CHAPITRE 1.— PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR. l8l

droite irait couper le plan horizontal E'F', et menant enfin de ce dernier point des tangentes au cercle (E'F', EMF). Mais comme le sommet (Z', O) peut se trouver, ainsi que cela arrive ici, placé à une distance incommode, et que d'ailleurs le point d'où partiraient les tangentes à la base du cône , varierait aussi à mesure qu'on changerait de parallèle , nous allons employer une marche qui obviera à ces deux inconvénients.

Adoptons pour base du cône droit, le cercle (G' H', GPH) suivant lequel il est coupé par le plan horizontal V'G'H' : alors cette nouvelle base contenant dans son plan le point donné (V, V) , il deviendra inutile de recourir au sommet du cône , et il suffira de mener les tangentes à la base actuelle par le point (V, V); d'ailleurs, comme ce sont les points de contact qui seuls nous intéressent, décrivons sur la droite VO comme diamètre, une circonférence qui coupe le cercle GPH aux points F et Q, et les rayons OP et OQ seront évidemment les projections horizontales des génératrices suivant lesquelles le cône droit sera touché par les plans tangents menés de ( V, V). Donc, en prolongeant ces rayons jusqu'au parallèle donné EMF, les points M et N que Ton projettera sur E'F' en M' et N', seront deux points qui appartiendront (n° 357) à la courbe de contact de la surface S avec le cône circonscrit dont le sommet serait en (V, V).

559. Pour trouver les points de cette courbe qui seront sur un autre parallèle , on agira d'une manière toute semblable ; et la même circonférence décrite sur VO comme diamètre, servira pour toutes ces opérations, puisque les tangentes à la base du nouveau cône droit devront encore partir du point (V, V). Par exemple, si nous considérons le parallèle (E"'F"', EMF) égal au précédent, il faudra tirer la tangente E"G"' qui, en tournant autour de l'axe vertical, décrirait un cône droit dont la base , considérée dans le plan horizontal \'G\ sera le cercle (G"' S", G"P"H") : celui-ci étant coupé par la circonférence VO en deux points P" et Q", les rayons OP" et OQ" sont les projections horizontales des arêtes de contact du cône droit G"'E"'F"'H"' avec les plans tangents qui lui seraient menés par le point (V, V); puis, la rencontre de ces rayons avec le parallèle (EMF, E"'F"'), fournira les points (M", M"), (N", N'") situés sur ce parallèle, et appartenant à la courbe de contact de la surface S avec le cône circonscrit qui a son sommet en (V, V).

560. Méthode du méridien. Pour trouver les points de cette même courbe FiG. S/\. qui sont situés sur un méridien quelconque aOê , imaginons par tous les points

de cette méridienne des droites perpendiculaires à son plan , et dont l'ensemble formera un cylindre horizontal , évidemment circonscrit à la surface S le long

l82 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... NEST PAS DONNÉ.

de cette courbe méridienne. Alors, si par le point (V, V) nous menons à ce cylindre un plan tangent , ce dernier se trouvera aussi tangent à l'ellipsoïde dans le point où il touchera la base du cylindre ; et par conséquent ce point appartiendra à la courbe cherchée, puisque celle-ci (n°548) est le lieu de tous les points de contact de lellipsoïde avec les plans tangents qui partent de (V, V).

Or, pour construire ce plan tangent au cylindre horizontal, il faut (n° 116) tirer du point (V, V') une parallèle aux génératrices de cette surface, c'est-àdire une droite (VP", V'H") perpendiculaire au plan vertical aOê qui contient la base du cylindre ; puis , du point P" où cette droite rencontre ce plan méridien , mener à cette base une ou plusieurs tangentes. Mais pour réaliser cette dernière opération, je rabats la méridienne aOê sur le plan vertical, ainsi que le point P"; ce dernier se transporte évidemment en (H" , H'"), et en tirant les tangentes H"'(p', H"'F"', j'obtiens les points de contact (9', «p), (F'", F) sur la base du cylindre rabattue ; donc , en les ramenant par des arcs de cercle horizontaux dans le méridien primitif aOê, ils auront pour véritable positions (<|;,f) et (M%M'").

361. Ce dernier point coïncide avec un de ceux que nous avons obtenus par la méthode du parallèle, parce qu'ici le plan méridien aOê a été choisi de manière à renfermer le point (M", M'") déjà construit; et nous avons adopté cette disposition, afin de montrer clairement que, si les deux méthodes s'appuient sur des considérations très-différentes, elles emploient du moins les mêmes opérations graphiques, exécutées dans un ordre précisément inverse, comme on doit le voir ici pour le point (M", M"). Au reste, quelle que soit la méthode que l'on emploiera, il est des points particuliers qui s'obtiendront par un procédé direct; et nous recommandons de commencer l'exécution de l'épure par la recherche de ces points remarquables.

362. Points sur les contours apparents. Quant à ceux qui seront situés sur l'équateur (CD', GLD), il est clair que les plans qui toucheront l'ellipsoïde en ces points, se trouveront verticaux, et dès lors leurs traces horizontales seront les tangentes VL et VK partant du point V; d'ailleurs, les points de contact L et K se trouvant déterminés en projection horizontale, par la rencontre du cercle GLD avec la circonférence dont VO est le diamètre, il suffira de projeter L etK en L' et K' sur G'D'. Observons, en outre, que ces deux points étant sur le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal , ils formeront les limites communes de l'arc visible LMXK et de tare invisible LM"YK sur cette projection; d'ailleurs, le premier de ces arcs se distinguera