CHAPITRE m. — INTEUSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES

tion qui serait la tangente de la courbe , est aussi perpendiculaire à ce plan vertical, et s'y projette suivant un point unique ; d'où il arrive, par les raisons précédentes, que la projection R'L'H' n'offre plus de contact avec les contours apparents des deux surfaces, tandis que ce contact a lieu ordinairement. D'ailleurs, il n'y a point ici de rebroussement aux points K' et H', parce que les deux branches de l'intersection, situées l'une en avant et l'autre en arrière du plan vertical Ol, ont des positions symétriques et se confondent en projection verticale, comme on le voit d'après la construction générale qui a donné les deux points (M, M') et (m, M').

336. Il est utile d'observer que la projection verticale R'L'H' sera néces- Fig. 78. sairement une ligne du second degré, toutes les fois que les deux surfaces de révolution seront elles-mêmes de cet ordre. En effet, le plan vertical OI étant un plan méridien pour l'une et pour l'autre de ces surfaces , il divise évidemment en deux parties égales, toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires, telles que (Mm, M') ; donc ce plan est un plan principal qui se trouve commun aux deux surfaces, et alors on démontre par un calcul fort simple, que l'intersection de celles-ci se projette sur ce plan principal , suivant une ligne du second degré (*). On devra donc profiter de cette notion acquise d'avance sur la nature de la courbe K'L'H', pour redresser les erreurs de construction qui tendraient à produire, dans cette ligne, des inflexions ou une courbure qui ne s'accorderaient pas avec la forme bien connue des sections coniques.

537. Observons encore que, quel que soit le degré des deux surfaces de révolution, la courbe plane K'L'H' considérée en elle-même, et indépendamment de la courbe gauche dont elle reçoit la projection verticale, ne se termine pas brusquement aux points K' et H' ; mais qu'elle doit se prolonger au delà pour rentrer sur elle-même, ou pour s'étendre indéfiniment. De sorte qu'en continuant de tracer sur le plan vertical, des cercles qui aient toujours le point Z' pour centre, et qui s'étendent au delà ou en deçà des points H' et K', on pourra, si la forme des méridiens leur permet d'être encore coupés par ces cercles, obtenir des points de la courbe K'L'H', situés au dehors de la partie qui reçoit la projection de l'intersection des deux surfaces. Cette circonstance, que l'on apercevra plus clairement dans l'épure 79 relative à une

(*) Ce théorème intéressant est dû à M. /. Binet. Voyez V Analyse appliquée h la géométrie des trois dimensions , chap. IX.

I yo LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

question analogue (n" 344), tient à ce que la propriété graphique qui sert à trouver chaque point M' de la courbe plane K' L' H', est plus générale que la définition de ce même point, considéré comme la projection d'un point commun aux deux surfaces. En effet, sous ce dernier rapport, il faut que M' soit non-seulement à la rencontre des deux cordes D'E' et F' G', mais encore situé dans l'intérieur du cercle D'F'E'G', comme nous l'avons énoncé n°553; de sorte que, quand les deux cordes D'E' et F' G' ne se couperont que dans leur prolongement, le point de section conviendra bien encore à la courbe plane K'L'H',mais non plus à la courbe gauche suivant laquelle se coupent les deux surfaces de révolution.

FiG. 78. 538. De la tangente; première méthode. Nous pouvons trouver cette droite pour le point (M, M'), en cherchant l'intersection des plans qui touchent les deux surfaces en cet endroit. Or, le plan tangent relatif à l'ellipsoïde A' B'C', s'obtiendra (n" 133) en transportant le point M' en D' sur le méridien principal, puis en traçant la tangente D'T' à ce méridien; alors, si l'on ramène le pied T' de cette tangente en T sur le méridien OM, la droite T^ perpendiculaire à OM, sera la trace horizontale du plan cherché.

Quant à l'ellipsoïde a'b'c' dont l'axe n'est pas vertical, je ramène d'abord le point M' en F' sur le méridien principal; puis, je construis la normale F'N', de laquelle je conclus (n° 136) la normale (M'N', MN) relative au point (M, M'); et alors il me suffira de mener par ce point un plan perpen^ diculaire à cette dernière normale. Pour cela, j'imagine dans ce plan une droite parallèle à sa trace verticale, et dont la projection verticale sera la ligne M'P' perpendiculaire à M'N', tandis que sa projection horizontale sera MP parallèle à la ligne déterre; ensuite, par le pied (P, P') de cette ligne auxiliaire, je mène perpendiculairement sur MN, la droite PQ qui est évidemment la trace horizontale du plan tangent au point (M, M') de l'ellipsoïde a'b'c'.

Gela posé , les traces PQ et TB des deux plans tangents allant se rencontrer au point Q , c'est là le pied de la tangente demandée, laquelle a ainsi pour projections QM et Q'W.

539. Deuxième méthode, par le plan normal. Nous avons vu au n 214 que la tangente à l'intersection de deux surfaces , devait être perpendiculaire au plan mené par les deux normales de ces surfaces; il nous suffira donc de trouver ce plan, qui est lui-même normal à la courbe. Or, nous avons déjà construit la normale (M'N', MN) pour le deuxième ellipsoïde; quant au premier, nous mènerons au point D' du méridien principal, la droite D'R' perpendi-