CHAPITRE PREMIER

Des plans tangents menés par un point extérieur à la surface.

347. Soit V le point donné au dehors de la surface quelconque S : menons FiG. 8o. par ce point divers plans sécants dans une direction arbitraire , et par exemple , faisons-les passer tous par une droite quelconque VAD qui traverse la surface.

Alors, ils couperont celle-ci suivant des courbes AMD, AM'D, AM'D, que

l'on saurait construire par les méthodes exposées précédemment , et auxquelles on pourra généralement mener, du point V, des tangentes VM, VM', VM% ;

176 LIVRE V. — PLANS TANGEJNTS DONT LE POINT... N'eST PAS DONNÉ.

de sorte que toutes ces droites formeront évidemment un cône ayant le point V pour sommet, et qui sera circonscrit à la surface S , c'est-à-dire qui la touchera

tout le long de la courbe MM' M" En effet, pour le point M", par exemple,

le plan tangent de S renfermera la tangente M"T de la courbe MM' M", aussi bien que l'arête M" V qui, par construction, est tangente à la surface : donc ce plan sera lui-même tangent au cône ; et les deux surfaces ayant ainsi un plan tangent commun en M", offriront un véritable contact dans ce point, et dans tous ceux de la ligne MM' M"

348. Gela posé, pour résoudre le problème général qui fait l'objet de ce chapitre, il suffira de construire la ligne de contact MM' M" de la surface proposée S avec un cône circonscrit ayant son sommet en V, puis de mener un plan tangent à S dans un quelconque des points de cette ligne; ce plan satisfera évidemment à la question, puisqu'il touchera nécessairement (n° 347) le cône circonscrit, et qu'ainsi il passera parle sommet V qui est le point donné.

Réciproquement, tout plan mené du point V, tangentiellement à la surface S, touchera celle-ci en un certain point que j'appelle m , et qui étant joint avec V, fournira une droite Vm évidemment tangente à S ; donc cette droite Vm sera nécessairement une des arêtes du cône circonscrit VMM'M"...., et par

conséquent le point m devra se trouver sur la courbe MM'M" qui devient

ainsi le lieu de toutes les solutions du problème proposé.

Seulement, le problème sera impossible quand le cône circonscrit n'existera pas; c'est-à-dire lorsque le point V sera tellement placé que l'on ne pourra mener, de ce point, aucune tangente aux diverses sections faites par des plans passant par VAD.

349. Il résulte de là que la question qui nous occupe admet une infinité de solutions, excepté quand la surface proposée S est développable. En effet, nous avons vu (n° 185) qu'une telle surface était l'enveloppe de toutes les positions d'un plan mobile, assujetti à une loi de mouvement qui ne laissait d'arbitraire qu'une seule condition (*) : donc, lorsque ce plan mobile, qui est en même temps le plan tangent de la surface développable, viendra à passer par le point donne' V, il ne pourra plus prendre d'autre situation; ou du moins, il ne saurait occuper alors qu'un nombre limité

(*) Ou autrement dit, qui ne laissait qu'w/îe seule constante arbitraire dans son équation; ainsi la condition de passer par le point V, fixera complètement la position de ce plan dans l'espace.