CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. I7I

culaire sur la tangente D'T', et alors on sait(n° 130) que la normale pour le point (M', M), sera la droite (M'R', MO). Gela posé, il serait bien facile de trouver la trace verticale du plan mené par les deux normales ci-dessus indiquées ; mais , comme nous avons besoin de connaître seulement la direction de cette trace , et qu'elle sera la même sur les plans verticaux OI et O' V qui sont parallèles, nous observerons que les normales en question vont rencontrer les axes en R' et N'; d'où il résulte immédiatement que N'R' est la trace du plan normal sur le plan vertical OI, et qu'en tirant par le point M' la droite M'Q' perpendiculaire à cette trace, on aura la projection verticale de la tangente demandée.

Pour obtenir l'autre projection , prolongeons jusqu'au plan horizontal deux quelconques des droites qui réunissent les trois points (M', M), (N', N), (R'j O), lesquels sont situés dans le plan normal. Ici, on voit que la droite (N'M',NM) perce le plan horizontal au point a, et que la droite (N'R', NO) le rencontre en ê; donc a€ est la trace horizontale du plan normal, et en lui menant une perpendiculaire Md , ce sera la projection horizontale de la tangente cherchée.

540. La méthode que nous venons d'employer est non-seulement plus FiG. 78, simple, dans certains cas, que celle des deux plans tangents, mais elle offre encore l'avantage de pouvoir quelquefois s'appliquer à des points particuliers, pour lesquels l'autre méthode serait insufBsante.

Considérons, en effet, le point (K, R') situé à la fois sur les deux méridiens principaux : à cause de cette position particulière, les deux plans tangents seront l'un et l'autre perpendiculaires au plan vertical , et par suite , leur intersection qui est la tangente de la courbe (R'L'H', KLH,....), sera projetée horizontalement suivant une perpendiculaire à KO , et verticalement en un point unique K'. Cette construction fait connaître la position qu occupe, dans l'espace , la tangente de la courbe gauche ; mais elle n'apprend rien sur la droite qui toucherait en K' la courbe plane K' L'A', droite que l'on doit regarder comme la projection de la tangente qui précéderait immédiatement , dans l'espace , celle qui s'est réduite à un point unique en se projetant sur le plan vertical : tandis que la considération des deux normales manifeste une propriété constante dont jouit la courbe plane K'L'H' regardée comme tracée dans le plan des deux méridiens, et indépendamment de la ligne à double courbure dont elle reçoit la projection. Cette propriété consiste en ce que, si l'on transporte le point quelconque M' sur les deux méridiens, en D' et en F' par des perpendiculaires aux axes, puis si l'on tire les normales D'R'

et F'N', la droite R'N' sera toujours perpendiculaire à la tangente en M'. Or, celte relation subsistant pour tous les points de la courbe plane K'L'H', et ne portant que sur des lignes situées dans son plan, elle doit être vraie aussi pour le point K' où elle demeure évidemment applicable avec encore plus de simplicité , puisque ce point est par lui-même transporté sur les deux méridiens. Par conséquent , il suffira de mener les normales K' V' et K' U', puis de tracer la droite U'V, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire K'S' qui sera la tangente demandée.

Une construction semblable fera trouver la tangente au point H'.

PROBLÈME 7. Intersection d'un paraboloïde avec un liyperboloide , tous deux de révolution , et dont les axes se rencontrent. FiG. 79. 541. Soient (O, O'Z') l'axe du paraboloïde, et A'C'B' le méridien principal de cette surface que nous supposerons terminée au cercle (A'B', AB), de manière que l'intérieur de ce paraboloïde soit visible sur le plan horizontal. Soit aussi ( 01 , ZT) l'axe de l'hyperboloïde , ce qui suppose que le plan vertical de projection a été choisi parallèle aux deux axes à la fois : quant au méridien de cette seconde surface , nous ne le regarderons pas comme donné par la question, parce qu'alors le problème rentrerait entièrement dans celui (hi n^ 552 ; mais nous définirons l'hyperboloïde au moyen de la génératrice rectiligne (PQ, P'Q') qui l'engendrerait en tournant autour de la droite fixe ( 01 , Z' F ) , sans toutefois considérer cette seconde surface comme léellement existante ; c'est-à-dire qu'ici le paraboloïde subsistera seul , et sera traversé suivant une certaine courbe par les diverses positions de la droite mobile (PQ, P'Q')- Du reste, nous emploierons encore, pour trouver cette courbe, des sphères sécantes (n° 555) décrites toutes du point Z'; seulement, comme nous ne connaissons pas à priori le méridien de l'hyperboloïde, nous ne tracerons plus arbitrairement le grand cercle d'une de ces sphères , mais nous commencerofis par construire un parallèle de cet hyperboloïde.

542. Menons donc par un point w' pris à volonté sur l'axe , un plan F'co'G' qui lui soit perpendiculaire : ce plan rencontrera la génératrice au point (ê' ,ê), dont la distance au point w' sera évidemment l'hypoténuse d'un triangle rectangle construit sur les côtés w'ê' et ê'ê" = aê; ainsi, en décrivant avec cette hypoténuse w'ê", un cercle F'ê"G', ce sera le rabattement du parallèle suivant lequel l'hyperboloïde est coupé par le plan F'w'G'; et les extrémités F' et G' de son diamètre, seront deux points de V hyperbole méridienne qui serait située dans le plan vertical OI.