CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES

courbures (*), en effectuant le développement préalable d'un cylindre. Ainsi, il faut avouer que cette méthode exigeant un grand nombre d'opérations préliminaires qui multiplient toujours les chances d'erreurs, elle ne fournira pas des résultats graphiques plus exacts que si l'on avait suivi la marche plus courte indiquée au n° 267.

PROBLÈME 6. Intersection de deux surfaces de. révolution dont les axes se rencontrent.

552. Choisissons les plans de projection de manière que le premier soit FiG. 78. parallèle aux deux axes, et le second perpendiculaire à Tune de ces droites; ce dernier plan étant regardé comme horizontal , l'axe de la première surface aura pour projections la verticale O'Z' et le point O , tandis que l'autre axe sera projeté suivant Z'V , et Oï parallèle à la ligne de terre. Les méridiens principaux A'B'C et a'b'c', c'est-à-dire ceux qui se trouvent dans le plan vertical 01, sont donnés par la question, et se projettent verticalement suivant leur véritable grandeur ; ces courbes , qui forment en même temps les contours apparents des deux surfaces (n° 151) sur le plan vertical, sont ici deux ellipses; mais la méthode que nous allons exposer est indépendante de la nature des méridiens. Sur le plan horizontal, le premier ellipsoïde a pour contour apparent l'équateur BLX/; et quant à l'autre surface, nous n'en ferons pas mention sur ce plan de projection, parce que le tracé de son contour apparent exigerait ici la recherche de la courbe de contact de cet ellipsoïde avec un cylindre circonscrit et vertical (n° 106), question que nous apprendrons à résoudre plus tard, mais qui compliquerait sans utilité le problème actuel.

555. Gela posé , observons que deux surfaces de révolution qui ont un axe commun en direction , ne peuvent se couper que suivant un ou plusieurs cercles perpendiculaires à cet axe , et décrits par les points où se rencontrent leurs méridiennes. D'ailleurs, une sphère pouvant être considérée comme de révolution autour de chacun de ses diamètres , si nous imaginons une série de sphères sécantes, ayant toutes pour centre le point (Z', O) commun aux deux axes, chacune de ces sphères coupera les surfaces proposées suivant deux cercles respectivement perpendiculaires aux axes, et dont il sera fa-

(*) Nous parlons ici suivant le langage ordinaire; mais voyez ce que nous disons aux n»* 7 et 684.

l68 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

cile d'avoir les points de section. En effet, traçons du point Z% avec un rayon arbitraire, le cercle D'F'E'G' pour représenter la projection d'une de ces sphères : elle rencontre les méridiennes données aux points D' et E' , F' et G'; alors il résulte des observations précédentes, que les droites D'E' et F' G' sont les projections verticales des deux cercles suivant lesquels les ellipsoïdes sont coupes par la sphère projetée sur D'F'E'G'. Or les plans de ces deux cercles ayant pour intersection une corde horizontale (M', Mm) qui tombe ici en dedans du contour de la sphère, nous pouvons affirmer que leurs circonférences, situées d'ailleurs sur cette sphère , se couperont elles-mêmes en deux points projetés verticalement sur M', et horizontalement en M et m, à la rencontre de la corde Mm avec le cercle (DME, D'E'). Ces points étant évidemment communs aux deux ellipsoïdes , appartiendront à leur ligne d'intersection ; et des opérations semblables , répétées sur d'autres sphères décrites toujours du point Z', fourniront pour les deux projections de cette courbe, les lignes

K'L'M'H' et KLMHm/K.

554. Il faudra spécialement appliquer la méthode précédente à la sphère qui passe par l'équateur (B'X', BLX); parce qu'on déterminera ainsi les deux points (L', L) et (L', /) à partir desquels la courbe passe au-dessous de l'équateur, et devient invisible sur le plan horizontal. D'ailleurs, quoique cette courbe d'intersection soit bien loin d'être , dans l'espace , tangente à l'équateur, néanmoins les tangentes de ces deux lignes pour le point (L', L) se trouvant l'une et l'autre dans le plan tangent qui est évidemment vertical tout le long de l'équateur, il en résulte que les projections horizontales de ces

deux tangentes se confondront; et qu'ainsi la courbe KLM touchera le

cercle BLX en L et /.

555. Cette conséquence générale ne souffrira d'exception que quand la tangente au point (L', L) de la ligne à double courbure, se trouvera exactement verticale. AXots, l'élément qui eût été commun aux projections horizontales de cette tangente et de l'équateur, disparaît ou se réduit à un point mathématique; de sorte que la courbe cesse de toucher l'équateur, et vient le couper en formant ordinairement un rebroussement. Une circonstance analogue va se présenter ici pour les points (K', K) et (H', H), qui sont donnés immédiatement par la rencontre des deux méridiens principaux. En effet, dans chacun de ces points , les plans tangents aux deux surfaces sont nécessairement perpendiculaires aux plans méridiens, et par suite au plan vertical; donc leur intersec-