CHAPITRE H. —DES SECTJOAS PLANKS. l3g

du second degré que suivant une autre section rectUigne, projetée également sur une tangente au cercle de gorge (n° 141); donc aussi le plan PQR' produira dans rhyperboloide une section composée de deux droites analogues aux précédentes, et qui se couperont au point trouvé pour sommet unique sur la droite (OP, R'Q). D'ailleurs en ce point, le plan PQR' sera tangent (n" li2) à l'hyperboloïde.

Dans le cas très-particulier où la droite suivant laquelle se réunissent les deux arêtes OF et OE, se trouverait parallèle à DA, le plan PQR' couperait l'hyperboloïde suivant deux génératrices parallèles entre elles, et il ne serait plus tangent à la surface que dans un point infiniment éloigné.

4". Enfin, si la trace AG ne rencontre pas du tout le cercle du rayon OP, il n'y a aucun sommet réel sur (OP, R'Q), et la section est alors une hyperbole dont cette droite est l'axe imaginaire. Dans ce cas , la courbe se construit toujours comme au n° 272; mais pour trouver le centre, et par suite l'axe réel, il faudra recourir aux asymptotes dont nous parlerons tout à l'heure : ou bien, ce qui est plus simple, on prendra le milieu w' de l'intervalle des deux points y et yj' où le plan PQR' coupe les arêtes D' B' et D'A' du cône asymptote. Cette règle est fondée sur ce que cette surface et rhyperboloide, étant semblables et concentriques, doivent être coupées par le plan PQR' suivant deux courbes qui auront un centre commun (n° 147). Or, pour la section faite dans le cône asymptote, on a vu (n° 247) que les deux sommets étaient projetés sur le plan vertical, en y' et yj'; par conséquent le milieu w' de la distance y'vî, est à la fois le centre de la section conique et celui de la section faite dans rhyperboloide. Il restera donc à projeter ce point en w, sur la ligne OP que l'on sait être un axe de la courbe ; et le plan horizontal conduit parce point fera trouver les deux sommets réels par la méthode du n° 272.

275. Pour obtenir la tant/ente en un point quelconque M de la section produite Fig. 68. par le plan PQR', il faut chercher l'intersection de ce plan avec celui qui touche rhyperboloide en M. Or ce dernier est déterminé (n° 142) par les deux génératrices rectilignes qui passent par ce point, et nous savons que leurs projections horizontales s'obtiennent (n° 141 ) en menant au cercle de gorge les tangentes «aMcl^j et êM(?; par conséquent les deux points «a et ê où ces génératrices couperont le cercle OA qui est la trace horizontale de l'hyperboloïde, appartiendront nécessairement à la trace du plan tangent cherché; donc cette trace sera la droite ajéT qui, par sa rencontre avec PQ, fournira le pied T de la tangente TM qu'il s'agissait de construire.

A la vérité , les tangentes au cercle de gorge menées par le point M ,

l4o LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

couperont le cercle OA en quatre points : mais d'abord , on ne devra combiner ensemble que ceux qui se trouveront tous deux en deçà, ou tous deux au-delà des points de contact â' etâ^ par rapport à M ; car les deux génératrices que Ton cherche doivent se couper en M, et conséquemnient (n" 145) elles ne sauraient appartenir au même système , ce qui arriverait évidemment pour les droites «gC^a 6t aâ, aussi bien que pour Se? et §2^2- Ainsi l'incertitude qui pourra rester, consistera à savoir si l'on doit combiner les deux droites a 2 «^2 et êc? , ou bien les deux droites aâ et §2^2 '■> mais pour ces dernières qui ont leurs extrémités inférieures en a et €3 ■> le point de section projeté en M, se trouverait évidemment au-dessus du cercle de gorge, tandis que le point (M, M') que nous considérons ici, est sur la nappe inférieure de Ihyperboloïde ; donc il faut encore rejeter ce deuxième couple de génératrices, qui devrait au contraire être seul conservé, dans une épure où le point considéré M se trouverait placé sur la nappe supérieure de la surface.

276. Rabattement. Faisons tourner le plan PQR' autour de sa trace QR', pour le rabattre sur le plan vertical. Dans ce mouvement , l'horizontale (M', IMN) restera perpendiculaire à la charnière, et deviendra M'mn, droite sur laquelle on portera des distances M'm = IM , M'/t = IN ; ce qui fournira évidemment deux points m, /i, de la courbe rabattue. Les autres points s'obtiendront d'une manière semblable, aussi bien que la tangente dont le pied T se transportera en i, et qui deviendra tm.

La surface actuelle étant gauche, comme nous l'avons démontré au n" 145^ elle ne saurait satisfaire à la condition essentielle du n° 179, et il n'y a pas lieu de chercher son développement Observons aussi que toutes les opérations précédentes s'effectueraient d'une manière entièrement analogue , si le plan sécant PQR' était oblique au plan vertical de projection, et quand même la génératrice (AD, A'D') serait assignée dans une position quelconque; et nous engageons le lecteur à s'exercer sur de pareilles données.

Pj^. 5^ 277. DES BRANCHES INFINIES. Il est très-important de savoir reconnaître à priori si la section de Ihyperboloïde par un plan quelconque PQR', présentera ou non des branches infinies. A cet effet, il faudra mener par le centre (O, D') du cercle de gorge une parallèle à la génératrice (AD, A'D'), et tracer la circonférence ab que décrit le pied (a, A') de cette parallèle, quand elle tourne autour de l'axe vertical O pour engendrer le cône asymptote; et comme on sait (n'* 146) que toutes les arêtes de ce cône sont respectivement parallèles aux diverses génératrices de l'hyperboloïde, il n'y aura qu'à conduire parle