CHAPITRE III. — INTERSECTIOKS DE DEUX SURFACES COURBES

Cela posé , adoptons pour rayon d'une de nos sphères sécantes , la distance Z'F' : alors, une pareille sphère coupera rhyperboloïde suivant le parallèle projeté sur F'G', et le paraboioide suivant un cercle projeté sur D'E'; par conséquent le point M' où se rencontrent ces deux cordes, et qui tombe en dedans de la sphère, représente la projection verticale des deux points où se coupaient les circonférences de ces parallèles : ce sont donc là deux points de l'intersection des surfaces proposées, et on les retrouvera sur le plan horizontal , en y traçant le parallèle ( DME , D' E' ) et abaissant la verticale M'mM.

345. Des constructions analogues fourniront autant de points que l'on voudra de la courbe

(K'L'VM'H', KLXMHm/K),

suivant laquelle le paraboioide est coupé par l'hyperboloide ; et le méridien V'F'S'U' de cette dernière surface, qui se conclura de tous les points tels que F', devra toucher, sur le plan vertical , la projection delà génératrice au point (S, S') dans lequel cette droite traverse le méridien principal OI. D'ailleurs, ce sera la rencontre de ce méridien V'F'S'U' avec le méridien du paraboioide, qui fournira les points extrêmes de l'intersection (R,K') et

344-. Observons aussi qu'une même sphère pourra fournir deux points tels que L' et X' situés sur un parallèle unique , et appartenant tous deux à l'intersection des surfaces proposées; tandis que, d'autres fois, une sphère sécante fournira deux points M' et ]x', dont un seul appartiendra véritablement à l'intersection , parce que le deuxième serait placé en dehors du contour de la sphère. Cependant ce point a', continuant de satisfaire à la propriété graphique qui sert à construire chaque point de la courbe plane K'M'H', considérée indépendamment de la courbe gauche dont elle reçoit la projection, appartiendra toujours au prolongement de cette ligne plane (n° 337); et celle-ci sera évidemment une hyperbole, d'après les raisons citées au n" 336.

345. De la tangente. Cherchons , comme précédemment (n° 539) , les normales des deux surfaces pour le point quelconque (M, M'). Dans le paraboioide, la normale E'R' du méridien fait connaître le point R' où aboutirait, sur l'axe O'Z', la normale de la surface en (M, M'); et sans tracer cette dernière droite, il nous suffit d'avoir obtenu ce point R'.

Dans rhyperboloïde dont le méridien n'est pas donné par la question , j'observe que le plan tangent relatif au point projeté en (ê, ê') et rabattu en ê", passerait par la tangente ê"T du parallèle et par la génératrice (êP, ê'P') qui perce le plan vertical OI en (S, S'); par conséquent, sur ce plan des deux axes, le plan tangent aurait pour trace la droite TS' ; donc, en lui menant une perpendiculaire ê'N', ce sera la projection de la normale relative au point (ê, §'). Mais ce point est sur le même parallèle que (M, M'); donc aussi, pour ce dernier, la normale de la surface rencontrerait l'axe l'Z' au point N'; ainsi cette normale est déterminée.

Gela posé, le plan des deux normales en (M, M') coupera évidemment le plan vertical Oï suivant la droite R'N'; donc, en abaissant sur cette ligne une perpendiculaire M'O', ce sera la projection verticale de la tangente à la courbe d'intersection. Ensuite , nous pourrions chercher sur le plan horizontal de projection , la trace du plan des deux normales , lequel passe par trois points connus (M', M), (R', O), (N', N); mais il sera beaucoup plus court de déterminer cette trace sur le plan horizontal D'E', où est déjà situé le point (M, M'). Car, en prolongeant R'N' jusqu'à ce qu'elle coupe ce plan en p', et projetant ce dernier point en p, la droite pM sera évidemment la trace demandée; si donc on lui mène la perpendiculaire Mo, on aura la projection horizontale de la tangente à l'intersection des deux surfaces.

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