CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. I

pied dans ce même plan ; et le miximum de ces angles est celui qu'elle forme avec le prolongement de sa projection.

Gela posé , soient PQR le plan sécant et ABMDEF la section qu'il trace dans le cône dont la base peut être une courbe quelconque : si du sommet S nous abaissons la perpendiculaire ST sur le plan sécant , et que par le pied T nous menions la tangente TMD à la section, je dis que c'est au point de contact M qu'il se produira une inflexion dans la transformée de la courbe ABMDEF. En effet, partageons celle-ci en éléments, et imaginons que le développement du cône soit exécuté sur le plan tangent STMP. Alors, l'angle SMT qui est minimum pour la génératrice SM , se trouvera plus petit que SMB, et conséquemment le côté MB prendra , après le développement, une position MB' située au-dessous de MT. Ensuite , pour la génératrice SD , l'angle maximum SDP sera plus grand que SDE; donc , après le développement, le côté DE occupera une position DE' située au-dessus de DP. Par conséquent la transformée A'B'MDE'F' présentera bien une inflexion par rapport à sa tangente en M, qui est le prolongement de 1 élément MD.

Ainsi, dans l'épure 64 , on abaissera sur le plan sécant PQR', la perpendiculaire S'T' que l'on prolongera jusqu'à sa rencontre avec le plan a'b' de la base circulaire ; et en tirant par ce point de rencontre une tangente à cette circonférence , on obtiendra la génératrice du cône sur laquelle sera situé le point d'inflexion , ce qui suffit bien pour retrouver la position précise de ce point sur le développement de la jî^. 66. La même méthode s'appliquera évidemment à l'épure 63 , où la transformée présente aussi une inflexion ; mais ce point singulier n'existerait plus, si le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet S', tombait dans l'intérieur de la section elliptique.

PROBLÈME 5, Trouver t intersection d un cène quelconque par un plan , le développement de la surface, et la transformée de l'intersection.

263. Quel que soit le cône en question (dont nous supposerons connue la trace horizontale , puisqu'on saurait la construire en prolongeant les génératrices jusqu'à ce plan fixe), il n'y aura qu'à couper cette surface et le plan donné, par une suite de plans auxiliaires menés tous par le sommet, et les choisir, si l'on veut, parallèles à la trace horizontale du plan sécant. Alors chaque plan auxiliaire produira dans les deux surfaces, des sections rectilignes bien faciles à trouver, et dont les points de rencontre appartiendront à la courbe demandée. Il nous paraît peu nécessaire d'ajouter ici un exemple que le lec-

l34 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES,

teur pourra se proposer lui-même; d'autant plus que nous rencontrerons bientôt des constructions analogues , dans des questions plus générales.

266. Des branches infinies. Pour reconnaître si la section du cône par le plan donné P admettra quelque branche de ce genre, il faut généralement conduire par le sommet un plan P' qui soit parallèle à P, et examiner si la trace horizontale du plan P' rencontre quelque part la base du cône. Lorsque ces lignes n'auront aucun point commun , on pourra affirmer qu'aucune des génératrices du cône n'est parallèle au plan P, et qu'ainsi la section n'aura que des branches fermées. Mais si la trace du plan P' coupe la base du cône en un ou plusieurs points, les diverses génératrices G, G',.--, qui aboutiront à ces points, se trouveront évidemment parallèles au planP^ et dès lors elles n'iront le rencontrer qu'à l'infini; par conséquent, la section admettra autant de branches infinies.

\^ asymptote de la branche correspondante à la génératrice G, s'obtiendra en cherchant l'intersection du plan P avec le plan tangent mené suivant cette gêné* ratrice G. Si ce plan tangent coïncivlait avec P', ce qui arrivera quand la trace horizontale de ce dernier se trouvera tangente à la base du cône, alors la branche infinie serait dépourvue d'asymptote.

267. Quant au développement de la surface conique , il faudrait partager la base en arcs assez petits pour être sensiblement confondus avec leurs cordes ; alors , en mesurant une de ces cordes et les deux arêtes qui aboutissent à ses extrémités, on pourrait former avec ces trois droites et sur un plan quelconque, un triangle qui représenterait un élément superficiel du cône : puis , à la suite de ce triangle, on construirait de même l'élément adjacent qui aurait un côté commun avec le précédent; et en continuant de la sorte, on obtiendrait tous les éléments du cône étendus sur un plan, ce qui donnerait bien le développement de cette surface.

A la vérité cette marche, bonne en théorie, offrirait peu d'exactitude dans la pratique, si les opérations n'étaient pas faites avec beaucoup de soin; parce qu'il faut ici construire une suite de triangles où l'un des côtés est extrêmement petit par rapport aux deux autres , et que les erreurs partielles peuvent s'accumuler. Userait plus avantageux, sans doute, de connaître d'avance sur le développement, une ligne droite ou circulaire sur laquelle il ne resterait plus qu'à prendre des arcs déterminés, pour fixer la position nouvelle des génératrices. Or cet avantage s'obtient en cherchant Tintersection du cône par une sphère concentrique; mais cette méthode que nous expliquerons plus loin (n°' 530 et 351 ), n'est pas non plus exempte d'inconvénients assez graves.

Quand une fois le développement du cône est effectué par une méthode ou