CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. î

nératrice aux points (L, L' ) et (K, K' ) , que Ton ramènera sur la droite proposée en (M', M) et (N', N); et ces derniers points seront ceux où la droite (PQ, P'Q') perce le second et aussi le premier hyperboloïde.

286. Si la projection horizontale PQ de la droite proposée, se trouvait tangente au cercle de gorge décrit avec le rayon OD, le plan vertical PQ couperait évidemment l'hyperboloïde primitif, suivant deux droites projetées sur A'B' et sur la droite symétrique de cette dernière; dès-lors, la rencontre de ces deux droites avec P'Q' fournirait immédiatement les points cherchés.

287. Enfin supposons, comme dans la fig. 67, que la droite proposée FiG. 67. (PQ, P'Q') se projette en dehors du cercle de gorge OD. Dans ce cas, le

plan vertical PQ couperait encore la surface primitive suivant une hyperbole, mais son axe réel serait dirigé suivant la verticale R; de sorte qu'en faisant tourner cette courbe autour de cette verticale , on obtiendrait un hyperboloïde à deux nappes, et le problème ne serait plus aussi simple. C'est pourquoi je renverse la question primitive, et je me propose de trouver les points d'intersection de la droite (AB, A'B'), avec l'hyperboloïde que décrirait (PQ, P'Q') en tournant autour de la verticale O ; parce que ces nouveaux points de section seront évidemment à la même hauteur que les premiers.

Or, dans ce second hyperboloïde, le cercle de gorge qui a pour rayon ( OR , R' ) est nécessairement coupé par le plan vertical AB , et la question . rentre tout-à-fait dans le cas du n 283 : ainsi , après avoir décrit le cercle de gorge (XpY, X'Y') d'un troisième hyperboloïde qui aurait pour génératrice la droite (îip, P'R')? on trouvera, comme ci-dessus, les points (/x,M') et ( V, N' ) , où cette dernière hgne serait rencontrée par ( AB , A' B' ) tournant autour de la verticale D; puis, il resterait à transporter ces deux points sur ( AB, A' B' ) , en les laissant à la même hauteur. Mais les derniers points ainsi obtenus devraient ensuite, pour le problème primitif, être ramenés sur (PQ, P'Q') en les laissant encore dans les mêmes plans horizontaux; par conséquent, l'opération se réduit à transporter immédiatement les points (]x, M') et (v, N') en (M, M') et (N, N'), qui seront les points de rencontre de la droite (PQ, P'Q') avec le premier hyperboloïde décrit par la révolution de ( AB, A'B') autour de la verticale O.