CHAPITRE III. — INTERSECTIOKS DE DEUX SURFACES COURBES. l

placé sur le contour apparent relatif au plan vertical, la tangente est projetée sur ce même plan, suivant larête T't'; mais, dans un autre cas, il suffira de projeter sur la ligne de terre, le pied Q de la tangente , et de le joindre avec t'; ou bien, on construira aisément les projections verticales des deux droites auxiliaires Xw et |x&) qui, par leur rencontre, fourniront un point w' de la tangente projetée sur le plan vertical.

294. Remarque ï. Pour distinguer sur la courbe d'intersection des deux cy- Fig. 70. lindres , les parties visibles d'avec les parties invisibles en projection horizontale, il faut observer que si le cylindre ABK existait seul dans l'épure, les arêtes qui aboutissent sur l'arc ABK seraient toutes visibles, tandis que celles qui tombent sur l'arc AHK ne le seraient pas : de même , si le cylindre XMY subsistait seul , les arêtes visibles seraient celles qui aboutissent sur l'arc XV Y , tandis que toutes les autres ne seraient pas vues. Mais lorsque les deux cylindres existeront simultanément , il pourra arriver qu'une arête visible sur le premier se trouve cachée en partie par le second ; toutefois , si cette arête vient à rencontrer une génératrice aussi visible sur ce dernier cylindre^ alors elle redeviendra visible en cet endroit. D'un autre côté, lorsqu'un point se trouvera sur une arête qui serait invisible , en ne considérant que le cylindre auquel elle appartient , il est évident qu'à plus forte raison ce point demeurera invisible , quand les deux cylindres existeront à la fois; par conséquent, nous pouvons poser les deux règles suivantes :

Un point de la courbe dintersection sera visible, torsqu il sera fourni par la rencontre de deux arêtes visibles l'une et l'autre, sur chaque cylindre considéré isolément.

Un point de l intersection sera INVISIBLE, quand il proviendra de la rencontre de deux arêtes DONT UNE, au moins, SERA INVISIBLE sur le cylindre auquel elle appartient.

Le lecteur fera aisément l'application de ces règles à la projection horizontale de l'intersection des deux cylindres , puisque nous avons indiqué plus haut, quelles étaient les arêtes visibles sur chaque surface considérée isolément ; et par-là , il se rendra contïjjte des parties pleines on ponctuées que présente notre épure. Quant à la projection verticale, les règles précédentes s'appliqueront également, pourvu qu'on se rappelle que, relativement à cette projection, les seules arêtes visibles sur le premier cylindre considéré isolément, sont celles qui aboutissent sur l'arc TAG, et que les arêtes visibles du deuxième cylindre aboutissent toutes sur l'arc VMU.

l5o LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

FiG. 70. 295. Remarque II. La rencontre des deux cylindres peut avoir lieu par arrachement ou par pénétration. Il y a arrachement, lorsque les traces MNB et GHI des deux plans limites sont, comme dans l'épure actuelle, tangentes lune à la base ABKH, et l'autre à la base XMY; parce qu'alors, sur chaque cylindre, il existe des génératrices qui ne contiennent aucun point de l'intersection, et qu'ainsi ces deux corps ne font que s'arracher mutuellement une partie de leur surface, tandis que les portions correspondantes aux arcs MON et HKG, conservent leur intégrité» dans toute leur longueur. En outre , il importe d'observer que, dans ce cas, toutes les parties de l'intersection formeront une branche unique et non interrompue, qu'un point mobile pourra parcourir d'un mouvement continu, sans cesser d'être sur les deux cylindres à la fois. FiG. 71. Au contraire , quand les traces GHI et CAO des deux plans limites seront tangentes à la même base, comme dans la^ï^. 7 1 , alors il y aura pénétration , parce que toutes les génératrices du cylindre XOY entreront dans l'autre corps, et y traceront sur la nappe correspondante à l'arc AH, une première branche fermée; puis, elles sortiront du cylindre par une seconde branche aussi fermée, et située sur la nappe GG. D'ailleurs, ces deux courbes d'entrée et de sortie seront totalement distinctes, et n'auront aucune partie commune par où un point mobile puisse passer de l'une à l'autre sans interruption ; puisqu'elles se trouveront séparées, sur le grand cylindre, par les nappes ABC et HKG où il n'existe aucun point de l'intersection.

296. Remarque III. Dans tous les cas, l'intersection n'aura pas de branche infinie, si les deux bases sont des courbes fermées. En effet , pour qu'il existât une branche qui s'étendît indéfiniment, il faudrait qu'il se trouvât sur un des cylindres une génératrice parallèle à une génératrice de l'autre ; mais alors , d'après la nature de ces surfaces , toutes les génératrices seraient parallèles entre elles dans les deux corps, et l'intersection n'aurait plus lieu; ou bien, elle se réduirait à une ou.plusieurs droites correspondantes aux points de rencontre des deux bases, genre de ligne qui n'exige aucune discussion.

Quand les deux bases , ou l'une d'entre elles, seront des courbes indéfinies, il suffira d'examiner la position des plans limites (n° 290) par rapport à ces bases, pour reconnaître si quelqu'un des plans sécants intermédiaires, peut aller couper l'une des bases à une distance infinie.

PROBLEME 2. Intersection de deux surfaces coniques. FiG. 72. *^^T' Soient (S , S' ) le sommet du premier cône , et AB la courbe quilui sert de base sur le plan horizontal : soient (T, T') et DE les données analogues pour