CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES

évidemment passer par le point de contact cherché de la tan^jente SMT , puisque cette tangente est une sécante dont la partie intérieure se trouve égale à zéro. Par conséquent la rencontre des courbes XMY et a"'aêê"', fera connaître le point M que l'on doit joindre avec S pour obtenir la tangente demandée; ou du moins, cette rencontre servira à fixer la position du point de contact M de la tangente ST, si l'on s'est contenté, comme nous l'avons dit plus haut, de tracer cette droite ST avec la règle. 11 est évident d'ailleurs , que si l'on renverse toutes les perpendiculaires du côté opposé à celui où on les a d^abord élevées, on obtiendra une seconde courbe auxiliaire qui devra encore passer par le même point M, et pourra servir de vérification; et qu'enfin, il serait permis d'attribuer à chaque perpendiculaire, une longueur égale au double ou à la moitié de la corde correspondante, rapport qu'il peut être utile de faire varier, suivant la forme plus ou moins aplatie de la courbe donnée dans les environs du point M.

529. On pourrait aussi recourir à une courbe d'erreur , pour résoudre les problèmes suivants :

Mener à une courbe plane, une tangente parallèle à une droite donnée dans son plan ;

Mener une tangente commune à deux courbes situées dans le même plan ; mais, dans ces questions, il y aura toujours autant, et même plus d'exactitude à employer simplement une règle que l'on appuiera sur les deux courbes données, ou sur la courbe unique et dans la direction assignée, que d'avoir recours à des lignes auxiliaires dans la forme desquelles il entre toujours un peu d'arbitraire. Seulement, quand le lieu du contact paraîtra incertain et qu'on aura besoin de le connaître avec plus de précision , on pourra , après avoir mené la tangente , recourir à la méthode du numéro précédent.

PROBLÈME 5. Développement dune surface conique à base quelconque.

330. Le problème que nous avons résolu au n 519 , peut servir à effectuer ce développement. Car, si après avoir construit la courbe d'intersection

{abcdm , db'cfd'm' ) du cône proposé avec une sphère d'un rayon arbi- FiG. 75.

traire et dont le centre est placé au sommet, on développe (n° 222) le cylindre droit qui projette cette courbe suivant abcdm. ..^ et qu'on trace sur ce cylindre développé, la transformée de la ligne à double courbure {abcdm...., a'b'dd'm'...\ on obtiendra une courbe plane que je désigne par aëyâ'ii...., et dont les arcs, faciles à mesurer alors, auront la même longueur absolue que ceux de la ligne à double courbure. Ensuite , comme tous les points de cette dernière courbe se

l66 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

trouvaient, sur le cône, à égales distances du sommet, il est certain qu'après le développement de la surface conique , ces mêmes points devront être placés tous sur la circonférence d'un cercle décrit d'un poiat arbitraire S", et avec le rayon S'Y' de la sphère sécante. Par conséquent, après avoir tracé cette circonférence sur le plan du développement (nous laissons au lecteur le soin d'effectuer ces diverses opérations) , on devra y marquer des arcs

a'g'-, g'7', y'c?', â'ii',

égaux en longueur absolue aux arcs

aê, êy, y&, âfx.

de la première transformée; puis, en joignant les points de division a', ê', 7',... avec le centre S" , il restera à porter sur ces rayons des longueurs

SVA", S"ê'B", S"7'G", S"c^'D", S'^'M",

respectivement égales à celles des génératrices du cône qui aboutissaient aux divers points

et par là on obtiendra le développement de la surface conique , sur lequel la base primitive aura pour transformée la courbe

351. Dans cette méthode, la courbe intersection du cône avec la sphère concentrique, coupe évidemment toutes les génératrices à angles droits; de sorte qu'elle tient lieu ici de ce que nous avons nommé dans les cylindres, la section droite ou section orthogonale, courbe qui nous a servi très-commodément (n^SiS) à développer un cylindre quelconque, parce que nous connaissions d'avance la forme rectiligne qu'elle devait prendre après le développement du cylindre. Dans les surfaces coniques, on connaît aussi d'avance la forme circulaire que doit prendre, sur le développement, la section orthogonale du cône; mais malheureusement cette section n'est plus une ligne plane, de sorte que pour mesurer ses arcs, on est obligé de lui faire perdre une de ses