CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. I

le deuxième cône; alors, en menant aux bases des tangentes perpendiculaires à la ligne déterre, on obtiendra les droites S'A' et S'B', T'D' et T'E', pour les contours apparents de ces deux surfaces sur le plan vertical. Quant au plan horizontal , il n'y a d'autres limites que les traces AB et DE ; car ici les sommets se trouvant projetés au-dedans des bases, il est impossible de mener à ces courbes des tangentes partant des points S et T (n° 119) , ce qui serait nécessaire pour obtenir des plans tangents verticaux. D'ailleurs, nous ferons abstraction des nappes supérieures des deux cônes, afin de ne pas rendre invisible , sur le plan horizontal, la branche d'intersection qui proviendra des nappes inférieures, et qui doit fixer spécialement notre attention.

298. Pour obtenir l'intersection de ces deux cônes, nous emploierons divers plans sécants conduits tous suivant la droite (ST, S'T') qui joint les deux sommets; car, de tels plans ne produiront dans les deux surfaces que des sections rectilignes faciles à construire, et d'ailleurs leurs traces horizontales devront évidemment passer toutes par le point R. Considérons donc celui de ces plans qui a pour trace la droite quelconque RIFGH: il coupe le cône T suivant deux génératrices projetées sur TF et TG, et le cône S suivant deux génératrices projetées sur SI et SH; or cette dernière droite rencontrant les précédentes aux points K et M , il s'ensuit que ces deux points appartiennent à la projection horizontale de l'intersection demandée. Nous négligerons ici les points de section qui seraient fournis par l'arête SI, attendu que cette droite ne va couper les génératrices TF et TG qu'au-delà du sommet T , et que par conséquent ces points appartiendraient à la branche d'intersection située sur les nappes supérieures, dont nous sommes convenus de faire abstraction.

Quant au plan vertical , il suffira de projeter sur la ligne de terre les pieds F, G, H, des génératrices que nous venons de combiner, et leurs projections verticales T'F', T'G', S'H', fourniront par leurs rencontres , les points K' et M' de la courbe d'intersection projetée sur ce plan;; d'ailleurs, on sait que ces derniers points devront être liés avec K et M par la condition de se trouver deux à deux sur une même perpendiculaire à la ligne de terre ; ce qui pourrait aussi servir à déduire ceux-là des autres, en n'employant qu'une seule génératrice sur le plan vertical; On opérera d'une manière toute semblable , pour d'autres droites partant du point R : mais nous recommandons de commencer le tracé de l'épure , par la recherche des divers points remarquables dont nous allons parler; parce que ceux-ci sont essentiels à construire, et qu'une fois leur position fixée, il sera facile de proportionner le nombre des plans sécants intermédiaires, aux intervalles qui resteront entre les points déjà obtenus..

l52 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

FiG. 72. 299. Points sur les plans limites. Si la trace R de la ligne (ST, S'T') n'est pas placée en dedans des deux bases, on pourra mener de ce point, deux droites RPQ et RUV dont chacune soit à la fois tangente à l'une des bases et sécante par rapport à l'autre : alors ces droites seront les traces des plans sécants limites; car on voit bien que tout plan mené par les deux sommets , et qui se trouverait hors de l'espace angulaire VRQ, ne rencontrerait plus qu'un seul des cônes, et conséquemment ne pourrait renfermer aucun point de leur intersection. D'ailleurs, si l'on appUque au plan limite RPQ le mode général de construction indiqué au n° précédent, on obtiendra le point (L, L') dans lequel la génératrice (SLQ, S'L'Q') se trouvera tangente à la courbe d'intersection dans l'espace, et ce contact devra se vérifier sur les deux plans de projection , comme on le voit dans notre épure. En effet, la génératrice (SQ, S'Q') est contenue dans le plan limite RQ qui, par hypothèse, se trouve tangent au cône T suivant l'arête TLP et par suite dans le point (L, L' ) ; mais cette génératrice (SQ, S'Q') se trouve aussi évidemment dans le plan qui toucherait le cône S au point (L, T/); donc elle est l'intersection des plans tangents menés aux deux surfaces par le point (L, L'), et par conséquent (n° 213) elle est bien tangente à la courbe suivant laquelle se coupent ces surfaces.

On prouvera de même que le plan limite RUV fournit un point (N, N'), dans lequel la courbe est touchée par l'arête (SV, S' V) sur les deux plans de projection.

300. Points sur les contours apparents. On fera passer des plans sécants par les points B, E , D , où aboutissent les arêtes qui forment le contour apparent de chaque surface, et par la méthode générale du n° 298, on obtiendra les points (ê, ê'), (6, 6'), (s, s'), (c?, â'), dans lesquels la courbe touchera, mais seulement sur le plan vertical, les arêtes correspondantes. En effet, au point (g, ê') par exemple, la tangente de la courbe dans l'espace est très-distincte de la génératrice (SB, S'B') : mais ces droites sont toutes deux dans le plan S'B'B tangent le long de cette génératrice; et comme ce plan est évidemment perpendiculaire au plan vertical, il en résulte que la tangente et la génératrice dont nous parlons, se confondront en projection verticale; par conséquent, il faudra que la droite S'B' touche \a courbe sur le plan vertical, tandis que SB sera loin d'être tangente à la projection horizontale.

Observons, d'ailleurs, que ce sera toujours dans quelques-uns des points dont nous venons de parler, qu'aura lieu le passage de la partie visible à la partie invisible de la courbe d'intersection ; c'est pourquoi il est très-important de construira les points situés sur les contours apparents, prélérablement à d'autres