TaÉoaixE XXXI (Gg. 33). Deux plans AQ, CS, qui sont
urrsoDUCTioN.
perpendicukùrct à un troisième , MN , et <iui passent par deux droites parallèles, AB et CD , non perpendiculaires à ce plan, sont parallèles entre eux
Soient PQ et RS les intersections du plan MN avec les deux plans qui lui sont perpendiculaires : menez dans ces plans les droites AP, CR, respectivement perpendiculaires à PQ , RS. Ces droites seront perpendiculaires au plan MN, et par conséquent parallèles (S2); donc les angles BAP , DCR ont leurs côtés parallèles ; donc les plans AQ, CS sont parallèles (33).
Sur la plus courte distance de deux droites.
39. Théoeème XXXII (fig. 34). Étant données deux droites AB , CD , non situées dans le même plan : 1“ on peut toujours mener une droite perpendiculaire à la fois à chacune d’elles ; 2° on n’en peut mener qu’une ; 3° cette perpendiculaire est Ut plus courte distance entre les deux droites.
Par un point quelconque de la droite AB , menez A£ parallèle à CD , et conduisez le plan MN par AB et AE. D’un point quelconque de CD , abaissez DF perpendiculaire au plan MN , et dans ce plan , parallèlemenl à AE , menez FG qui rencontre AB en G. Enfin , menez GH parallèle à DF.
Les droites FG , CD , étant parallèles à AE , sont parallèles entre elles (23) ; donc GF est dans le même plan que CD et DF. Par suite GH , parallèle à DF , est aussi dans ce plan , et doit rencontrer CD. D’un autre côté, la ligne DF ayant été menée perpendiculaire au plan MN , sa parallèle GH est aussi perpendiculaire à ce plan (21) , et par conséquent aux droites AB , GF. Mais GF étant parallèle à CD , il s’ensuit que GH est perpendiculaire à CD. Donc 1° on peut mener une droite perpendiculaire à la fois aux deux droites AB, CD.
Supposons, s’il est possible, qu’une autre droite, IK, soit per^ pcndiculaire à ces deux droites. Si , dans le plan MN , on mène IL parallèle à AE , la ligue IK sera perpendiculaire à AB et à IL , et j)ar conséquent au plan MN. Mais si on mène, parallèlement à DF, la droite KO qui est dans le plan CDF , cette ligne sera aussi perpendiculab-e au plan MN : ainsi il y aurait deux perpendiculaires al>aissées du point K sur te plan MN, ce qui est impossible. Donc 2° il n’y a qu’une seule droite perpendiculaire à la fois sur AB et CD.
Quelle que soit la plus courte ligne qu’on puisse mener entre AB
et CD, elle doit être droite : autrement, sans changer set extrémités , on pourrait mener entre ces memes extrémités une ligne di'oite qui serait plus courte. Ensuite cette ligne droite ne peut être différente de GH. En effet , supposons que ce soit IK , et menons encore la parallèle KO à DE. La ligne KO serait perpendiculaire au plan MN , Kl serait une oblique , et on aurait KO Kl ; mais GH = KO (32); donc GH<(K1. Donc 3® la droite GH est la plus courte distance de £ à CD.
Des angles formés par les plans.
40. TuioaiMK XXXHl (fig. 35). Un an^e dièdre a pour mesure l’ange formé par les perpendiculaires menées dans les deux faces à un même point de l'arête.
U faut démontrer avant tout que l’angle des perpendiculaires est le meme en quelque point de l’aréte qu’il soit forme . Et, en effet , dans les faces BÂM , BAN , menez les |>erpendiculaires AH et BP, AN et BQ , sur l’arête AB : les droites AM et AN seront respectivement pai'allèles à BP et BQ ; donc l’angle MAN = PBQ (33).
11 faut prouver maintenant que l’angle des perpendiculaii'es varie dans le même rapport que l’angle des plans. Supposons que le plan BN, en tournant autour de AB, ait pris la position BAG , et qne la perpendiculaire AN se soit placée en AG. Comme le plan MAN est perpendiculaire à AB , la ligne AG doit être comprise dans ce plan (13). Cela posé , je dis qu’on aura toujours, entre les angles dièdres MABN et MABG , la proportion
[«] MABN :!«ABG:: MAN :MAG.
Considérons le cas où les angles MAN, MAG ont nne commune mesure , et représentons par m et n les nombres entiers qui ex- {>riment combien de fuis ils la contiennent , de telle sorte qu’on ait
MAN : MAG \ \m\n.
Portez cette commune mesure dans l’angle MAN autant de fois qu’elle y est contenue : cet an^^e sera partagé en m parties égales, et MAG en contiendra n. Menez des plans |>ar l'arête AB et par chacune des divisions Ax, Ajr, kz,-.. de l’angle MAN. De cette manière l’angle dièdre MABN sera décom|K>sé en m parties. Or , en prenant l’ime de ces parties, MABr , par exemple , et la faisant tourner autour de AB , il est évident que l’angle MAx ne quittera point k plan MAN , qu’il ira se placer successivement sur chacun
des angles partiels J’-V'* jAG,... et que |>ar suite l'angle dièdre MABx coïncidera lui-même , successivement , avec chacun de ceux qui composent l’angle dièdre MABÎÎ. L’angle dièdre MABN contient donc m fois l’angle partiel MABx , et l’angle dièdre MABG le contient n fois ; donc
MABN ; MABG y.mln.
En comparant cette proportion avec la précédente , il vient MABN : MABG 1 ! MAN : MAG ;
donc la proportion [<i] est démontrée pour le cas où les angles MAN , MAG sont commensurables.
Quand les angles MAN , MAG sont incommensurables , on peut , au moyen du raisonnement connu sous le nom de réduction à l’absurde, faire voir que la proportion [a] est encore vraie ; donc , dans tons les cas , l’angle dièdre est mesuré par l’angle des perpendiculaires.
41. Scolic I. Dans le raisonnement connu auquel je viens de renvoyer pour le cas des incommensurables , la rigueur est plus apparente que réelle ; car on s’y appuie sur les propriétés des proportions, et, quand on établit ces propriétés, on considère toujours des rapports entre quantités commensurables. Cest poui^ quoi je proposerai ici une démonstration nouvelle , qui a d’ailleurs l’avantage d’embrasser les deux cas à la fois. Mais il faut auparavant donner du rapport une définition qui puisse s’appliquer aux grandeurs incommensurables.
Pour mieux fixer les idées , je supposerai qu’on ait à comparer deux lignes AB et CD (fig. 36). Portons la plus petite CD sur la plus grande AB ; soit a le nombre de fois qu’elle y est contenue , et EB le reste. Divisons ensuite CD en 2, 3 , 4,... parties égales , jusqu’à ce qu’on trouve une subdivision qui , étant portée sur AB , laisse un reste FB •< FB : soit «' le nombre de fois qu’elle est contenue dans AB , abstraction faite du reste FB , et soit p' le nombre de fois qu’elle est contenue dans CD. Divisons encore CD en un plus grand nombre de parties égales, jusqu’à ce qu’on en trouve une qui, portée sur AB, laisse un reste GB<FB , et désignons j>ar a" et p*' les nombres qui expriment combien de fois elle est comprise dans AB et CD. Concevons que l’on continue de diviser ainsi CD en parties égales de plus en plus petites , en ayant soin de s'arrêter, comme nous l’avons fait, aux subdivisions cpli, étant portées sur AB , laissent des restes de plus en plus petits. Les rap-
IMTROOtCTIOH. 17
)K>rts des longueurs A£, AF, AG,... à CD seront exprimés par a a' ^
Ces longueurs vont en croissant , et , selon que AB est commensurable ou incommensurable avec CD , on peut en trouver une qui soit ou exactement égale à AB ou aussi peu dilTcrente de AB qu’on voudra. En même teni{>s , les rapports ci-dessus vont aussi en croissant , et tendent évidemment vers une limite fixe , qui sera assignable exactement , ou dont on pourra approcher autant qu’on voudra. Or , quelle que soit cette limite , c’est elle qui est le rapport de AB à CD.
Cela jxisé , imaginons tpi’on ait divisé l’angle MAG (fig. 35) en P parties égales, et qu’une de ces parties ait pu être jKirtée sur MAN un nombre de fois a, le reste étant négligé. En menant des plans par l’aréte AB et pai‘ les lignes de division tracées dans le plan MAN , l’angle dièdre MABG sera divisé aussi en p parties égales, et l’angle dièdre MABN en contiendra a (avec un reste qu’on néglige). La même chose a lieu quand on décompose l’angle MAG en un plus grand nombre de parties égales ; et de là on conclut que si le rapport de MAN à MAG est la limite des fraca a’ oé'
tiens celui des angles dièdres MABN, MABG sera la
limite des mêmes fractions. Donc ces rapports sont égaux, et la proportion [a] est démontrée.
42. SroHe ü. Les fractions qui précèdent doivent être considérées comme des approximations du rapport qui en est la limite. Par la manière dont on les a trouvées, il est clair qu’elles sont moindres que ce rapport , et tpie chacune d’elles en est plus approchée qtie les précédentes , et meme plus approchée que toute valeur, qui, étant moindre que ce rapport, aurait un dénominateur moindre que la fraction sidvante. Ainsi, par exemple, en prenant pour dénominateurs les nombres p'-(- 1, p' 2 , etc., compris entre p' et p", on ne pourra trouver , parmi les fractions
moindres que le rapport , aucune fraction plus approchée que —
Si on applique la recherche du plus grand commun diviseur aux deux lignes données , si on forme une fraction continue avec les quotients , et si on calcule les réduites successives , on obtiendra ainsi des valeurs ajiprochées , les unes en défaut , les autres en excès; et , en ne conservant que les premières, elles devront SC trouver parmi celles que nous avons rapportées plus haut.
IIUTBODUCTIOW.
Entre ce* réduites , on |>eut placer des fractions intermédiaires , lesquelles, avec les réduites, ne seront autres que la suite des frac-
nonspp-,,^, etc.
Au lieu d’une suite composée de fractions moindres que le rap- |K)rt, on aurait pu prendre des valeurs approchées en excès ; mais ces détails me semblent inutiles.
Le lecteur érudit , qui aura compris ces com-fees observations , reconnaîtra que notre procédé , pour démontrer le théorème relatif à la mesure de l’angle dièdre , aussi bien que les théorèmes analogues de la Géométrie, se rapproche, quant au fond, de celui dont Ëuclide a fait usage.
45. Scolie ni. Il est très-important de remarquer que si les droites AM , AN (fig. 37), menées dans les deux faces , n’étaient point |>erpendiculaircs à AB , l’angle MAN ne pourrait plus mesurer l’angle dièdre. D’abord il est évident que si ces droites font avec AB des angles inégaux CA5I , CAN , et que l’angle dièdre diminue jusqu’à zéro, l’angle MAN ne deviendra pas zéro; donc il faut que les angles CAM et CAN soient égaux.
Prenons donc les lignes AM et AN également inclinées sur AB , et faisons voir que l’angle de ces obliques ne varie point dans le meme rapport que celui des plans. A cet effet , changeons la position du plan BAN, et supftosons qu’il se place en BAG, et AN en AG . Si les angles des obliques mesuraient ceux des plans , on devrait avoir
MABN ; MABG : GABN MAN ; MAC : GAN.
Or MABN = MABG -j- GABN ; donc on aurait [i] MAN = MAG-f GAN.
Dans les trois plans , menez les perj)endiculaires CM , CN , CG , à l’arcte BA ; les triangles ACM , ACN , AGG seront égaux et donneront CM=CN=CG ; donc les points M , N , G ne sont jias en ligne droite ; donc les obliques AM , AN , AG ne sont pas dans un meme plan. Or, on démontrera jilus loin (49) que, dans ce cas , l'angle plan MAN est moindre que MAG-|-GAN ; donc l’égalité [A] est impossible; donc l’angle des obliques ne varie point dans le même rapport que l’angle dièdre.
44 . C imllaire. On dit qu’un angledièdre est droit, aigu ou obtus, selon que l’angle des perpendiculaires est lui-inéme droit, aigu ou obtus. D’après ces définitions, il est facile de voir que dans tout angle dièdre droit les faces sont perpendiculaires l’miie sur l’antre^
IHTROmJCnON.
Il est également facile d’établir , sur les angles dièdres , les propositions qui ont leur^analogues par rapjxu't aux angles plans. Ainsi , par exemple , lorsque deux plans se traversent mutuellement, la somme des angles adjacents est égale à deux angles droits , et les angles opjjosés au sommet sont égaux. La rencontre de deux plans parallèles par un troisième plan donne lieu aux mêmes égalités d'angles que la rencontre de deux droites parallèles par une sécante ; c’est ce que prouvera sullisamment la proposition suivante -.
48. Théorème XXXIV (fig. 38)- Lorsque deux plans parallèles , 5IN c/PQ, sont coupés par un troisième jdan, RS, les angles diè-dn’s correspondants sont égaux.
Il s’agit de faire voir que l’angle dièdre MABR=PCDR. Menez un plan perpendiculaire à AB , lequel coiqæra le jilan RS suivant la ligne AR , et les plans MK , PQ , suivant les parallèles AM , CP , de sorte qu’on aiu-a l'angle MAR=PCR. Puisque le plan RAM est per|>endiculaire à AB , les ilroites AM et AR sont {«rpendiculaires aussi à AB , et l’angle MAR mesure l’angle dièdre MABR. Mais CD étant parallèle à AB , le plan RAM est aussi perpendiculaire sur CD, et par suite PCR mesure l’angle dièdre PCDR. Or, on a MAR = PCR ; donc l’angle dièdre MABR = PCDR.
Scolie (ûg. 39). La réciproque n’est point vraie ; car si on trace dans un plan RS deux droites AB, CD, qui se rencontrent, et si on mène, par ces droites, deux plans BM, DP, également inclinés vers le même côté R du plan RS , il est évident que ces plans ne seront point parallèles.
Mais si , outre l’égalité des angles dièdres , on suppose que les lignes AB et CD soient parallèles (fig. 38), alors les deux plans BM, DP sont parallèles. En effet, le plan RAM, jierpendiculaire aux lignes AB et CD , détermine , par ses intersections avec les trois plans , les angles MAR et PCR qui , par hypothèse , doivent être égaux; donc CP est parallèle à AM. Mais diyà CD est parallèle à AB; donc les plans BM et DP sont parallèles (33).
46. Théorème XXXV (fig. 40). Si un plan BP divise un angle dièdre en deux parties égales , chaque point du plan BP sera également distartt des faces BM , BN ; et tout point pris hors de ce plan sera inégalemetU distant de ces faces.
Du point C pris dans le plan BP abaissez les perpendiculaires CD , CE , sur les plans BM , BIM , et menez le plan DCE qui coupe les trois plans suivant FC , FD , FE. La droite AB sera perpendiculaire à ces trois lignes (n° 37, corollaire I); donc les angles
20 introduction.
CFD , CFE mesurent les angles dièdres PABM, PABN. Par hyjx)thèse , ces angles dièdres sont égaux ; donc CFD = CFE. Par suite, les triangles rectangles CDF, CEF sont égaux , et l’on a CD=CE. Donc chaque jioint du plan BP est également distant des faces BM,Bi\.
Soit G un {K)int hors du plan BP : abaissez les peiqiendiculaires GE , GH ; menez le plan EGH , qui détermine les intersections EF, FH ; j)ar le point C, oh GE rencontre le plan BP, abaissez sur le ])lan B]\I la perpendiculaire CD , qui sera dans le plan EGH ; enlin joignez DG. On a GD<;GC-|-CD, et comme le point C est dans le ])Ian BP , on a CD=CE ; donc GD<[GE. Or , GH est perpendiculaire au plan ABM , et GD est oblique ; donc on a GHc^GD ; donc à fortiori GHc^GE. Donc tout point hors du plan BP est inégalement distant des faces BM , BN.
47 . TmÉORÈME XXXVI (lig. 41). Si d'un point O, pris dans l’intérieur d'un an^le dièdre , on abaisse des perpendiculaires OC, OD, sur les deux faces , l’ange COD de res perpendiculaires sera le supplément de l’angle dièdre.
Le plan COD est perpendiculaire à l’arête AB (n“ 57, corollaire I), et il détermine , par ses intersections avec les deux faces , l’angle CED , qui mesure l’angle de ces faces. Or , le quadrilatère OCED est rectangle en C eten D; donc l’angle COD est supplément de CED
48. Théorème XXX'VH (fig. 42) . Si d’un point O , pris dans l'intérieur d’un angle trièdre S , on abaisse des per})cndiculaires OP , OQ , OR , sur les faces ASB , ASC , BSC , ces perpendiculaires détermineront un nouvel an^e trièdre , dont les faces seront suj/pléments des angles dièdres de l’angle solide S, et dont les angfes dièdres seront suppléments des faces de ce même angle solide.
Les faces du nouvel angle trièdre O sont les angles plans POQ , POR , QOR , formés par les perpendiculaires OP , OQ , OR ; donc , d’abord , ces faces sont les suppléments des angles dièdres formés suivant SA , SB , SC (47).
Maintenant, observons que le plan POQ est perpendiculaii’e aux faces ASB, ASC (56), et que par suite l’arête SA est perpendiculaire à ce plan (n" 57 , corollaire I). De même SB est perpendiculaire au plan POR, et SC au plan QOR. Ainsi , les arêtes de l’angle solide S sont respectivement perpendiculaires aux faces de l’angle solide O ; donc les faces de S sont les suppléments des angles dièdres de O , ou réciproquement les angles dièdres de O sont les suppléments des faces de S.
Svolie. A cause de ces propriétés , les angles trièdres S et O sont dits supplémentaires. On |K)urrait aussi remarquer qu’à tout angle polyèdre correspond un angle |)olyèdre supplémentaire.
49. Théoeème XXXVIII (lig. 43). Dans un an^e trièdrc , charpie an^e plan est moindre que la somme des deux autres.
Pour qu’il y ait lieu à démonstration , il faut qu’une face soit plus grande <[ue chataine des deux autres, prise séparément. Soit ASB cette face ; faites-y l’angle ASD=ASC ; tirez à volonté , entre les arêtes SA et SB , la droite AB qui coupe SD en D ; sur la troisième arête prenez SC = SD; enfin menez CA, CB.
D’après la construction , les triangles ASD , ASC sont égau.x ; donc AD = AC. Mais on a AD-|-DB<)AC-f-CB; donc DB<CB. Ainsi , dans les triangles SBD , SBC , on a SB commun , SD = SC , DB<^CB; et de là on conclut l’angle DSB<^CSB. Ajoutant ASD d’une part, et ASC de l’antre, il vient ASD-j-DSB ou ASB<ASC-fCSB.
50. Théorème XXXIX (lig. 44). La somme des angles plans qui forment un angle solide est moindre que quatie an^es droits.
Ayant mené un plan qui coupe les arêtes de l’angle solide S suivant le jMjlygone ABCDE, prenez un point dans l’intérieur du j)olygone, et joignez-le aux différents sommets A, B, C... De cette manière on formera, dans le polygone, des triangles en nombre égal à ceux qui se réunissent au sommet S , et par conséquent la somme des angles des premiers est égale à celle des angles tles derniers. Cela jtosé, le théorème précédent donne
OAE -j- OAB < SAE -f S AB ,
OBA -f OBC < SBA -j- SBC , etc.
La somme des angles contigus aux points A , B , C est donc moindre dans les triangles du jmlygone que dans les triangles latéraux; donc, par compensation, la somme des angles en S est moindre que celle des angles en 0. Or, cette dernière somme est égale à quatre angles droits ; donc la somme des angles en S est nioimlre que quatre droits.
51. Théorème XL (lig. 45). On peut toujours former un angle trièdre avec trois angles plans qui satisfont aux conditions des deu.c théorèmes précédents .
Dans un même plan construisons l’angle ASB égal à la plus grande des trois faces , et les angles ASM , BSN égaux atix deux
autres ; du centre S , avec un rayon arbitraire , décrivons un cercle qui détermine les points A , B , M , K ; prenons l’arc AM' = AM , et Tare BN ' = BN : puisque ASB est la plus grande face , les points M' et N’ devront tomber entre A et B. De plus, par hy|)othcse , on a ASB <; ASM -)- BSN ; donc aussi arc AB<;AM'-j-BN'; donc le jK)int N' est entre A et M' ; donc les cordes MM' , NN' doivent se couper en O dans l’intérieur du cercle. Élevez au point O une perpendiculaire OC au plan ASB ; avec une hypoténuse GC, égaie à la demi-corde OM, achevez le triangle rectangle GOC; enfin joignez SC : l’angle solide formé par les arêtes SA , SB , SC sera l’angle trièdre demandé.
Tout se réduit à prouver que les angles ASC , BSC sont respectivement égaux à ASM, BSN. Et, en effet, OG étant perpendiculaire à la ligne SA, et OC étant perpendiculaire au plan ASB, l’angle CGS est droit (19), et par suite les triangles CGS, MGS sont égaux; donc l’angle ASC=ASM. L’égalité des mêmes triangles donne SC = SM; donc SC = SN. Or l’angle CHS doit aussi être droit (19); donc les triangles rectangles CHS, NHS sont égaux comme ayant l’hypoténuse égale et un côté commun ; donc enfin l’angle BSC=BSN.
En j)rolongeant OC , d’une quantité égale OC', de l’autre côté du plan ASB , et joignant SC' , on formerait un second angle trièdre qui serait encore composé des mêmes angles plans.
82. Théorème XLI (fig. 46). Lorsque deux angles trièdres ont leurs faces égales, chacune à chacune, les angles dièdres compris par les faces égales sont égaux.
Supposons qu’on ait ASB = A'S'B', ASC = A'S'C', BSC=B'S'C'. Dans les plans ASC, BSC, élevez sur Tarête SC les perpendiculaires DE, DF. Prenez S'D' = SD, et , dans les plans A'S'C' , B'S'C', menez sur S'C' les perpendiculaires D'E', D'F'. Les deux angles dièdres, formés suivant SC, S'C', ont pour mesiireslesangles plans EDF, E'D'F'; et la question consiste à faire voir que EDF = E'D'F'.
Des hypothèses et des constructions ci-dessus il rèsidte <pie SD = S'D', SDE = S'D'E', ASC = A'S'C'; donc les triangles DSE, D'S'E' sont égaux. Par des raisons semblables, les triangles DSF, D'S'F' sont aussi égaux ; donc on a
