CHAPITRE I.— PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR

avec VO (*). D'ailleurs, ce diamètre VO contiendra le centre P de la courbe MM' M"...., comme nous allons le faire voir.

354. Dans toute surface du second degré, les diverses sections faites par des plans parallèles entre eux, sont des courbes SEMBLABLES, dont les centres sont situés sur le diamètre qui se trouve conjugué avec celui de ces plans sécants qui passe par le centre de la surface. En effet, quelle que soit une de ces sections planes MM'M"N, on pourra mener par le centre O, un plan BB'B"G qui lui soit parallèle, et construire le diamètre OA conjugué avec ce dernier plan. Alors toutes les sections ABD, AB'D, AB"D,.... auront pour diamètres conjugués deux à deux, OA et OB, OA et OB', OA et OB'': donc, les ordonnées MP, MP', MP",.... qui correspondent à la même abscisse OP, seront proportionnelles aux diamètres non communs OB, OB', OB",....; et par conséquent ces droites considérées comme des rayons vecteurs parallèles menés dans les deux courbes MM'N et BB'G, satisferont à la condition générale de la similitude. D'ailleurs, comme le point O est évidemment le centre de figure de la courbe BB'G, il en sera nécessairement de même du point P par rapport à la courbe MM'N ; ainsi les centres des sections parallèles au plan diamétral BB'G, sont bien situés tous sur le diamètre OA conjugué avec ce plan.

355. Revenons au théorème démontré n" 355 pour les surfaces douées d'un FiG. 8 1 , centre; et afin de l'étendre aux surfaces qui en sont dépourvues, c'est-à-dire

aux deux paraboloïdes , modifions la démonstration de la manière suivante. Menons par le point donné V , une parallèle VX' à l'are ou diamètre principal OX du paraboloïde ; cette droite VAX' sera encore un diamètre de la surface , et les divers plans sécants menés par ce diamètre, fourniront des sections ;?flraboliques AME, AM'E\ AM"E", Gela posé, tirons à l'une d'elles la tangente VM , et par le point de contact M , menons parallèlement au plan tangent du paraboloïde en A, un plan MM'M"N qui coupera les paraboles suivant des ordonnées MP, M'P, M"P,.... respectivement parallèles aux tangentes AT, AT', AT",.... de ces courbes. Alors, pour de telles ordonnées, on sait que la soutangente sera constamment double de l'abscisse commune AP ; par conséquent toutes les tangentes en M, M', M",.... aboutiront au même point V, et formeront ainsi un cône circonscrit qui touchera le paraboloïde le long de

(*) Dans le cas particulier où la surface est une sphère, la courbe de contact du cône circonscrit devient un petit cercle, perpendiculaire à la droite VO qui réunit le sommet V avec le centre de la sphère. D'ailleurs, cela se prouve directement, en faisant tourner autour de VO, un grand cercle et sa tangente menée du point V.

l8o LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... N'EST PAS DONNÉ.

la courbe plane MM'M"N. En outre, on voit que le plan de cette courbe est parallèle au plan tangent en A, lequel remplace ici le plan diamétral conjugué avec VX'; car ce dernier serait à une distance infinie.

Dans l'ellipsoïde de la figure 80 , le plan tangent en A était aussi parallèle à BB'B"G, et par suite à la courbe de contact MM'M"N : mais nous n'avons pas voulu employer alors ce plan tangent , parce qu'il n'existerait plus dans les hyperboloides , si le diamètre VO ne rencontrait pas la surface.

PROBLÈME 1. Trouver la courbe de contact dune surface de révolution, ^ avec un cône circonscrit dont le sommet est donné. FiG. 84. 556. Soient (O, l'Z') l'axe de révolution que nous regarderons comme vertical, et (X'C'Y'D', CD) le méridien principal de la surface. Ici, cette courbe est une ellipse dont un diamètre principal coïncide avec l'axe de révolution ; mais la méthode que nous allons exposer est tout-à-fait générale, et applicable à un méridien quelconque. Soit d'ailleurs ( V , V ) le point assigné pour le sommet du cône circonscrit : la courbe X'M'Y' suivant laquelle il touchera l'ellipsoïde , peut se déterminer en construisant successivement les points qui se trouvent sur chaque parallèle de la surface , ou bien ceux qui sont situés sur les divers méridiens; ce qui va donner lieu à deux méthodes, dont chacune suffit à elle seule pour tracer la courbe demandée.

557. Méthode du parallèle. Soit (E'F', EMF) le parallèle choisi arbitrairement sur la surface de révolution S : en substituant à celle-ci un cône droit engendré par la révolution de la tangente E'Z' autour de Taxe, il est évident que ce cône touchera la surface S tout le long du cercle E'F'; et qu'ainsi tout plan tangent qui sera mené à ce cône par le point (V,V), touchera S dans le point où l'arête de contact rencontrera le cercle E'F'. Par conséquent ce point de rencontre appartiendra à la courbe demandée X'M'Y', qui n'est autre chose (n*' 548) que le lieu des points de contact des divers plans tangents menés à la surface S, par le point (V, V).

558. La question est donc réduite à trouver un plan qui, partant du point (V, V), aille toucher le cône Z'E'F' : or on y parviendrait (n° 125) en joignant le sommet (Z', O) (*) avec (V, V), puis en cherchant le point où cette

(*) Les trois points désignés par Z' dans notre épure, sont censés représenter le point unique où la tangente E'Z' irait couper l'axe vertical, point qui est le soinmet du cône droit, mais qui n'a pu se trouver ici renfermé dans le cadre. '