conclut la projection verticale // de ce point, et ensuite Hd qui est celle de la droite suivant laquelle se coupent les deux plans. C’est donc la rencontre de lid avec Hd qui fera connaître la projection verticale é d’un point de la section droite, et par suite la projection horizontale e.
En menant comme ci-dessus des plans verticaux par différentes génératrices , ils coupent le plan pq/i suivant des droites parallèles entre elles, et dont par conséquent les projections verticales sont parallèles à fid. Les intersections de ces parallèles avec les projections verticales des génératrices déterminent des points aussi rapprochés qu’on voudra, de sort.e /[ue les projections delà section droite doivent être regardées comme connues.
.Supposons qu’on veuille la tangente à la section au point [w, /«']. Parle pied A" de la génératrice qui contient ce point, menez kr tangente à la base; kr sera la trace horizontale du plan tangent au cylindre. Or, la tangente demandée est à la fois dans ce pian et dans le plan pqjf', donc le point r, où kr rencontre qp, appartient à cette I tangente; donc mr est la projection horizontale de la
1 82 riionÙMB pastib.
tangente. Pour en avoir la projection verticale , on
abaisse /r ' perpentliculaire sur xj- et on tire ,
Vraie grandeur. Faisons tourner le plan pqd autour de pq pour l’appliquer sur le plan horizontal. Puisque mn est perpendiculaice à pq, la droite qui, dans l’espace, joint le point [m, au point n est perpendiculaire aussi à pq, et elle le sera encore après le rabattement ; donc , si on consti’uit sa vraie longueur pour la porter en nM sur le prolongement de mn , le point M appartiendra à la courbe rabattue. En répétant cette construction on détermine la courbe EFG. . . Quant à la tangente, elle ne cesse point de passer en r, et par conséquent , après le rabattement, elle sera rM.
Dévelopiiement. Quand on développe le cylindre sur un plan , il est clair que la section droite EFG. . . devient une ligne droite, et que les distances comprises sur les génératrices, entre cette courbe et la base abc..., ne changent pas. Or, ces distances sont faciles à trouver puisqu’on connaît leurs projections; donc, après avoir pris sur une droite quelconque des intervalles e^, 97, . . . respectivement égaux aux arcs EF, FG,... on élèvera les perpendiculaires lA, cpB, yC,... égales à ces distances, et on aura ainsi la courbe ABC... qui provient de abc. . , par l’effet du développement.
Supposons que l’ordonnée f<.K corresponde à la projection mk, et qu’on demande la tangente au point K de la courbe ABC... On remarquera qu’il y a dans l'espace un triangle rectangle dont la projection est krm, dont l’hypoténuse est kr, dont un côté est égal à rM, et un autre égal à fjtK. Or la tangente demandée doit faire avec juK le même angle que kr avec la génératrice du
LIGNES COURBES EVEC LEUM TANGENTES. 183 cylindre : c’est pourquoi l’on prendra et pK
sera la tangente demandée.
Remarque. Lorsque la section est oblique aux génératrices , on trouve les projections de la courbe et de la tangente par des constructions semblables aux précédentes. Mais, pour rabattre la courbe sur le plan horizontal, il faut tracer les projections et construire les vraies grandeurs des perpendiculaires abaissées, des différents points de cette courbe, sur la trace horizontale du plan coupant. Quant au développement du cylindre, pour l’effectuer, il faudra chercher préalablement la section droite, et la développer en ligne droite, comme on l’a fait plus haut : les points de la section oblique devant toujours rester aux mêmes distances de la section droite , il sera fi^cile de les rapporter dans le développement.
119. Problème III. Section d un cône par un plan perpendiculaire au plan vertical.
Projections. Il est évident que la projection verticale de la section se confond avec la trace verticale du plan coupant/»^ (fig. III). Soient om, oW, les projections ■ d’une génératrice quelconque du cône, il est facile de trouver les projections «, de son intersection avec le plan pqjJ’., et, en répétant la construction pour autant de génératrices qu’on voudra , on obtiendra la projection horizontale efg. .. de la section conique.
laî cône représenté dans l’épure est droit et à base circulaire , sou axe est vertical, et les deux génératrices parallèles au plan vertical sont projetées, l’une en oa, dd, et l’autre en od^ dd! . Dans ce cas , on peut encore obtenir les points de la courbe efg... en coupant le cône
1 84 TnOISlàME PARTIE,
par des plans horizontaux ; soit^/*' la trace verticale d*un tel plan. Ce plan coupe le cône suivant un cercle dont la projection horizontale est un cercle décrit du centre o sur un diamètre égal à //«'; et il coupe le plan suivant une perpendiculaire au plan vertical, de laquelle on obtient facilement la projection horizontale nn^. Les points n et , où cette perpendiculaire coupe le cercle , appartiennent à la projection horizontale de la section conique. D’autres plans horizontaux feront trouver d’autres points. Il n’est pas inutile de remarquer que les points situés sur la ligne od\ perpendiculaire à xj-y peuvent être donnés par cette construction, tandis qu’ils échappent à la première.
Pour avoir la tangente au point n de la courbe efg . . . , menez à la base du cône la tangente /wr, qui est la trace horizontale du plan tangent au point [«, //] de la section conique. point r, où mr rencontre pq^ appartient à la tangente qui serait menée à la section conique au point [n, n'] ; donc nr est la projection de cette tangente , ou ce qui est la même chose , nr est tangente à la projection efg... de la section conique ( 113 ).
Vraie grandeur. Qu’on rabatte la courbe sur le plan vertical ou sur le plan horizontal , les constnictions sont les mêmes que dans le problème précédent. Avec les données que nous avons choisies, on obtient une ellipse dont le gi-and axe est égal à dU. On en trouverait le petit axe en cherchant les points de la courbe qui ont leur projection verticale située au milieu de éU., ce qui ne peut offrir «aucune difficulté.
Développement. Dans l’hypothèse de la figure , c’està-dire en supposant le cône droit, imaginez qu’on ouvi’e
LIGNES COURBES AVEC LEURS TANGENTES. 185 ce cône suivant l’arête correspondante au point aetqu’on le développe sur un plan. Tous les points de la base abc . . . étant à une distance du sommet égale a dd devront se placer sur un arc de cercle décrit avec le rayon dd et intercepter entre eux, sur cet arc, des parties de même longueur que sur la circonféiencc abc... Soit«|3y... un arc décrit avec le rayon u)»=dd : supposez que la circonférence abc... ait été préalablement divisée en arcs tels que «ô, ôc,... subdivisez ces arcs en parties assez petites pour être regardées comme des lignes droites, et portez ces parties sur l’arc «/3y... 11 est facile d’avoir ainsi les arcs «P, /3y,... qui seront sensiblement égaux aux arcs ab, bc,... et il est clair que par l’effet du développement les génératrices correspondantes aux points a, b, c,... viendront coïncider avec 6>a, tojS, wy,...
Les points de la section conique, situés sur ces génératrices, ne doivent pas changer de distances par rapport au sommet : or, il est évident que ces distances sont données sur la ligne dd, entre le point d et les parallèles menées à xj- par les projections d , f , donc ,
si on porte ces distances en me, u'f, wjr,... on déterminera la courbe E(pj^..., en laquelle se transforme la section conique après que le cône est développé.
I..a tangente s’obtient, comme dans le cas du cylindre, en observant qu’avant et après le développement, chaque élément de la section conique doit toujoiu’s faire le même angle avec la génératrice contiguë. Supposons, par exemple, que le point v corresponde au point [/t, z/] de la section conique. La tangente en ce dernier point -est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont un côté est . mr, et dont l’autre côté , qui est projeté en mn , a pour
i86 TROISIÈME PARTIR,
vraie grandeur p ; donc , si on élève à p la perpendiculaire P égale à /«r, et si on joint les points v et p, la droite yp sera tangente .à la nouvelle courbe e<px”-
Dans le cas d’un cône quelconque, le développement ne se ferait plus au moyen d’un secteur de cercle tel (|ue &)««,. Alors ce qu’il y a de plus simple, c'est départager la base abc... en parties très-petites, de regarder ces parties comme des lignes droites, et le cône conune une pyramide. On peut avoir facilement les trois côtés «le chacune des faces de cette pyramide : en pourra donc construire toutes ces faces successivement, et obtenir ainsi le développement du cône. Il est «'gaiement facile d’avoir les distances du sommet du cône aux düTérents points «le la section conique , et , par suite , de trouver la courbe produite dans le développement par cette section. Et quant à la tangente , on la détermine en construisant sur py un triangle obiiquangle dont un côté p est encorc égal à /n/', mais dont le troisième côté vp se conclut de ses deux projections nr et riq.
Remarque. C’est pour plus de simplicité que, dans l’énoncé , on a suppose le plan coupant perpendiculaire au plan vertical. En lui donnant une position quelconque les constructions deviennent plus compliquées, sans être plus difficiles.
120. Problème IV. Intersection dun cône et dun plan, dans le cas où la courbe d’intersection a des nsjrmpiotes.
Le plan coupant pqp! (fig. IV) étant toujours perpendiculaire au plan vertical, supposons qu’un plan parallèle V/7|'/n, mené par le sommet, coupe le c»ne suivant
les deux génératrices [om , of/n'^ et [on , dnil'\ . Les génératrices très-voisines de celles-ci sont encore rencontrées par le plan pqp', mais elles le sont à des distances trèsgrandes; de sorte que celles qui sont dans le plan mrrld doivent être considérées comme rencontrées endes points infiniment éloignés. De là on conclut que la section conique doit avoir des branches infinies. D’ailleurs, toutes les constructions du problème pi’écédent doivent se répéter ici. Dans l’épui'e, c’est encore un cône droit qu’on a pi'is pour exemple, et la section est une hyperbole. On n’en a fait le rabattement que sur le plan vertical , et on ii’a développé que la nappe inférieure du cône.
L’objet principal que nous nous proposons est de déterminer les asymptotes de la courbe, c’est-à-dire, en d’autres termes, les tangentes aux points infiniment éloignés , lesquels sont situés sur les génératrices parallèles au plan ptjff- Or, si on imagine qu’une tangente quelconque ait été menée à la courbe et que le point de contact s’éloigne indéfiniment, cette tangente, à la limite , deviendra une asymptote ; par conséquent on doit appliquer à la détermination des asymptotes exactement les mêmes constructions que pour toute autre tangente , et c’est ce que nous allons faire.
La tangente en un point quelconque de la section conique est l’intersection du plan pq/i avec le plan tangent mené au cône , suivant la généi’atrice qui contient le point de contact (113). C’est pourquoi je mène, à la base abc. . . , les tangentes mr et ns, qui seront les traces horizontales des plans tangents passant par les génératrices sur lesquelles sont les points de la courbe situés à i’infini (79); et les points r et s, où ces traces rencon-
^88 TKOISlfeME PARXrE.
trent pq, appartiennent aux asymptotes. Alors, pour , avoir les asymptotes, on doit joindi-e ces points aux points de contact, c’est-à-dire qu’il faut mener, par les points retJ, des parallèles aux génératrices [om, oW] et \jm, dni^ ; par conséquent , en menant rr, et ss^ parallèles à o/n et o/i, on a les projections horizontales des asymptotes. Ensuite , on en conclut aisément les asymptotes RR,, SS,, à la courbe rabattue en vraie grandeur; et aussi les asymptotes 9p , 6<j , à la courbe produite dans le développement par la section conique.
121. Phoblème V. Section dune surface de re'volution par un plan. On appliquera les constructions à la surface gauche de révolution.
Menez une suite de plans perpendiculaires à l’axe et aussi rapprochés que vous voudrez : chacun d’eux coupera le plan donné suivant une droite, et la surface de révolution suivant un cercle. Les points communs à la droite et au cercle appartiendront à l’intersection cherchée.
Je pi’endrai la surface gauche de révolution poui' exemple , ainsi que le prescrit l’énoncé , et je choisirai les données comme l’indique la figure V. L’axe est vertical, sa projection horizontale est le point o, et sa projection verticale est la ligne dd’ \ la génératrice, prise dans la position où elle est parallèle au plan vertical, a pour projections ah et dl)., ou bien ac et dd\ enfin le plan coupant pqiJ est perpendiculaire au plan vertical. Selon la position de ce plan , la section peut être une ellipse , .ou une hyperbole, ou une parabole; et il y a un moyen .facile de reconnaître laquelle de ces trois courbes on doit
LIGNES COURBES AVEC LEURS TANGENTES. 180 avoir. D’après le scolie II du n" 70, on transportera la génératrice de la surface gauche parallèlement à ellemême en un point de l’axe, par exemple, au point projeté en rt'; on supposera alors qu’elle décrit un cône autour de l’axe; on mènera par le sommet un plan parallèle au plan donné; et, selon que ce plan parallèle coupe le cône en un point, ou suivant deux droites, ou suivant une seule, on juge que la section cherchée est une ellipse, une hyperbole, ou une parabole. Dans le cas de la figure, c’est une ellipse qu’on doit trouver.
Si on mène or parallèle à xj, il est clair que la droite projetée en or et dq divise la courbe cherchée en deux parties symétriques, c’est-à-dire qu’elle est un axe de la courbe : je vais déterminer d’abord les points de la courbe qui sont situés sur cet axe et qu’on nomme sommets. Imaginez que la ligne [ou, o'<jr] engendre un cône droit autour de l’axe de révolution; chaque sommet décrit un parallèle de la surface gauche et se transporte successivement sur toutes les génératrices de cette surface. Quand il est sur la génératrice {ab, dlf\, la ligne [ou, dq^ doit être dans le plan conduit par cette génératrice et par le point [o, oQ. Or, en menant la parallèle [oi, df\ à [oô, cHf\, on trouve pour ce plan la trace horizontale hz, qui rencontre en u et en v le cercle décrit avec le rayon or : de là on conclut que la ligne [ou, c'y] , en tournant, peut occuper dans ce plan deux situations différentes , lesquelles ont pour projections horizontales ou et oc. Alors elle coupe la génératrice \ab, dU~\ en des points projetés en </et e; et ces points sont les positions (|ue les sommets cherchés doivent occuper sur cette génératrice. Il n’y a donc plus qu’à faire tourner ou et oc
Digiüzet: \ ; Googic
<90 XaOISllîMK PABTIB. i . ' .
pour ramener les points « et en /•; et alors dt\.e iront prendre position en f et g, les points /el g- seront les projections horizontales des sommets cherchés , et on en conclura les projections verticales f et
C’est entre ces deux sommets que doivent être menés les plans horizontaux (jui servent à trouver les points de la courbe. Soit, par exemple, Hü la trace verticale d’un de ces plans : on détermine facilement les projections horizontales, M,etf, de ses intersections avec le pian pqp' et avec la droite \ab, dlf\. Donc, en décrivant une circonférence du centre o avec le rayon oi, on aura la projection horizontale du cercle suivant lequel le plan auxiliaire coupe la surface gauche. Les points h,h^,ou cette circonférence est rencontrée par la ligne hh ^ , appartiennent à la projection horizontale de la courbe cherchée.
Pour avoir la tangente en un point quelconque [A, A'], on détermine, par la méthode connue n® 97, la trace horizontale du plan tangent à la surface ; le point t, où cette trace coupe pq, appartient à la tangente, et en joignant tA on a la projection horizontale de cette tangente.
Quant au rabattement, il se trouve comme dans les problèmes précédents : c’est la courbe FUGH,.
Remarque. La construction employée pour déterminer les sommets mérite d’être soigneusement remarquée. Elle donne la solution de cette question : Trouver les points d’intersection d’une surface gauche de révolution avec une droite quelconque menée par un point de l’axe.
122. Problèms VI. Section de la surface gauche de révolution par un plan , dans le cas où cette section est une hyperbole. Détermination des asymptotes. '
LIGNES COTIBBES AVEC LEDRS TANGENTES. 491
Le moyen de reconnaître si la section est une hypei"hole a été indiqué : je suppose que ce cas soit celui de la figure VI et que d’ailleurs les données aient la même disposition que dans la précédente. La droite [or, dff\ est encore un axe de la courbe d’intersection ; on détermine de la même manière les sommets ^ >
et c’est en dehors de ces points qu’on doit mener les plans horizontaux dont on se sert pour trouver des points de la courbe. '
La seule particularité propre au cas qui nous occupe est la détermination des asymptotes , c’est-à-dire des tangentes dont le contact est à l’inHni. Or, un point quelconque de la courljc résulte de l’intei'section du plan donné pqp! avec une génératrice de la surface , et on obtient la tangente en prenant l’intersection du plan tangent en ce point avec le plan l>q]J • Ces constructions sont donc celles qu’il faut appliquer aux points situés à l'infini. Ces points étant donnés par les génératrices qui sont parallèles au plan il faut d’abord déterminer ces lignes.
La construction employée pour reconnaître que la section est une hyperbole facilite cette détermination. Supposons que le point [o, a'] soit le sommet du cône décrit autour de l’axe par une parallèle à la génératrice \ab, ciÜ'\ , et que drrim soit le plan mené par le sommet parallèlement à pq [^ ; c’est parce que ce plan coupe le cône suivant deux droites qu’on est assuré que le plan donné rencontre la surface gauche suivant une hyperbole (70). Traçons la base du cône, et déterminons les projections horizontales om et on de ces deux droites. Chaque génératrice de la surface gauche doit avoir sâ
^ 92 TBOISrèMK PAJtTlE. ‘ • '
parallèle sur le cône (68); donc celles qui sont parallèles au plan pqfJ le sont aussi aux deux droites dont il s'agit ; donc on aura leurs projections horizontales en menant des tangentes au collier respectivement parallèles à om et à on.
Maintenant qu’on connaît sur la surface gauche les génératrices qui sont rencontrées par le plan pqjj en des points infiniment éloignés, il faut, pour avoir les asymptotes , appliquer à ces points les constructions générales qui servent à trouver une tangente quelconque. Les deux génératrices dont les projections sont parallèles à ont doivent être considérées comme concourantes à l’infini , et les points h et t, où elles percent le plan horizontal, déterminent la trace horizontale hi du plan tangent au pointde concours. La tangente à l’hyperbole en ce point, ou , en d’autres termes , l’une des asymptotes cherchées ' est l’intersection de ce plan tangent avec le plan pqjfÿ donc le point s, on hi rencontre pq^ appartient à cette asymptote. Pour avoir cette asymptote, il reste à joindrez avec le point de contact, c’est-à-dire qu’il faut mener une parallèle aux génératrices qui contiennent ce point ; donc la droite ss^, parallèle à om, est la projection horizontale de l'une des asymptotes. Semblablement, on trouve tt„ pour celle de l’autre asymptote. Les projections verticales de ces lignes sont sur ç//, et leurs rabattements sont SS, et TT,.
Remarques. Les points m, h, i sont en ligne droite ; et la raison en est que les trois droites parallèles qui aboutissent à ces points rencontrent le plan du collier sur un même diamètre. Sur quoi l'on peut remarquer que les plans tangents à la surface gauche ont pour li-
LIGNES COüMES AVEC LEÜRS TANGENTES. 193 mites les plans tangents au cône. Les points k,l sont aussi en ligne droite.
En rapprochant suffisamment le plan pqjj du point il couperait le cercle du collier, et alors les branches de l’hyperbole ne seraient plus rencontrées par la droite [or y d<î\ .^\d.rd parallèle à dq coïncidait avec dé ouavec dVy la section serait une parabole. Ces cas n’offrant aucune difficulté, je ne m’arrête pas à les développer.
Intersections des surfaces courbes entre elles.
