CHAPITRE ill. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. I ^n

MNB , GHl , dont chacune soit tangente à [une des bases et en même temps sécante par rapport à l'autre base, ces droites seront les traces de deux plans limites entre lesquels se trouveront compris tous les points qui sont communs aux deux surfaces; car, au dehors de ces limites, on voit bien que les plans sécants parallèles à RA, ne pourraient plus couper qu'un seul des deux cylindres. D'ailleurs, si l'on applique au plan MNB la méthode générale exposée au numéro précédent, on obtiendra deux points (ê, ê') et ( 6, 6') dans lesquels les génératrices (Mm, M'm') et(Nn,NV) se trouveront tangentes à la courbe d'intersection dans l'espace ; et par suite, ce contact devra se vérifier sur les deux plans de projection, comme on le voit dans notre épure. En effet, la droite (Mê, M'ê') est évidemment dans le plan qui toucherait le cylindre LMN au point (ê, ê'); mais elle est aussi dans le plan sécant MBê qui, par hypothèse, se trouve tangent au cylindre ABC le long de l'arête Bê : donc cette droite (Mê, M'ê') est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces dans le point (ê. S'), et conséquemment (û*' 213) elle est bien tangente à la courbe suivant laquelle se coupent ces deux sufaces.

On prouvera de même que l'arête (N6,N'6') est tangente à la courbe d'intersection au point (6, b');et pareillement, le plan limite GHI fournira deux points (y, g') et (A, h') dans lesquels la courbe sera touchée par les arêtes (G^, G'^') et (H/i, Wh').

291. Points sur les contours apparents. On fera passer des plans sécants parallèles à RA, par les points A, K, X, Y (*), où aboutissent les arêtes qui forment le contour apparent de chaque cylindre sur le plan horizontal; puis, par la méthode générale du n° 289, on obtiendra les points (a, a'), (a, a'), (7r,7r'), (^, ç)'), (c/, d'\ dans lesquels la courbe touchera, mais seulement si/r le plan horizontal, les arêtes correspondantes. En effet, au point (a, a.') par exemple, la tangente de la courbe dans l'espace est distincte de la génératrice ( Aa , A! a' ) : mais ces droites sont contenues toutes deux dans le plan tangent le long de (Aa, A'a'); et comme ici ce plan est nécessairement verfical, il en résulte que la projection horizontale de cette génératrice coïncidera avec celle de la tangente; par conséquent elle devra toucher la projection de la courbe sur le plan horizontal , tandis qu'il n'en sera pas de même sur le plao Tertical.

(*) Ici où le point K se trouve hors des plans limites, il est inutile de mener un plan sécant par ce point.

l48 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

Observons , d'ailleurs , que ce sera toujours dans quelques uns des points dont nous venons de parler, que se fera le passage de la partie visible à la partie invisible de la courbe d'intersection, considérée en projection horizontale. Au surplus, nous donnerons bientôt une règle générale pour distinguer ces parties les unes des autres.

292. De même, si par les pieds V, U, T, G, des arêtes qui forment le coutour apparent de chaque cylindre sur le plan vertical, on mène des plans sécants parallèles à RA, on obtiendra des points tels que (s, s'), dans lesquels la courbe touchera, mais seulement sur le plan vertical, les arêtes correspondantes telles que (V£, V's' ). En effet, cette génératrice et la tangente de la courbe au point (s, £') sont toutes deux dans le plan tangent le long de (Vs, V's'); or ce plan étant ici perpendiculaire au plan vertical , les projections verticales de ces deux droites se confondent nécessairement, tandis qu'il n'en est pas de même de leurs projections horizontales. Quant à l'arête (G^, G'^) elle touche, il est vrai, la courbe sur les deux plans de projection à la fois; mais cela tient à ce que, dans la figure actuelle, cette génératrice se trouve à la fois sur le contour apparent et dans le plan limite GHI.

Enfin, ce sera aussi dans quelques-uns des points.dont nous venons de parler, que se fera le passage de la partie visible de la courbe à la partie invisible sur le plan vertical, parties qui ne sont pas les mêmes que pour la projection horizontale, puisque le point de vue est différent (n" 106). jj^

295. La tangente en un point quelconque (t, t') de la courbe d'intersection, sera fournie par l'intersection des deux plans qui touchent les cylindres le long des arêtes T/ et St : or les traces horizontales de ces plans sont les droites T$ et S6 tangentes aux bases dans les points T et S ; donc le point Q où se coupent ces deux droites, appartient à la tangente demandée, laquelle est par conséquent 9t.

Lorsque le point 6 où vont se rencontrer les traces de deux plans tangents, se trouvera trop éloigné , -comme cela arrive dans notre épure , on pourra y suppléer de la manière suivante. Le plan sécant MNB parallèle aux génératrices des deux cylindres à la fois , doit couper le plan tangent SQ suivant une droite |ULW parallèle à Si, et le plan tangent TQ. suivant une autre droite Xw parallèle à Tf; donc le point w où se rencontrent les lignes Xw et jmw, est nécessairement commun aux deux plans tangents , et conséquenmient c'est un point de la tangente cherchée twQ. '

Nous n'avons parlé jusqu'ici que de la projection horizontale de la tangente, parce que le point {t, t') que nous avons choisi pour plus de clarté, se trouvant