CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. l

par une autre, on y construit la transformée d'une section plane, ou celle de toute autre courbe, en pointant sur les rayons du développement , des longueurs égales aux distances du sommet aux divers points de cette courbe , comme nous l'avons vu dans le n°252.

PROBLÈME 6. Construire [intersection cC un plan avec une surface de révolution. FiG. 45*

268. Prenons pour exemple le tore dont nous avons déjà parlé au n° 158, et qui a pour méridien le cercle (A'B'G'B", AC) tournant autour de la verticale (0, 0"Z') située dans son plan; puis , cherchons Tintersection de cette surface avec le plan M'T'T qui lui est tangent au point (M', M) de la nappe intérieure y car nous avons remarqué précédemment (n° 158) que les plans tangents à cette nappe devaient couper la surface.

Elmployons ici des plans auxiliaires qui soient horizontaux, et soit F'K'N' la trace verticale d'un de ces plans. Il coupe le tore suivant deux cercles dont les rayons sont ON = FN' et OM = l'K', tandis que son intersection avec le plan M'T'T est la droite (F', Fy") perpendiculaire au plan vertical; donc les quatre points F, ¥'\f'\f où cette droite rencontre les deux cercles, appartiennent à la courbe demandée. Les autres points se trouveront d'une manière semblable; mais quand on arrivera aux parallèles extrêmes D"B" et D'B', on n'obtiendra, pour chacun, que deux points G et ^, ou H et A; tandis qu'en opérant sur le plan horizontal V'M'L', on trouvera trois points R, r et M , dont le dernier est celui où les branches de la courbe forment un nœud. D'après cela, l'intersection cherchée a pour projections.

MHREFGE" M/ie^e" M , et G'H'.

Nous avons ponctué les parties de cette courbe qui se trouvent au-dessous de lequateur et du cercle de gorge, parce qu'elles sont invisibles sur le plan horizontal ; et sur le même plan , la courbe doit toucher ces deux cercles aux points E , E", e'\ e, attendu que le plan tangent du tore est aloi-s évidemment vertical , et qu'ainsi la tangente de la courbe et celle du parallèle, qui sont toutes deux dans ce plan, se confondent en projection horizontale.

269. Gherchons la tangente de la courbe pour un point quelconque (F, F');^ et puisque cette droite doit être (n° 215) l'intersection du plan M'T'T avec le plan tangent du tore au point (F, F'), construisons d'abord ce dernier. D'après la méthode générale exposée n°* 155 et 154, il faut ramener le point donné ( F, F') , sur le méridien principal eu (N,N') , puis tirer la tangente N'P' dont le pied est évidemment P; ensuite, nprès avoir reporté ce point P en ;r sur la trace

du méridien OF , on mènera perpendiculairement à ce méridien , la droite nô qui sera la trace horizontale du plan tangent au point (F, F') du tore. 11 serait bien facile de trouver la trace verticale de ce même plan : mais cela nous est inutile ici; car le point Q où se coupent les droites nQ et T'T, appartient évidemment à l'intersection du plan tangent avec le plan M'T'T, ou bien à la tangente cherchée , laquelle est par conséquent la droite (d¥, T'F').

Cette méthode devient insuffisante pour obtenir la tangente de la section au point singulier (M, M'), parce qu'en cet endroit le plan de la courbe se confond avec le plan tangent du tore; mais nous apprendrons plus tard (n" 754) à effectuer cette recherche intéressante.

270. Pour obtenir la courbe dans ses vraies dimensions, on rabattra le plan M'T'T autour de sa trace horizontale T'T, et un point quelconque tel que (F, F'), restera sur une perpendiculaire à la charnière, en se transportant à une distance indiquée par T'F'. 11 sera donc bien facile d'avoir le rabattement de la section, que nous n'avons pas exécuté ici, afin de laisser lire plus nettement les constructions principales.

PROBLÈME 7. Intersection dun plan avec un hyperboloïde de révolution à une nappe.

271. Nous savons (n° 14-0) que cette surface peut être engendrée par une hyperbole qui tourne autour de son axe imaginaire, ou bien par la révolution d'une droite mobile autour d'une droite fixe , lesquelles ne sont pas dans un même plan. Si nous partions de la première définition, la méridienne serait connue , et nous rentrerions tout à fait dans le problème du n° 268 ; c'est pourquoi nous emploierons l'autre mode de génération , et nous représenterons la

FiG. 68. droite fixe par (O, O'Z'), et la droite mobile par (AD, A'D'). Cette dernière ligne est supposée ici parallèle au plan vertical, mais il sera toujours bien facile de l'amener dans cette position (n° 140), si d'abord on l'avait assignée dans toute autre. La plus courte distance des deux droites est l'horizontale (OD, D') qui décrit le cercle de gorge (XDY, X'Y'), et le pied (A, A') de la droite mobile parcourt le cercle AaB qui est la trace horizontale de la surface. Nous nous bornerons ici à ce petit nombre de données, pour fixer l'hyperboloïde en question, sans exécuter la représentation graphique de cette surface sur le plan vertical, où le contour apparent serait une hyperbole (n° 148) ; et pour laisser voir plus distinctement la courbe d'intersection sur le plan horizontal, nous réduirons la surface à sa nappe inférieure , c'est-à-dire que nous supposerons la droite mobile terminée au point (D, D'). Enfin, nous rappellerons que la génératrice du