CHAPITRE II. — DES SECTIONS FLANES

à PQR', touchait ce cône suivant une arête unique, c'est-à-dire s'il avait la position D'B'/;, on voit bien (n° 279) qu'il serait lui-même tangent à rhyperboloïde dans le point infiniment éloigné situé sur la génératiice (BD, B'D'); or puisque ce plan tangent se trouverait ainsi parallèle à PQR', leur intersection serait transportée tout entière à l'infini ; de sorte que la courbe d'intersection présenterait bien encore une branche infinie , mais qui n'aurait plus d'asymptote.

282. Maintenant, effectuons le tracé de la courbe suivant laquelle le plan FiG. 69. PQR' coupe rhyperboloïde, et cherchons d'abord les sommets situés sur Vaae (OP, R'Q). Nous avons vu (n° 273) qu'il fallait tirer la droite (R'C, OC) parallèle à la génératrice (AD, A'D'), et joindre les points G et A; mais comme la trace CA ne rencontre pas ici le cercle du rayon OP, on doit en conclure qu'il n'y a aucun sommet réel sur l'axe en question, et que la section est une hyperbole dont la ligne (OP, R'Q) est Vaxe imaginaire. Alors je cherche le centre en •projetant le point de rencontre w des deux asymptotes sur la ligne R'Q en co'; ou bien (n" 274, 4°) je prends le milieu o/ de l'intervalle des deux points y' et >j' où le plan PQR' coupe les deux arêtes extrêmes du cône asymptote; puis, en faisant une section horizontale^ par ce point w', suivant la méthode du n" 272 , j'obtiens les deux sommets réels G et H. Gette même méthode appliquée à d'autres plans horizontaux, tels que M' V et V" W", qu'il sera bon de choisir de manière à fournir des sections égales dans les deux nappes, fera trouver de nouveaux points M et N, jUL et v, de la courbe cherchée : en outre, cette ligne devra évidemment passer par les points T et S où le cercle ABS est rencontré par la trace PQ du plan sécant, aussi bien que par les points (Z, Z') et (U, Z') où ce même plan coupe le cercle supérieur A'^B".

Enfin , comme le cercle de gorge X' Y' est rencontré par le plan PQR' en deux points projetés verticalement sur L', on en conclura leurs projections horizontales L et K , dans lesquelles ce cercle et l'hyperbole devront se toucher sur le plan horizontal. En effet, quoique les tangentes de ces courbes dans l'espace soient très-distinctes l'une de l'autre, elles se trouvent toutes deux dans le plan rangent de l'hyperboloïdequi, pour chaque point du cercle de gorge, est évidemment vertical; d'où il résulte que les projections horizontales de ces deux tangentes, se confondront nécessairement.

Quant à la construction de la tangente à la section , pour un point quelconque (M, M'), elle s'effectuerait par les mêmes moyens qu'au n° 275.

285. Rabattement. On effectuera cette opération comme dans l'épure précédente, eu faisant tournej- le plan PQR' autour de sa trace verticale QR', et

l44 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

en portant sur des perpendiculaires à cette charnière, des distances M'm = IM,

M'n = IN, •' -■' ',-

Quant aux asymptotes , on rabattra d'abord de la même manière , le centre (w, (,/) en w"; puis, en rapportant les points <p et Ô en 9" et B'\ on obtiendra (p"w" et 5 "w" pour les asymptotes de la courbe rabattue.

PROBLÈME 8. Intersection dune droite avec un hyperboldide de révolution à une nappe.

Fi G. 66. 284. Nous plaçons ici ce problème, parce qu'il n'est qu'une extension de celui que nous avons résolu au n° 275 , pour une droite qui rencontrait taxe de la surface; et nous allons ramener à ce cas particulier la question actuelle, où la droite proposée aura une position quelconque. Soient donc (O, O'Z') l'axe de rhyperboloïde, (ADB, A'D'B') la génératrice rectiligne, et (PQ, P'Q') la droite dont il s'agit de trouver les points d'intersection avec la surface. Nous la supposons ici amenée, par une rotation autour de l'axe, dans une situation parallèle au plan vertical : mais cette opération préliminaire est toujoursfort aisée à effectuer ; et comme d'ailleurs elle laissera le point d'intersection avec la surface , sur le même parallèle où il était situé d'abord, il sera bien facile de retrouver ce point dans la position primitive.

285. Cela posé, si le plan vertical PQ rencontre le cercle de gorge décrit avec le rayon OD, il coupera la surface suivant une hyperbole dont l'axe réel sera (X Y, X' Y'), et qui aura pour une de ses asymptotes la droite (A'B', PQ). Il serait donc facile, d'après ces données, de construire cette courbe sur le plan vertical, et sa rencontre avec P'Q' ferait alors connaître les points demandés ; mais nous nous proposons d'arriver à ce résultat par des constructions directes et qui n'emploient que la ligne droite et le cercle. Pour cela, imaginons que l'hyperbole dont nous venons de parler et qui contient les points cherchés , tourne autour de la verticale w : elle produira ainsi un second hyperboloïde à une nappe dont le cercle de gorge sera(X(^Y, X'Y'), et qui aura pour génératrice rectiligne la droite (aê, A'B'); alors la question primitive se réduira évidemment à trour ver les points d'intersection de ce nouvel hyperboloïde avec la droite (PQ, P'Q') qui rencontre son axe (w, O'Z'); et par conséquent nous sommes ramenés au problème du n" 275.

On décrira donc avec le rayon wP, un cercle qui sera la base d'un cône auxiliaire ayant pour sommet le point (w, R') ; puis, en menant la droite (R'G', coC) parallèle à la génératrice, on déterminera la trace aC d'un plan qui coupera jce cône suivant les arêtes «E et oiF. Ces dernières lignes vont rencontrer la gé-