CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. I

sommet (O, D') un plan tt parallèle à PQR', et voir si ce plan ix contient quelque arête de cette surface conique.

I ". Lorsque la trace horizontale du plan n ne rencontrera pas la base du cône asymptote, il n'y aura aucune arête de ce cône, et conséquemment aucune génératrice de l'hyperboloide , qui soit parallèle au plan donné PQR'; donc aucun point de la section faite par ce dernier plan ne pourra être situé à Tinfini , et dès lors cette section sera fermée et e//ïpïi(jfue. 'iny.'

2°. Quand le plan n coupera la base du cône asymptote en deux points, il existera sur ce cône deux arêtes , et sur l'hyperboloide deux couples de ^jénératrices, qui seront parallèles au plan PQR': donc la section faite par ce -dernier dans l'hyperboloide, offrira deux branches infinies et sera une hyperbole. D'ailleurs, chacun de ces deux couples de génératrices, composé de deux droites parallèles, déterminera un plan qui se trouvera bien tangent à l'hyperboloide (n** 155) dans le point de rencontre infiniment éloigné de ces lignes; ce sera donc l'intersection de ce plan tangent asymptotique par le plan donné PQR', qui fournira Vasymptote de la branche correspondante. Ceci s'éclaircirà par l'exemple du n*» 278.

y. Enfin, si le plan n ne fait que toucher la base du cône asymptote, il n'y aura plus sur ce cône qu'une seule arête , et sur l'hyperboloide qu'un seul couple de génératrices qui soient parallèles au plan donné PQR'; donc la section n'offrira quune branche infinie et sera une parabole. D'ailleurs elle n'admet-* tra plus d'asymptote, parce que le plan tangent conduit par ces deux génératrices se trouvera lui-même parallèle au plan PQR', comme nous le verrons clairement au n^SSl.

278. Appliquons ces règles au cas de 1 épure 69, où la génératrice (ADB, Fig. 69. A'D'A") est prolongée autant au-dessus qu'au-dessous du cercle de gorge (XDY, X'Y'), afin de limiter la surface aux deux cercles égaux A'B' et A"B", projetés horizontalement sur AZBS. La génératrice du second système serait (BDA, B'D'B"); et ces deux génératrices, transportées parallèlement jusqu'au centre (O, D'), détermineraient le cône asymptote qui a pour base le cercle du rayon Oa. D'ailleurs, comme dans l'épure précédente, nous ne nous attacherons pas à effectuer la représentation graphique de l'hyperboloide sur le plan vertical , où il n'y aura que des lignes isolées qui seront toutes visibles : ce sera seulement sur le plan horizontal que nous exprimerons la forme de la surface, en distinguant par des ponctuations diverses , les parties visibles et les parties cache'es. Quant au plan sécant, nous sommes convenus (n° 108) qu'il

serait regardé comme enlevé^ après avoir coupé la surface, et qu'il n'en resterait que les traces PQ et QR'.

Gela posé, si nous menons par le sommet (O, D') du cône asymptote un plan D' F' F parallèle à PQR', on voit qu'il coupe le cercle Oa en deux points et le cône asymptote suivant deux arêtes projetées sur OF et OE. Donc , en ne considérant d'abord que la première OF, et lui menant deux parallèles (?a, se, qui soient tangentes au cercle de gorge, ce seront là deux génératrices de l'hyperboloïde qui n'iront rencontrer le plan PQR' qu'à l'infini et qui annonceront l'existence d'une branche indéfiniment prolongée. Pour obtenir l'asymptote, j'observe que le plan tangent de l'hyperboloïde dans ce point infiniment éloigné, devant contenir (n" 155) les deux génératrices aâ' et es qui se coupent en ce point, aura pour trace horizontale la droite aê: et comme ce plan doit fournir par son intersection avec le plan PQR' l'asymptote demandée, cette ligne se trouvera évidemment parallèle à txâ. Si donc, par le point 6 où se coupent les traces PQ et aê, on mène la droite Qa parallèle à ccâ, ce sera l'asymptote qu'il s'agissait de construire.

279. On pourra répéter des constructions semblables, pour la seconde branche infinie qui est indiquée par l'autre arête OE du cône asymptote; mais on doit apercevoir que, dans l'opération précédente, le plan c?a§ qui touchait l'hyperboloïde à une distance infinie sur la génératrice âa, était lui-même ta/2qent au cône asymptote suivant l'arête OF. En effet, ce plan renferme le diamètre d^Os du cercle de gorge , et conséquemment l'arête OF ; donc sa trace passera par le point F et sera évidemment perpendiculaire au rayon OF. D'après cette remarque, il suffira de mener au cercle du rayon OE, la tangente E^ qui, par sa rencontre avec PQ, fournira le point cp par lequel on devra tirer l'asymptote cpM paiallèlement à OE. Cette seconde asymptote devra couper la première en un point w qui soit situé sur la droite OP, puisque celle-ci (n° 273) est toujours un axe de la courbe.

280. Si l'on voulait n'employer qu'une seule des deux génératrices c?a, se, qui vont aboutir au point de contact de l'asymptote, on pourrait s'appuyer sur ce que la surface étant de révolution , le plan tangent doit être perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact (n° 129). Or ici, ce point est à une distance infinie sur aJ^; donc le mét-idien correspondant est le plan vertical OF parallèle à aâ". ainsi le plan tangent cherché aurait pour trace horizontale, une droite perpendiculaire à OF et menée du point a, ce qui ferait bien retrouver la ligne aê déjà obtenue autrement.

2S1. Si le plan D'F'F mené par le sommet du cône asymptote, parallèlement