CHAPITRE m. —INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. l

points qui seraient même très-voisins de ceux-là. Au surplus, nous donnerons bientôt une règle générale pour discerner les arcs visibles d'avec les arcs invisibles sur la courbe d'intersection.

501. La tangente en un point quelconque (M, M') de cette courbe, sera four- FiG. 72. nie (n° 215) par l'intersection des deux plans quitoucbent les cônes suivant les

arêtes SMH et TMG : or les traces horizontales de ces plans sont les droites HO et GO tangentes aux bases ; donc le point Q où se coupent ces dernières droites , est le pied de la tangente qui, par conséquent, a pour projection horizontale la droite QM. Quant à la projection verticale ô'M', 011 l'obtiendra en projetant le point 0 sur la ligne de terre en Q'.

502. On peut encore se proposer de trouver le point le plus bas et le point !« plus haut de la courbe d'intersection, c'est-à-dire ceux où la tangente sera horizontale. Pour cela, il faudra d'abord chercher un plan sécant RaX tel qu'il coupe les bases en deux points x et X , pour lesquels les tangentes xj et XY se trouvent parallèles: cette première recherche, qui sera plus ou moins facile suivant la nature des courbes AHB et DGE, pourra toujours s'effectuer d'une manière suffisamment exacte, par un petit nombre d'essais faits sur diverses sécantes menées du point R, et pour lesquelles les tangentes aux deux bases convergeront en sens contraires. Gela posé, on appliquera au plan sécant RxX la méthode générale du n° 298^ et Ton obtiendra un point (^, ^') pour lequel la tangente à la courbe d'intersection serait à la fois dans les deux plans tangents le long des arêtes Tx et SX ; mais ceux-ci ayant des traces xy et XY qui , par hypothèse , sont parallèles entre elles , ne pourront se couper que suivant une droite parallèle aussi à XY, et par conséquent horizontale. Donc le point (^, ^') sera le point le plus bas de la courbe d'intersection , et l'on trouverait le point le plus haut d'une manière analogue.

505. Remarqucl. Pour discerner sur la projection verticale de l'intersection, FiG. -^a les arcs visibles d'avec ceux qui ne le sont pas, il faut observer que si le cône S existait seul dans l'épure, les arêtes qui aboutissent sur l'arc AQB, seraient toutes visibles sur le plan vertical, tandis que celles qui tombent sur l'arc AVB ne seraient pas vues : de même si le cône T subsistait seul , les arêtes visibles de cette surface seraient celles qui aboutissent sur l'arc DPE , tandis que toutes les autres seraient invisibles. Mais lorsque les deux cônes existeront simultanément, comme dans la question actuelle, il pourra se faire qu'une arête visible sur le premier, se trouve cachée en totalité ou en partie par le second; néanmoins si cette arête vient à rencontrer une génératrice aussi visible sur cette dernière surface, alors il est clair qu'elle redeviendra visible en cet en-

I 54 LIVIIE IV. — INTERSECTIOWS DE SUllFACES.

droit. D'un autre côté, lorsqu'un point se trouve sur une arête qui serait invisible en ne considérant que le cône auquel elle appartient, il est certain qu'à plus forte raison ce point restera invisible, quand les deux surfaces existeront à la fois. Par conséquent nous pouvons poser les deux règles suivantes, au moyen desquelles le lecteur se rendra aisément compte des parties pleines ou ponctuées que renferme notre épure sur le plan vertical.

Un point de la courbe d'intersection sera VISIBLE , lorsqu'il sera fourni par la rencontre de DEUX GÉNÉRATRICES visibles l\ine et l'autre sur chaque surface considérée isolément ;

Un point de l'intersection sera invisible, quand il proviendra de la rencontre de deux génératrices DONT UNE, au moins, sera invisible sur la surface à laquelle elle appartient.

Ces deux règles sont également vraies pour la projection horizontale; mais ici où les deux sommets se trouvent projetés en dedans des bases, il n'existe pas de plan tangent qui soit vertical, et par suite (n" '106) toutes les arêtes des deux cônes sont visibles sur le plan horizontal, lorsque chaque surface existe seule et que l'on fait abstraction des nappes supérieures, comme nous en sommes convenus dans les données de la question. Par conséquent, l'application de la première règle nous montre que la courbe d'intersection est visible en totalité sur le plan horizontal, et qu'ainsi elle doit être marquée en trait plein.

504. Observons encore que les règles précédentes sont aussi applicables à l'intersection de deux surfaces quelconques , pourvu que l'on entende par le mot génératrice , la ligne droite ou courbe qui, par son mouvement, produit la surface particulière dont il est question; et qu'après avoir déterminé (n° 106) le contour apparent de cette surface sur chacun des plans fixes, on s'attache à reconnaître quelles sont les portions de génératrices, situées en avant ou au-dessus de ce contour apparent.

505. Remarque H. Dans l'intersection de deux cônes, comme dans celle de deux cylindres (n° 295), il peut y avoir pénétration ou arrachement. Le premier cas arrive dans lepure actuelle, parce que les traces RUV, RPQ, des deux plans limites sont tangentes à la même base; mais cette pénétration n'exclut pas toujours l'existence de branches infinies, comme on le verra dans l'épure 73. Il y aurait arrachement si l'un des plans limites se trouvait tangent à la première base, et l'autre tangent à la seconde.