THioBÉirE n (fig. 3). TVois points A, B, C, non en ligne

droite, déterminent un plan. '

Prenez un plan à volonté , tracez-y une droite , puis changez la position de ce plan de telle sorte que cette droite vienne passer par les points A et B. Il est évident qu’on peut encore faire tourner ce plan autour de la droite AB de manière qu’il vienne passer au point C , mais que si on continue de le faire tourner il quittera le point C. Donc on peut faire passer un plan par les trois points A , B , C , et on n’en peut faire passer qu’un.

Corollaire I (fig. 4) . Deux droites qui se coupent sont dans un plan , et elles en déteti(nincnt la position. Soit E le point de rencontre des deux droites , et soient A et D deux points pris respectivement sui‘ chacune d’elles. Pour qu’un plan contienne les deux droites , il doit jiasser aux points A , E , D : or , on vient de voir qu’il y a un plan qui remplit cette condition , et qu’il n’y en a qu’un.

Con/llaire II. Deux droites parallèles déterminent la position

d’un plan. On sait déjà que deux droites parallèles sont toujours dans un même plan. Mais s’il y avait deiLx plans passant par ces droites , il est clair qu’en prenant un point sur l’une d’cUes , et deux sur l’autre , on aui'ait trois points , non en ligne droite , par lesquels on pourrait mener deu.x plans

10. TBÉoBiMK 111 (fig. 5). Deux plans se coupent suivant une ligne droite.

Soit un point A commun à deux plans MK, FQ. Dans le plan PQ , par le point A , menez deux droites BC , DE. Au-dessus du plan MK , prenez le point B sur la première droite ; au-dessous , prenez le point £ sur la seconde ; enfin lirez la droite BË. La ligne BE est tout entière dans le plan PQ , puisqu’elle y a deux points ; et elle doit rencontrer le plan MN , puisqu’elle est en partie audessus de ce plan et en partie au-dessous. Soit 1 le point d’intersection, la droite menée par les jmints A et 1 sei'a commune aux deux plans ; car elle aura deux points , A et I , dans chacun d’eux. Hors de cette ligne , les plans n’ont pas de point commun ; autrement , on pourrait mener deux plans dilTércnts par trois points non en ligne droite. Donc l’intersection de deux plans est une ligne droite.

H -est d’ailleurs évident que chaque plan est divisé en deux

parties, placées de côtés difTérents par rapport à l’autre.

' Sur la droite perpendiculaire au plan.

11. TnioaiME IV (fig. 6). Si une droite AB est perpendiculaire à deux droites BC et BD , qui passent par son pied dans un plan MK , elle sera perpendiculaire au plan MK.

Pour démontrer cette proposition , il faut prouver que la droite AB est perpendiculaire à toute autre droite BE , menée par son pied dans ce plan (2) . A cet effet , prolongez AB , de l’autre côté du plan , d’une quantité BH = AB ; menez la droite CD , qui coupe les lignes BC , BD , BE en C , D , E ; enfin , tirez CA , DA , EA, CH, DH, EH.

L’angle ABC étant droit par hypothè-se , il s’ensuit que BC est perpendiculaire au milieu de AH ; donc , AC= HC. Par une raison scmhlable on a AD=HD. Les triangles ACD, UCD sont donc tHpiilatéraux entre eux, et par suite l’angle ACE = HCE. JL résulte de là que les triangles ACE, HCE sont égaux comine ayant un angle égal compris entre deu.x côtés égaux , chaciui à cbamii ;

ISTEODÜCTION.

donc AE = HE. Les triangles ÂBE, HBE sont donc équilatéraux entre eux, et par conséquent les angles ABE, HBE sont égaux. Or , ces angles sont adjacents ; donc ils sont droits ; donc AB est perpendiculaire à BE. C’est ce qit’il fallait démontrer.

12. TaioaiMK V. Par un point donné on peut toujours mener une droite perpendiculaire à un plan, mais on n’en peut mener qu’une.

Il y a deux cas à considérer , selon que le point donné est dans le plan on hors du plan.

Premier cas (fig. 7). Soit A le point donné sur le plan MN. Tracez dans ce plan la droite BC à volonté , de manière cependant qu’elle ne passe pas au point A. Menez AB perpendiailaire à BC ; suivant BC concevez un plan quelconque , et menez dans ce plan une perpendiculaire BH à BC ; enfin , par AB et BH imaginez encore un plan , et dans ce plan élevez AH perpendiculaire à AB. Je dis que AH est perpendiculaire au plan MN.

Du point A à la ligne BC , menez une droite quelconque AC. Soit H l'intersection de AH avec BH ; prolongez HA d’ime quantité AI = AH; tirez CH, CI, BI. Par construction , la ligne BC est perpendiculaire à BA et à BH ; donc elle l’est au plan HBI ; donc l’angle CBI est droit. Par constmetion aussi , la ligne AB est perpendiculaire au milieu de HI ; donc BH = BI. Il suit de là que les triangles BCH et BCI sont égaux : donc CH = CI ; donc AC est jwrpendiculaire sur HI. Ainsi , la droite AH est perpendiculaire aux deux droites AC et AB ; donc elle l’est an plan MN.

Cette perpendiculaire est la seule qu’on puisse élever au plan MN par le point A. S’il y en avait xme autre , AU, on pourrait, par AH et AR , conduire un plan qui couperait le plan MN suivant une droite AS. Or, les lignes AH et AR, étant perpendiculaires au plan MN , devraient l’étre à AS (2) ; donc , dans le même plan HAS, par un meme point, on^poiumit mener deux perpendiculaires à une même droite , ce qui est impossible.

Second cas (fig. 7). Soit H un point donné how du plan MN. Dans ce plan menez une droite quelconque BC ; abaissez HB perpendiculaire à BC ; dans Iç plan MN menez BA per|>endiculaire à BC; enfin, abaissez HA perpendiculaire à BA ; cette ligne IIA sera pcr})endiciilaire an planMN. La démonstration étant exactement la même que dans le premier cas , n’a pas besoin d’être répétée.

De plus , la perpendiculaire BA est la seule qu'un puisse abaisser

IKTRODÜCnOIf.

du point H sur le plan MN ; car , s’il y en avait une autre, HS , le triangle HÂS aurait deux angles droits , HAS et HSA.

15. THiU>&)bfE ’V'I (fig. 8). La perpendiculaire AB, abaissée d'un point A sur un plan MN , est la ligne la plus courte entre le point et le plan.

Car , si on mène toute autre droite AC , et qu’on joigne BC , le triangle ABC sera rectangle en B, et par conséquent on aura AB<AC.

Scolie. C’est la perpendiculaire AB qui mesure la distance du point A BU plan MN.

14. Th^kèhs Vn. Par un point donné on peut mener un plan perpendiculaire h une droite; mais on n’en peut mener qu’un seul.

Premier cas (fig. 9). Si le point donné O est sur la droite AB , menez deux plans par cette droite , et dans ces plans élevez les perpcndiculaii-es OC, OD, à AB; le plan MN, conduit suivant OC et OD, sera perpendiculaire à la droite AB. En effet, AB est perpendiculaire à deux droites qui passent à son pied dans le plan MN ; donc elle est perpendkulaii'e à ce plan ; donc , réciproquement, le plan MN est perpendiculaire à AB.

Aucun autre plan MR passant par le {x>int O n’est perpendiculaire sur AB : car si le plan MR était perpendlculaiie à AB , on IKnuTait mener ])ar AB un plan qui couperait les deux plans MN et MR suivant deux droites , telles que OK , OF ; et la droite AB , étant per|)endiculaire aux deux plans , devrait l’être à ces deux lignes. Donc , dans le plan AB£ , les droites OE et OF , paitant du meme point O , seraient |>erpendiculaires à AB , ce qui est imjKMsible.

Second cas (fig. 10). Supposons le point donné O hors de la droite AB. Abaissez d’abord OC perpendiculaire à AB, et ensuite menez une autre perpendiculaire CD à AB : le plan MN , conduit suivant OC et CD , sera perpendiculaire à AB. Même raisonnement que ci-dessus.

Aucun autre plan OR, passant au point O, n’est |>erpendiciilaire à AB. En effet , un plan conduit par le point O et par la droite AB couperait les plans MN et OR suivant deux droites , OC et OE, partant du jioint O et perpendiculaires à AB, ce qui est impossible.

15. THXoaÈMK VIII (fig. 11). Toutes les perpendiculaires BC ,

raTHODtTCTIOWi

BD , BE élevées au même point B d’une droite AB , sont com-

prises dans un plan MN , perpendiculaire à cette droite au point B.

Si BC , par exenij)le, n’est j>as dans le plan MN , menez par AB et BC un plan qui coupe le plan MN suivant une droite BC. Puisque la droite AB est (>erpendiculaire au plau MN , elle doit l’ètre à BC' ; donc , au point B , dans le même plan ABC , il y aurait deux perpendiculaires BC, BC, à la droite AB, ce qui est impossible. Donc BC est dans le plan MN. La même conclusion doit s’appliquer aux autres droites BD , BE , etc.

16 . Théoeème IX (fig. 12). Lorsqu’un plan est perpendiculaire au milieu C d’une droite AB , chaque point de ce plan est également éloigné des deux extrémités de la droite, et tout point pris hors du plan , en est inégalement éloigné.

D’un point quelconque H , pris dans le plan MN , tirez AH , BH ,

* CH. Les deux triangles ACH, BCH, sont rectangles et égaux; donc AH = BH ; donc chaque point du plan est également dis- . tant des points A et B.

Soit I un point pris hors du plan MN, tirez AI et BI. La ligne AI rencontre le plan MN en un point H ; tirez BH. Le point H appartenant au plan MN , on a AH =BH : mais on a BI<BH -(- HI ; donc aussi BI<AH-f-HI, ou BI<AI; donc, tout point pris hors du plan MN est inégalement éloigné de A et de B.

Sur les obliques à un plan.

17 . THiottÉMB X (Cg. 13). Les obliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales ; et, de deux obliques inégalement éloignées de la pcrj>endiculaire , celle qui s’ en éloigne le moins est la plus courte.

Supposons que AB soit une perpendiculaire au plan MN , et que AC, AD, AE, soient des obliques partant du même point A. Tirez BC , BD , BE.

Soit BC = BD : les triangles rectangles ABC et ABD sont égaux ; donc AC=AD. Donc les obliques également écartées de la perpendiculaire sont égales.

Soit BC<;BE ; sur BE jirenez BF=BC. L’oblique AF est égale à AC. Alais AF et AE étant dans un même plan avec la ligne AB perpendiculaire sur BE, on a AF<C[AE; donc aussi AC<AE. Donc l’oblique la plus rapprochée de la perpendiculaire est la plus courte.

nmioDüCTioN.

Corollaire. On déduit de là un moyen d’abaisser une perpendiculaire du point A sur le plan MN. Prenez une droite rigide suffisamment longue, etj fixant une de ses extrémités au point A, marquez avec l’autre extrémité trois points , C , D , F , sur le plan MN. D’après cette eonstrucüon , les droites AC , AD , AF sont des obliques égales; donc les points C, D, F sont également éloignés du pied de la perpendiculaire demandée; donc le centre du cercle décrit par ces trois points est le pied de cette perpendiculaire.

18 . THZoBübcB XI (fig. 14). Si d’un point quelconque d’une droite AB , oblique à un plan MN , on abaisse une perpendiculaire AC sur ce plan, et qu’on joigne le pied de l’oblique et celui de la perpendiculaire par une droite BC , l’oblique fera avec cette droite un angle ABC moindre qu’avec toute autre ligne BD menée a son pied dans le plan.

Il s’agit de démontrer que l’angle ABC est moindre que ABD. A cet effet, prenez BD = BC et joignez AD. La perpendiculaire AC est plus courte que AD ; ainsi les côtés AB, BC, du triangle ABC , sont égaux aux côtés AB , BD du triangle ABD , et le troisième côté AC est moindre que AD ; donc l’angle ABC est moindre que ABD.

Corollaire I. A cause de cette propriété , on est convenu de prendre l’angle ABC pour mesurer l’inclinaison de l’oblique AB sur le plan MN.

Corollaire H. Si on abaisse la perpendiculaire au plan JIN par tout autre point de l’oblique AB , le pied de cette perpendiculaire devra tomber sur BC. En effet , d’après le théorème qu’on vient de démontrer, la droite qui joint ce pied avec le point B doit faire avec AB un angle moindre que toute autre droite menée par le point B dans le plan MN ; donc cette droite coïncide avec BC.

19. Théohème XII (fig. 15). Si une droite AB est perpendiculaire h un plan MN, si du pied de cette ligne on mène BE perpendiculaire à la droite CD située dans le plan MN , et si on joint les points A Cf E , la droite AE , qui est oblique h l’égard du plan, sera ])crpendiculaire à CD.

Prenez EC = ED, et tirez BC, BD, AC, AD. Puisque BEcst perpendiculaire à CD, et que EC est égale à ED, on a BC = BD, Or, de ce que AB est perpendiculaire au plan MN , et BC égale à BD , il en résulte que l’obUque AC = AD ; donc chacun des points

INTRODCCnOH.

A et E est également distant de C et de D ; donc AE est perpendiculaire à CD.

Droites parallèles dans l'espace.

20. Thkosèmk Xni (fig. 16). Par un point on ne peut mener dans l'espace qu’une seule parallèle à une droite donnée.

Si ]>ar le point C il y avait deux parallèles CD et CE , à la droite AB , chacune d'elles devrait être dans le plan conduit par la droite AB et par le point C ; donc , dans im plan , deux parallèles à une droite passeraient par le même point, ce qui est impossible.

Corollaire. Si deux droites sont parallèles , le plan mené par l’une d’elles et par un point de l’autre contient celle-ci tout entière.

21. THKoaiMB XIV (ûg. 17). Deux droites parallèles sont per^ pendiculaitvs aux memes plans.

C’est-à-dire que si AB est perpendiculaire au plan MN , la droite CD , parallèle à AB , sera aussi perpendiculaire à ce plan.

Par les parallèles AB et CD concevez un plan , et soit BD son intersection avec le plan 1V1N ; dans le plan MN , menez DE perpendiculab-e à BD; joignez AD. En vertu du théorème XII, AD est per{>endiculaire à DE; donc DE est perpendiculaire aux deux droites DB et DA , et par suite au plan ABDC des deux parallèles. Il suit de là que l’angle CDE est droit. Mais , à cause que CD est j>arallèle à la perpendiculaire AB , l’angle CDB est droit aussi ; donc CD est perpendiculaire aux deux lignes DE, DB ; donc elle est perpendiculaire au plan MN.

22. THiosKHE XV (fig. 17). Deux droites AB , CD , perpendiculaires au même plan MN, sont parallèles entre elles.

Si CD n’est point parallèle à AB , soit DR une parallèle à AB ; d’après le théorème précédent, DR serait perpendiculaire au plan MN ; donc il y aurait au point D deux perpendiculaires au phui MN, ce qui est impossible (12).

25. THéoaÈMxXVI (fig. 18). Deux droites A et B, parallèles à une troisième C , sont parallèles entre elles.

Menez un plan PQ perpendiculaire à la droite C. Les droites A et B étant parallèles à C, sont perpendiculaires au plan PQ (21) : or, de ce qu’elles sont perpendiculaires à ce plan, il s’ensuit qu’elles sont parallèles entre elles (22).

Corollaire (fig. 19). Si , par deux parallèles AB et CD , on mène deux plans qui $e cou[>ent, l’intersection EF est parallèle à ces

lîtTBODÜCnOW.

droites. En effet , par un point £ , pris sur EF , nienes dans le plan AF une parallèle à AB ; elle devra être parallèle îk CD, et par conséquent elle sera aussi dans le plan DE (SO) ; donc die n’est autre que l’intersection EF.

Droite et plan parallèles.

84. ThéokèmeXVII (fig. 20). Toute droite CD, parallèle à une droite AB située dans un plan MN , est parallèle à ce plan.

Puisque les lignes AB et CD son parallèles , elles sont dans un plan dont l’intersection avec le plan MN est la droite AB ; donc , si CD rencontrait le plan MN , ce ne pourrait être qu’en un point de la droite AB. Mais alors CD ne serait point parallèle à AB , ce qui est contre la supposition.

85. Théorèjte XVni (fig. 21). .9/ une droite AB est perpendiculaire à un plan MN , toute droite AC perpendiculaire à AB sera parallèle au plan MN.

La ligne AB étant perpendiculaire au plan MN , et AC étant perpendiculaire à AB , si AC rencontrait le plan MN , on pourrait joindre le point d’intersection O avec le point B , et former rin triangle OAB qui aurait deux angles droits , ce qui est absurde ; donc la droite AC est parallèle au plan MN.

86. TuioaèME XIX (fig. 20). Drrsqu’une droite CD est parallèle à un plan MN , si on fait j>asser un plan CDB par cette droite , l’intersection AB des deux plans sera parallèle à la droite CD.

Puisque la ligne CD est parallèle an plan MN , elle ne doit pas rencontrer AB. D’ailleurs elle est dans un même plan avec AB; donc elle est parallèle à AB.

Corollaire I. La droite CD étant parallèle au plan MN , une parallèle AB à CD , menée par nn point A du plan MN , est tout entière dai» ce plan. S’il en était autrement , le plan des pai'allèles AB , CD , couperait le plan MN suivant une di'oite passant an [loint A, et qui, d’après le théorème précédent, serait parallèle à AB ; donc , dans un même plan , par le même jx>int , il y aurait deux |)arallèles à CD , ce qui est imjmssible.

Corollaire II. Une droite ])arallèle à deiux plans qui se coupent" est ]>arallèle à leur intersection. En effet , si par un point de l’intersection on mène une parallèle à la droite , cette pai'allèlc sera contenue dans chacun des deux ]>lans (corollaire précédent) ; donc elle n’est autre que leur intersection.

niTBODOCnON.

S7. TnioKiiR XX (fig. 20). Let pamllêUt AC y BD, compritts entre une droite et un plan parallèles, sont égales.

Le plan des deux parallèles coupe le plan MN suivant une droite ÂB parallèle à CD ; donc la figure ABDG est un parallélogramme; donc AC = BD.

Corollaire. Si AC et BD sont perpendiculaires au plan MN , ces lignes sont parallèles entre elles , et les angles A , B , C , D sont droits. Comme on a toujours AC = BD, on conclut cpèune droite parallèle h un plan est partout à égale distance de ce plan.

Plans parallèles entre eux.

28. TnéonÈME XXI (fig. 22). Lorsque deux plans MN, PQ sont perpendiculaires à une meme droite AB , ils sont parallèles entre eux

Supposons que les plans MN, PQ puissent se rencontrer, et soit O un point de leur intersection : des points A et B , ou ils coupent AB, tirez les droites OA, OB. La ligne AB étant perpendiculaire aux deux plans , les angles A et B du triangle OAB seraient droits, ce qui est impossible. Donc les plans ne se rencontrent point; donc ils sont parallèles

29. ThéohèmxXXII (fig. 23). Les droites AB et CD, résultant des intersections de deux plans parallèles, MN et PQ , avec un troisième plan, RS , sont parallèles entre elles.

En elTet, les droites AB, CD ne peuvent se rencontrer ; autrement, les plans MN et PQ se rencontreraient et ne seraient point parallèles. D’ailleurs ces droites sont dans un même plan RS ; donc •lies sont parallèles.

Corollaire (fig. 24). Par un point A on ne peut mener qu’un seul plan parallèle à un plan donné MN. Supposons qu’on en puisse mener deux PQ et PR. Conduisez un plan quelconque par le point A , et soient AB , AC , DE scs intersections avec les plans PQ , PR, MN. En vertu du théorème précédent, chacune des droites AB et AC devrait être parallèle à DE, ce qui est impossible.

30. TuioaiMB XXIH (fig. 25). Si deux plans MN et PQ sont parallèles, toute perpendiculaire AB à l’un deux est perpendiculaire à Vautre.

Supposons que AB soit perpendiculaire au plan MN. Par le point B menez à volonté la droite BC dans le plan PQ, et faites

nrraoDücnow.

passer un plan par AB et BC. L’intersection de ce plan avec MN sera une droite AD parallèle à BC (théorème précédent). Or, la ])erpendicu1aire AB au plan M!V est perpendiculaire à AD ; donc elle le sera aussi à la parallèle BC. Ainsi , la ligne AB est perpendiculaire à toute droite menée par son pied dans le plan PQ ; donc elle est perpendiculaire à ce plan.

51. TnioBiMc XXIV (fig. 26). Deux plans ,V et (^,parallèlet h un troisième, R, sont parallèles entre eux.

Menez une droite AC perpendiculaire an plan R , elle sera aussi perpendiculaire aux plans P et Q (50). Les plans P et Q sont donc perpendiculaires à la droite AC; donc ils sont parallèles (28).

52. THÉoaims XXV (fig. 27). Les parallèles AB, CD, comprises entre deux plans parallèles MN et PQ , sont égales.

Les plans MN et PQ sont coupés par celui des deux lignes AB , CD , suivant deux droites parallèles AC et BD ; donc la figure ABDC est un parallélogramme; donc AB = CD.

Corollaire. Si les lignes AB et CD sont perpendiculaires au plan NN , elles seront parallèles entre elles , et par consécpient égales ; donc deux plans parallèles sont partout également distants.

55. TBKoaèME XXVI (fig. 28). Si deux an^es, non situés dans le même plan , ont leurs c6tés parallèles et dirigés dans le même sens, ces an^es sont égaux et leurs plans sont parallèles .

Soient les droites AB , AC , respectivement parallèles à DE, DF ; prenez AB = DE, AC = DF, et tirez BC, EF, AD, BE, CF. Puisque AB est égale et jiarallèle à DE , la figure ABED est un parallélogramme ; donc BE est égale et parallèle à AD. De meme , puisque AC est égale et parallèle à DF , la droite CF est égale et |)arallèle à AD ; donc CF est égale et parallèle à BE , et par suite BC est égale à EF. Les triangles ABC , DEF sont donc équilatéraux entre eux ; donc l’angle BAC = EDF.

Je dis de plus que les plans ABC et DEF sont parallèles entre eux. Par le point D , menez un plan DE'F' parallèle au plan ABC, et soient E', F' les points où il coupe BE et CF. Les lignes AD , BE' , CF' seront égales , comme parallèles entre plans parallèles (52). Mais on a déjà AD=BE=CF; donc on aura BE=BE' et CF = CF'. 11 suit delà que le point E' coïncide avec E, lu point F' avec F, et le plan DE'F' avec DEF; donc le jdan DEF est parallèle au plan ABC.

IlfTBODIICTlOir.

Corollaire. Par deux droites AC, DE, non situées daits le même plan , on peut toujours faire passer deux plans parallèles entre eux. En effet, ayant pris ù volonté le point A sur l’iuie, et le point D sur l’autre , menez AB parallèle à DE , et DF parallèle à AC ; puis conduisez deux plans , l’un passant par les droites AB, AC, et l’autre par les droites DE, DF. En vertu du théorème qui vient d’être démontré, ces deux plans sont parallèles entre eux.

54. THÉoaiME XXVII (fig. 29). Trois plans parallèles intcrcrptcnt sur deux droites ipielcoiujucs , dans l’espace, des parties proportionnelles .

Supposons que trois plans parallèles P , Q , R coupent deux droites AC , DF aux points A , B , C , D , E , F ; je dis qu’on aura AB:BC;:DE;EF

Parallèlement à AC , menez DH qui rencontre les plans Q et R en G et U. Les droites GE et HF sont parallèles comme intersections des ]>lans parallèles Q et R par le plan DFH; donc DG:GH:;DE;EF. Mais on a DG=AB et GH = BC (32); donc AB : BC : : DE : EF.

Plans perpendiculaires entre eux,

55. Théorème XXVIII (fig. 30). Si une droite AB est perpendiculaire h un plan MN, et qu’un plan PQ soit mené suivant la droite AB, ce plan sera perpendiculaire à MN; et, réciproquement, le plan MN sera perpendiculaire à PQ.

D’après la définition (5), pour que le plan PQ soit perpendiculaire au plan MN , il faut démontrer qu’il contient les perpendiculaires élevées au plan MN par les différents points de l’intersection QR des deux plans Or, en quelque point de QR qu’on élève une perpendiculaire CD au plan MN , elle sera parallèle à AB (22) , et par conséquent située dans le plan PQ (20); donc le plan PQ est perpendiculaire au plan MN.

Réciprotpiement , je dis que le plan MN est perpendiculaire au plan PQ. Dans le jilan MN , menez CE perpendiculaire à QR , et joignez BC ; la ligne CE sera aussi perpendiculaire à BC (19). Puisque CE est peqjendiculaire à la fois aux lignes QR et BC , if s’ensuit que CE est perpendiculaire au plan PQ. Ainsi, on peut dire que toutes les perj)endiculaires élevées au plan PQ , par les différents points de la ligne QR , sont dans le plan MN ; donc le plan MN est perpendiculaire an plan PQ.

Corollaire I. Cette démonstration prouve que si deux plans sont perpendiculaires entre etix, toute droite menée dans Tun d’eux , perpendiculairement à l’intersection , est perpendiculaire à l’autre.

Corollaire II. Si trois droites , passant par un même point , sont perpendiculaires entre elles , chacune est perpendiculaire au plan des deux autres (11) i et les trois plans sont perpendiculaires entre enx.

56. Thkokkme XXIX (fig. 31). Quand deux plans MN et PQ sont perpendiculaires l'un h l'autre , toute perpendiculaire menée à l’un d’eux, à MN , par exemple, par un jtoint A de l’autre plan, est contenue dans ce dernier.

En effet , admettons qu’elle soit hors du plan PQ , et menons AC perpendiculaire à l’intersection QR. D’après la définition (5), la perpendiculaire élevée au plan MN par le point C doit être contenue dans le plan PQ. Or , cette ligne doit cti'e perpendiculaire à QR; donc elle n’est autre que AC. Ainsi, par le meme point A , on pourrait mener deux perpendiculaires au plan MN , ce qui est absurde.

Corollaire. Par une droite qui n’est ]x>int perpendiculaire à un plan , on ne peut mener tpi’un seul plan perpendiculaire à ce plan. Car , d’après le théorème ci-dessus , le plan perpendiculaire doit contenir , outre la droite donnée , la perpendictilaire abaissée sur le plan donné , |>ar un point qnelconqtie de la droite donnée : or, |>ar deux droites, on ne^ut faire passer qu’un seul plan.

57. Théobèmb XXX (fig. 32). L’intersection AB de deux plans, PQ et , perpendiculaires à un troisième, MN, est perpendictdaire h ce dernier.

Si par un point B , pris sur l’intersection AB , on mène nne perpendiculaire au plan MN , elle devra se trouver dans chacun des deux plans (56); donc elle n’est autre que l’intersection AB.

Corollaire I. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent , est perpendiculaire à leur intersection.

Corollaire II. Si trois plans sont perpendiculaires entre etix , l’intersection de deux quelconques de ces plans est pei'perwliculaire au troisième , et les trois intersections sont perpendiculaires enüe elles.