CHAPITRE I. —PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR

tle positions, suivant la nature et le nombre des nappes de la surface. Ainsi, pour cette classe de surfaces, le problème de construire un plan tangent qui passe par un point donné, devient tout à fait déterminé (*), et c'est ce que nous avons reconnu dans les cônes et dans les cylindres (n°* 116 et 123).

350. D'ailleurs, comme une surface développable est touchée par son plan tangent tout le long d'une même génératrice rectiligne (n° 177), il s'ensuit que si Ton effectuait ici les sections indiquées n° 347 , et qu'on leur menât des tangentes par le point V, tous les points de contact se trouveraient situés sur une droite de la surface ; et le cône circonscrit se réduirait alors à un ou plusieurs plans tangents qui passeraient par le point V.

351. Le problème de mener, par un point V, un plan tangent à une surface S non développable, redeviendrait déterminé, si l'on ajoutait la condition que ce plan dût toucher la surface sur une courbe donnée, par exemple sur un méridien, ou sur un parallèle, dont la position serait assignée. En effet, après avoir construit la ligne de contact MM' M"... du cône circonscrit à S, il suffirait d'examiner en quels points elle rencontre la courbe donnée, et ce seraient là évidemment les points de contact des plans tangents qui satisfont au problème. Celui-ci serait impossible , si la courbe assignée sur la surface n'avait aucun point commun avec la ligne MM' M"...

352. Quant à la construction de la ligne de contact d'une surface quelconque S , avec un cône circonscrit qui a pour sommet un point donné V, courbe qui est d'ailleurs très-utile dans la Perspective, puisque c'est évidemment le contour apparent de la surface vue du point V, la seule méthode tout à fait générale est celle que nous avons indiquée n° 347; cependant, comme elle exige des opérations graphiques assez pénibles, nous allons exposer d'autres méthodes plus simples, mais applicables seulement à certains genres de surfaces qui se rencontrent plus fréquemment. Auparavant, toutefois, nous dé-

(*) L'exception que présentent les surfaces développables est unique, car elle n'a point lieu pour les surfaces gauches. En effet, nous verrons que dans celles-ci, tout plan mené par le point V et par une génératrice rectiligne , est tangent à la surface dans un certain point qu'il faut construire ; de sorte qu'en joignant ce point de contact avec V, on obtiendra encore une des arêtes du cône circonscrit , lequel subsiste ici comme dans les surfaces quelconques.

178 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'eST PAS DONNÉ.

montrerons un théorème important sur ces lignes de contact, par rapport à toutes les surfaces du seond degré.

555. La courbe de contact dun cône circonscrit à une surface du second degré, est toujours plane; et son plan se trouve parallèle au plan diamétral qui serait conjugué avec le diamètre mené par le sommet du cône. FiG. 80. Soient Vie sommet du cône, et S la surface du second degré dont il s agit; nous supposerons d'abord qu'elle admet un centre O, mais du reste, elle peut être indifféremment un ellipsoïde ou bien l'un des deux hyperboloïdes. En faisant passer par la droite VO divers plans sécants , nous obtiendrons des

courbes du second degré ABD, AB'D, AB"D, ayant toutes un diamètre

commun OA; et si nous les coupons par le plan diamétral BB'G qui est conjugué avec OA , c'est-à-dire qui divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface parallèles à cette direction , nous obtiendrons des droites OB , OB', OB",.... qui jouiront évidemment de la même propriété, par rapport aux cordes menées dans chacune de ces courbes parallèlement à OA. Ainsi OA et OB, OA et OB', OA et OB",.... formeront des systèmes de diamètres conjugués deux à deux, dans les diverses courbes du second degré ABD, AB'D, AB"D,....

Gela posé, tirons à l'une de ces courbes une tangente VM; puis, menons par le point de contact M, un plan parallèle à BB'C : ce nouveau plan coupera la surface S suivant une courbe MM'N, et les sections primitives suivant des ordonnées PM, PM', PM",.... respectivement parallèles à OB, OB', OB". Alors, si Ton mène parles divers points M', M",.... des tangentes aux courbes AM'D, AM"D,..., je dis que ces tangentes aboutiront, sur la droite OA, au même point V d'où est partie la première MV. En effet, on sait que dans toute ligne du second ordre rapportée à deux diamètres conjugués, la sous-tangente ne dépend que de l'abscisse du point de contact et du diamètre sur lequel on compte cette abscisse; par conséquent, pour les divers points M, M', M",.... qui répondent à la même abscisse OP, la sous-tangente aura une valeur commune, savoir :

PV = ^-OP, d'oùOV=^.

Donc, toutes les tangentes menées en M, M', M",.... formeront bien un cône circonscrit à Ja surface du second degré, et dont la ligne de contact sera la courbe plane MM'M"N, parallèle au plan diamétral BB'C qui est conjugué