DE=D'E', DF = D'F', SE = S'E', SF = S'F

Les triangles ESF , E'S'F' ont donc un angle égal compris entre côtés égaux; donc EF=E’F'. Donc les triangles DEF, D'E'F' sont équilatéraux entre eux; donc l’angle EDF = E'D'F'.

INTHODliCTiOH.

53. Jutre démonstration (lig. 47). I-es raisonuemcnts précé* ileiits su]>|)osent que les perpendiculaires DE , DF rencontrent les arêtes SA et SB , ce qui n’arrive pas toujours. La déinonstiadon suivante ne soufTre aucune exception.

Prenez S'D'=SD, et menez, comme plus haut, les perpendiculaires DE, DF, D'E', D'F'. Prenez SG>SD ; tirez GH qui coupe .SA en H et DE en K ; tirez GI qui coupe SB en I et DF en L ; joignez IH, KL. Prenez encore les distances S'G'=SG, S'H'=SH, S'I'= SI , et achevez les constructions indiquées sur la figure.

Le triangle GHS est égal à G'H'S' , GIS à GI'S' , HSI à H'ST ; et de là il résulte que les ti-iangles GHI, G'H'I' sont équilatéraux entre eux, donc l’angle HGI = H'GT. L’égalité des premiers triangles donne aussi l’angle HGS=H'G'S', etIGS=I'G'S' : d’ailleurs, par construction , DG = D'G' ; donc les triangles rectangles DGK , DGL sont res|)ectivement égaux à D'G'K', lyG'L'. De là on conclut GK=G'K', GL=G'L'; donc les triangles GKL, G'K'L' ont un angle égal compris entre côtés égaux ; donc KL= K'L'. Mais l’égalité des mêmes triangles rectangles donne encore DK=D'K', ^ DL=D'L'; donc les triangles DKL, D'K'L' sont égaux; donc enfin l’angle KDL = K'D'L' : c’est-à-dire que les faces égales comprennent des angles dièdres égaux.

54. Scolie. On pourrait encore conserver la première démonstration en la complétant de la manière suivante :

Après avoir reconnu, comme dans la seconde démonstration, que l'angle SGH = S'G'H', l’angle SGI=S'G’I', l’angle HGI=H'GT, on observera que les angles trièdres G et G' ont leurs faces égales chacune à chacune , et qu’en outre les angles SGH , .SGI , S'G'H', S'G'I' sont aigus ; donc si on applique la première démonstration aux angles solides G et G', on pourra conclure que les angles dièdres HSGI, H'S'GT sont égaux. Or, ils sont précisément ceux que forment les faces ASC, A'S'C' avec les faces BSC, B'S'C'.

55. THéoHÈMF. XLII (fig. 48). Deu,r angles trièdres sont égaux ■ lorsijuc leurs faces sont égales, rhacune h chacune, et semblablement disposées.

Soient ASB=A'S'B', ASC=A'S'C', BSC=B'S'C'. Il est toujours jKJSsible de placer l’angle solide S' dans l’angle solide S, de manière que la face A'S'B' coïncide avec son égale ASB , et <|ue l’arête S'C' soit du même côté que SC, par rapjiort à cette face. Par hypothèse , les faces égales doivent être semblablement disposées, condition qui signifie qu’ajirès la superposition dont on vient de jMirler , les faces A'S'C', B'S'C' doivent avoir les arêtes SA , SB ,

iimioDTrcnoiî.

communes avec les faces ASC , BSC , qni leur sont res|>ectivement égales. Mais d’ajtrès le théorème précédent, les inclinaisons de A'S'C' et de B'S'C' sur la face A'S'B' sont égales aux inclinaisons de ASC et de BSC sur ASB ; donc les plans A'S'C', B'S'C' doivent res|)ectivement coïncider avec ASC , BSC ; donc tes angles tricdres sont égaux.

SO. Scolie. Quand les faces égales ne sont pas semblablement disi>osces , la superposition indiquée plus haut ne fait plus ]iasser la face A'S'C suivant l’ arête SA, mais suivant SB; et en même temps B'S'C' passe suivant SA. Alors les angles dièdres compris entre les faces égales n’en sont pas moins égaux ; mais cette égalité n'entraîne plus la coïncidence des autres faces, et jiar suite les angles solides ne sont |)as égaux.

Dans ce cas , si on veut encore placer A'S'B' sur ASB , de manière que l’arête SA devienne commune aux faces égales ASC , A'S'C', et l’arête SB commune aux faces BSC, B'S'C', il est évident (pie S'e' prendra une position SD (fig. -49) de l'autre côté du plan ASB. On va démontrer que les lignes SC , SD sont dans un jilan perjiendiculaire à la face commune à ASB , et qu’elles sont également inclinées à l’égard de cette face.

Prenez SD=SC; tirez CD qui rencontre le jilan ASB en O, et menez SO qui est l’intei'section des plans ASB , CSD. Dans le jilan ASB, menez à volonté là droite AOB qui ]>asse au point O , et qui rencontre SA et SB ; puis achevez les constnictions comme sur la figure. Les triangles ACS, ADS sont égaux, et donnent AC = AD. Pareillement, les triangles égaux BCS, BDS , donnent BC=BD ; donc AB est perjiendiculaire au milieu de CD. Le [loint O est donc le milieu de CD ; et puisqu’on a pris SC=SD, il s'ensuit que SO est perpendiculaire à CD. La ligne CD est donc jierpendiculaire à la fois à AB et à SO ; donc par suite le plan CSD est perpendiculaire au plan ASB (5S^. De plus, les triangles égaux COS , DOS prouvent que les lignes SC et SD sont également inclinées à l’égard de ce plan.

Quand deux angles trièdres sont tels que les précédents , c’està-dire quand ils ont les faces égales et également inclinées , mais qu’ils ne peuvent point coïncider , parce que les faces égales ne sont point semblablement disposées, on dit qu’ils sont .y/néfm/i/w.

S7. Pour ne rien laisser à désirer sur les angles polyèdres, il faudrait expliquer comment on ramène leur mesure à celle des angles dièdres ; mais, sur ce |K)int, je renveirai aux traités ordinaires de géométrie.

INTRODUCTIOTi.

Théorèmes à démontrer.

Ü8. Je terminerai par proposer, seulement comme exercices, les énoncés de divers théorèmes dont les démonstrations se dc- <Iuisent avec facilité de ce qui précède

I. Si , par un point d’une droite A , on mène plusieurs droites égales , formant des angles égaux avec A , les extrémités de ces droites seront situées sur une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite A , et dont le centre est sur cette droite.

II. Lorsqu’une droite fait des angles égaux avec trois droites passant par son pied dans un plan , ces angles sont droits, et la droite est perpendiculaire au plan .

III. Toutes les parallèles à une droite , menées par les différents |K)ints d’ime même droite , sont dans un même plan.

IV. Lorsque , par les différents points d’une droite située dans un plan , on mène , d’un même côté de ce plan , des droites parallèles et égales , les extrémités de ces jtarallèles sont sur une droite |>arallèle au plan.

V. Si une droite est perpendiculaire à un plan , tout plan parallèle à cette di-oite est jierpendiculaire au même plan.

VI. Si denx plans sont jterpendiculaires entre eux, toute droite jterpendiculaire à l’un d’eux est parallèle i l’autre, ou y est contenue tout entière.

Et , réciproquement , si une droite est parallèle à un plan , tout plan perpendiculaire à cette droite est aussi perpendiculaire au ]>remier plan.

VII. Si un plan est parallèle à deux droites qui se coupent , il est parallèle au plan de ces droites.

VIII. Si trois droites , non situées dans un même plan , sont égales et parallèles , les triangles formés de part et d’autre , en joignant leurs extrémités, sont égaux, et leurs plans sont parallèles.

IX. Si , par les différents jKiints d’un plan , on mène , du même côté de ce plan , des droites égales et parallèles , les extrémités de ces droites seront dans un plan parallèle au premier.

X. Si une droite est parallèle à un plan , toute droite parallèle à celle-là est aussi parallèle au même plan, ou bien elle y est située tout entière.

XI. Quand deux droites A et B sont parallèles , deux droites A' et B', respectivement parallèles à A et à B, sont parallèles entre elles.

lîfTBODlICTIOrr.

XII. Quand deux plans Pet Q sont |>aralièles, deux plans P'et Q’, resj)ectivement |>arallèles à P et à Q, sont parallèles entre eux.

XIII. Si deux plans P et Q sont respectivement parallèles à deux plans P' et Q' qui se coupent , l’intersection des deux premiers est parallèle à celle des deux derniers.

XIV. Lorsqne deux plans sont parallèles, une droite parallèle à l’un d’eux est aussi parallèle à l'autre , ou bien elle y est comprise tout entière.

XV. Quand deux droites se coupent, les plans respectivement |»erpendiCTiIaires à ces droites se coupent aussi.

X'VI. Quand une droite et un plan se rencontrent , une droite perpendiculaire au plan et un plan perpendiculaire à la droite se rencontrent aussi.

XVn. Les plans perpendiculaires aux milieux des côtés d’un triangle se coupent suivant la même droite.

XVIII. Étant donnés quatre ]>oints non situés dans le même plan, si on mène des plans perpendiculaires aux milieux des droites qui joignent ces points deux à deux, tous ces plans iront passer par un même point.

XIX. Deux droites parallèles qui rencontrent un plan sont également inclinées sur ce plan

XX. Deux plans parallèles qui rencontrent une droite font , avec cette droite , des angles égaux.

XXI. Deux angles dièdres sont égaux lorsque leurs faces sont parallèles et dirigées du même côté.

XXII. Les trois plans qui divisent en deux parties égales les angles dièdres d’un angle solide triple , se coupent suivant la même droite.

XXIII. Si deux droites, non situées dans le même plan, sont divisées en deux parties , de telle sorte que les deux segments de l’une soient proportionnels aux deux segments de l’antre , on {H>urra toujours conduire trois plans parallèles entre eux : l’un , {vassant par les deux extrémités supérieures des droites; le second, par les extrémités inférieures ; et le troisième , par les deux points de division.

XXrV. Étant données trois droites non parallèles à un plan , et tellement situées que deux d’entre elles , prises comme on voudra , ne soient pas dans le même plan , on peut toujours construire un parallélépipède qui ait trois arêtes dirigées stiivant ces droites.