CHAPITRE m. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COUBBES. l

506. DES BRANCHES INFINIES. Prenons pour exemple de cette recher- Fig. 73. che, les deux cônes représentés sur le plan vertical par D'S'E' et par A'T'B',

et dont les bases sont l'ellipse DFE et le cercle AHB. En cherchant d'abord les plans limites (n° 299), on obtiendra les droites RE et RK, tangentes au cercle et sécantes par rapport à l'ellipse; puis , chacune de ces traces, par exemple RE, fournira trois arêtes projetées surTN, SM, SE, et situées dans le même plan; donc leurs rencontres donneront deux points 1 et (x où la courbe sera toiichée par les génératrices SE et SM (n°299). Pour un autre plan sécant RIGHF situé entre les plans limites, on obtiendra quatre arêtes qui fourniront seulement trois points y, (p, f, de l'intersection, parce que la rencontre des deux génératrices TH et SG n'aurait lieu ici qu'au-delà des sommets T et S, et par conséquent sur les nappes supérieures des deux cônes, dont nous faisons abstraction par le même motif qu'au n^ 297.

Ees points dont nous venons de déterminer les projections horizontales, se retrouveront sur le plan vertical , en projetant sur la ligne de terre les pieds des génératrices fournies par chaque plan sécant , et en joignant ces derniers points avec T' et S'. D'ailleurs, si l'on considère les génératrices relatives au contour apparent des deux cônes, et qui, d'après la disposition actuelle des données, sont toutes quatre situées dans le plan vertical RST, on obtiendra immédiatement les points d', â', e\ qu'il faudra projeter sur RT en </, (5^, s; puis, comme les points V et U où se coupent les deux bases, font évidemment partie de lintersection des deux cônes , cette courbe se présentera ici sous la forme des deux branches distinctes

(dp.rpâxd, d'fl'ù') et (V/jiysU, V'/j/s').

507. Il y aurait une troisième branche d'intersection, si nous avions eu égard aux deux nappes supérieures : mais, dans tous les cas où les bases des deux cônes seront des courbes du second degré, la totalité des branches de l'intersection devra former, sur chaque plan de projection, un système de lignes qu'une droite ne puisse rencontrer en plus de quatre i^omX%. En effet, les équations des deux surfaces coniques étant alors elles-mêmes du second degré, ne pourront conduire par l'éhmination d'une des variables x,y, z, qu'à une équation finale du quatrième degré au plus; de sorte que la combinaison de cette dernière équation avec celle d'une droite quelconque, ne fournira jamais plus de quatre solutions communes.

508. Dans l'épure actuelle , nous avons disposé les deux bases et les som-

l56 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

mets de telle sorte que le plan vertical RST partage évidemment, en deux parties égales , toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires dans chacune

des surfaces coniques, comme UV, LR, ; ainsi ce plan est un plan principal

commun à ces deux surfaces du second degré. Or on sait qu'alors la courbe d'intersection est non-seulement symétrique des deux côtés de ce plan , mais qu'en outre elle se projette en totalité sur ce plan principal, suivant une ligne du second degré (*); par conséquent les courbes s'/ji'V' et^'T/d' sont ici des portions d'une même hyperbole. D'ailleurs la branche \'â' prolongée jusqu'à la rencontre des deux génératrices A'T' et E'S', commencerait alors à recevoir la projection de la courbe suivant laquelle se coupent les nappes supérieures des deux cônes.

309. C'est encore par suite de la symétrie que présente l'intersection de ces deux cônes, de part et d'autre du plan vertical RST, que cette courbe vient couper bmsquement les génératrices du contour apparent aux points c/', â' et s'; au lieu qu'en général, une courbe située sur une surface quelconque doit toucher, en projection, le contour apparent dans le point où elle le rencontre. En effet, pour ce point, la tangente de la courbe et celle du contour apparent sont toutes deux situées dans un plan tangent qui se trouve perpendiculaire (n° 106) au plan de projection, et par conséquent les projections de ces deux tangentes se confondent : mais lorsqu'il arrive, comme ici au point (c^, i/'), que la tangente de la courbe se trouve perpendiculaire au plan vertical, alors la projection de cette droite se réduit à un point unique «/', et l'élément qui eût été commun à la courbe et au contour apparent, venant à s'évanouir sur la projection verticale, ces deux lignes n'offrent plus de contact entre elles.

510. Maintenant, examinons si l'intersection présentera des branches infmies.) et pour cela cherchons s'il existe, sur un des cônes, quelque génératrice qui soit parallèle à une des génératrices de l'autre surface conique; car, si cette circonstance n'a pas lieu, la rencontre de deux arêtes situées dans un même plan, ne pourra se faire qu'à une distance finie, et par conséquent aucune branche de l'intersection ne s'étendra indéfiniment. Ffg. j3. Afin de reconnaître s'il existe, sur les deux cônes, deux arêtes respectivement parallèles, on imaginera que le cône T, par exemple, soit transporté parallèlement à lui-même jusqu'à ce que son sommet, glissant sur la droite

(*) Voyez V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions , chap. IX.