CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANKS. f

second système (n" 141) serait (BD, B'D') ; et (ju'eii transportant ces deux génératrices parallèlement à elles-mêmes, dans les positions (D'A', Or/), (D'B', O/»), elles produiraient alors par leur révolution autour de Taxe vertical, le cône asymptotp{u° 146) dont la base serait le cercle ah, et dont le sommet (O, D') coïncide avec le centre de rhyperboloïde qui n'est autre que le centre du cercle de gorge.

272. Gela posé, soient PQ et QR' les traces du plan sécant donné, ce qui suppose que l'on a cLoisi le plan vertical de projection perpendiculaire à celui-là. Pour obtenir son intersection avec l'hyperboloïde , j'emploie encore des plans auxiliaires horizontaux, tels que celui qui a pour trace verticale M' V. Ce plan rencontre la génératrice (AD, A'D') au point (V, V), et par conséquent il coupe la surface de révolution suivant un cercle dont la projection horizontale est la circonférence VMN décrite avec la distance O V pour rayon : mais ce même plan M'V coupe le plan donné PQR", suivant une droite (M', IMN) perpendiculaire au plan vertical ; donc les points M et N communs à cette droite et au cercle précédent, sont deux points de la courbe demandée sur le plan horizontal ; ils sont d'ailleurs projetés verticalement l'un et Vautre en M'. En menant d'autres plans auxiliaires parallèles àM' V, on déterminera les divers points de l'intersection qui, selon l'inclinaison du plan PQR', peut être une ellipse, une parabole, une hyperbole , ou une variété de ces courbes.

273. Des sommets. La droite (OP, R'Q)qui partage évidemment toutes les cordes parallèles à MN, en deux parties égales et àangles droits, est nécessairement un axe de la courbe, quel que soit le genre de celle-ci ; si donc cette courbe a des points situés sur cet axe , ce seront les sommets , et il importe de les obtenir directement. Pour cela, il faudrait faire tourner la génératrice (AD, A'D') jusqu'à ce qu'elle vînt rencontrer ( OP, R'Q) en un certain point G ; mais si, au contraire, nous laissons immobile la première de ces lignes, et que nous fassions tourner la droite (OP, R'Q) autour de la verticale O qu'elle coupe en (O, R'} , elle ira rencontrer la génératrice (AD, A'D') en un point que j'appellerai K , et qui se trouvera évidemment sur le même parallèle où aurait été situé le sommet G. Or il est facile de construire le point K , qui est l'intersection de la droite (AD, A' D') avec le cône engendré par la révolution de ( OP, R'Q ) ; car après avoir décrit le cercle du rayon OP, base de ce cône auxiliaire, on conduira par le sommet (O, R') et par la génératrice (AD, A'D'), un plan dont on trouvera la trace horizontale AC en menant par ce sommet une parallèle (R'C, OC) à la génératrice; alors, cette trace AC coupant le cercle OP en deux points F et E, fera connaître les deux arêtes OF et OE du

t38 LIVRE IV. — IISTERSPXTIOISS DE SURFACES.

cône auxiliaire qui sont rencontrées par la génératrice (AD, A' D'), et par suite on aura aussi leurs points de section K et L. Maintenant, pour revenir de ces points aux véritables sommets G et H, on décrira avec les rayons OR et OL, deux cercles dont chacun couperait la droite OP, sur le plan horizontal, en deux points ; mais on distinguera aisément lequel est vraiment situé sur la ligne indéfinie (OP, R'Q), en traçant les projections verticales K'G' et L' H' de ces deux cercles.

Il est bon de commencer le tracé de l'épure par la construction des sommets; parce qu'une fois ces points déterminés, on pourra mener les plans auxiliaires, tels que M'V, à des distances convenables, et que d'ailleurs la recherche de ces sommets fera connaître le genre de la section , ainsi que nous allons l'expliquer, r. , rcy 274, Discussion. 1°. Si la trace AG coupe la base du cône auxiliaire décrit par la droite (OP, R'Q), et fournit deux arêtes OF et OE qui rencontrent l'une et l'autre la génératrice AD, la section offre deux sommets situés sur ( OP, R'Q ) ; et par conséquent cette courbe est une ellipse , ou une hyperbole dont cette droite est l'axe réel. Ges deux cas se distingueront aisément l'un de l'autre, en examinant si un plan quelconque M' V mené entre les points (G, G') et (H, H') fournit, ou non ^ quelque point de la courbe. D'ailleurs , lorsque la section sera elliptique , on obtiendra le second axe en faisant passer un plan horizontal par le milieu (w, w') de l'intervalle des deux sommets.

2". Si , des deux arêtes OF et OE , l'une est parallèle à la génératrice DA, un des sommets s'éloigne à une distance infinie ; et la section est une parabole qui a toujours pour axe, la droite indéfinie (OP, R'Q).

3°. Lorsque la trace AG se trouvera tangente au cercle du rayon OP, les deux arêtes OF et OE se confondront en une seule droite ; et le point où elle coupera la génératrice AD, étant rapporté sur OP, donnera le sommet unique de la section qui se réduit alors au systèm,e de deux droites. Gette assertion pourrait être justifiée en remarquant qu'une hyperbole dont les deux sommets se réunissent , se réduit à ses asymptotes : mais d'ailleurs , si l'on prend la peine de construire l'épure relative à l'hypothèse actuelle, on reconnaîtra que le plan AG mené par le sommet du cône auxiliaire , devient alors tangent à ce cône, aussi bien quePQR'; de sorte que ces deux plans qui coïncideraient si l'on faisait tourner l'un des deux autour de la verticale O, doivent produire dans rhyperboloïde de révolution des sections identiques. Or, le plan AG contenant déjà une génératrice DA. , ne peut couper de nouveau la surface